सुपर बाउल आने के साथ ही, दुनिया के एथलीटों और प्रशंसकों का ध्यान बड़े खेल पर है। लेकिन _math_letes के लिए, बड़ा खेल फ़ुटबॉल के खेल में संभावित स्कोर से संबंधित एक छोटी सी समस्या को ध्यान में रख सकता है। आप जितने अंक प्राप्त कर सकते हैं, उसके लिए केवल सीमित विकल्पों के साथ, कुछ योगों तक नहीं पहुंचा जा सकता है, लेकिन उच्चतम क्या है? यदि आप जानना चाहते हैं कि सिक्के, फ़ुटबॉल और मैकडॉनल्ड्स चिकन नगेट्स को क्या जोड़ता है, तो यह आपके लिए एक समस्या है।
सुपर बाउल गणित समस्या
समस्या में संभावित स्कोर शामिल हैं या तो लॉस एंजिल्स रैम्स या न्यू इंग्लैंड पैट्रियट्स संभवतः रविवार को प्राप्त कर सकते हैं के बग़ैर एक सुरक्षा या दो-बिंदु रूपांतरण। दूसरे शब्दों में, उनके स्कोर को बढ़ाने के स्वीकार्य तरीके 3-बिंदु क्षेत्र लक्ष्य और 7-बिंदु टचडाउन हैं। इसलिए, बिना सुरक्षा के, आप किसी गेम में 3 और 7 के किसी भी संयोजन के साथ 2 अंक प्राप्त नहीं कर सकते। इसी तरह, आप न तो ४ का स्कोर प्राप्त कर सकते हैं, न ही आप ५ का स्कोर कर सकते हैं।
सवाल यह है की: उच्चतम स्कोर क्या है नहीं कर सकता केवल 3-बिंदु क्षेत्र लक्ष्यों और 7-बिंदु टचडाउन के साथ प्राप्त किया जा सकता है?
बेशक, बिना रूपांतरण के टचडाउन का मूल्य 6 है, लेकिन चूंकि आप वैसे भी दो क्षेत्र लक्ष्यों के साथ इसे प्राप्त कर सकते हैं, यह समस्या के लिए कोई मायने नहीं रखता। इसके अलावा, चूंकि हम यहां गणित के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए आपको विशिष्ट टीम की रणनीति या यहां तक कि अंक हासिल करने की उनकी क्षमता पर किसी भी सीमा के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है।
आगे बढ़ने से पहले इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें!
एक समाधान ढूँढना (धीमा रास्ता)
इस समस्या के कुछ जटिल गणितीय समाधान हैं (पूरे विवरण के लिए संसाधन देखें, लेकिन मुख्य परिणाम नीचे पेश किया जाएगा), लेकिन यह इस बात का एक अच्छा उदाहरण है कि यह कैसे नहीं है आवश्यकता है उत्तर खोजने के लिए।
एक क्रूर-बल समाधान खोजने के लिए आपको बस इतना करना है कि प्रत्येक स्कोर को बदले में आज़माएं। इसलिए हम जानते हैं कि आप 1 या 2 स्कोर नहीं कर सकते, क्योंकि वे 3 से कम हैं। हम पहले ही स्थापित कर चुके हैं कि 4 और 5 संभव नहीं हैं, लेकिन 6 दो क्षेत्र लक्ष्यों के साथ है। 7 के बाद (जो संभव है), क्या आप 8 अंक प्राप्त कर सकते हैं? नहीं। तीन फ़ील्ड लक्ष्य 9 देता है, और एक फ़ील्ड लक्ष्य और एक परिवर्तित टचडाउन 10 बनाता है। लेकिन आप 11 नहीं प्राप्त कर सकते हैं।
इस बिंदु से, एक छोटा सा काम दिखाता है कि:
\शुरू {गठबंधन} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{aligned}
और वास्तव में, आप जब तक चाहें तब तक ऐसे ही चलते रह सकते हैं। उत्तर 11 लगता है। लेकिन है ना?
बीजीय समाधान
गणितज्ञ इन समस्याओं को "फ्रोबेनियस सिक्का समस्या" कहते हैं। सिक्कों से संबंधित मूल रूप, जैसे: यदि आपके पास केवल सिक्कों का मूल्य था 4 सेंट और 11 सेंट (असली सिक्के नहीं, लेकिन फिर, यह आपके लिए गणित की समस्या है), सबसे बड़ी राशि क्या है जो आप नहीं कर सकते उत्पादित करें।
बीजगणित के संदर्भ में समाधान यह है कि एक अंक के लायक पी अंक और एक अंक लायक क्यू अंक, उच्चतम स्कोर जो आप प्राप्त नहीं कर सकते (नहीं) द्वारा दिया गया है:
एन = पीक्यू \; - \;(पी + क्यू)
तो सुपर बाउल समस्या से मूल्यों में प्लगिंग देता है:
\शुरू {गठबंधन} एन &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; १०\\ &= ११ \अंत{गठबंधन}
जिसका जवाब हमें धीमा रास्ता मिल गया। तो क्या हुआ अगर आप बिना किसी रूपांतरण (6 अंक) के टचडाउन और एक-बिंदु रूपांतरण (7 अंक) के साथ टचडाउन स्कोर कर सकते हैं? देखें कि क्या आप इसे पढ़ने से पहले सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
इस मामले में, सूत्र बन जाता है:
\शुरू {गठबंधन} एन &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; १३\\ &= २९ \end{गठबंधन}
चिकन मैकनगेट समस्या
तो खेल खत्म हो गया है और आप विजेता टीम को मैकडॉनल्ड्स की यात्रा के साथ पुरस्कृत करना चाहते हैं। लेकिन वे McNuggets को केवल 9 या 20 के बक्सों में बेचते हैं। तो आपके लिए सबसे ज्यादा सोने की डली क्या है नहीं कर सकता इन (पुराने) बॉक्स नंबरों से खरीदें? आगे पढ़ने से पहले उत्तर खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें।
जबसे
एन = पीक्यू \; - \;(पी + क्यू)
और साथ पी = 9 और क्यू = 20:
\शुरू {गठबंधन} एन &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; २९\\ &= १५१ \end{संरेखित}
तो बशर्ते आप 151 से अधिक सोने की डली खरीद रहे हों - विजेता टीम शायद बहुत भूखी होगी, आखिरकार - आप कुछ बॉक्स संयोजन के साथ जितनी चाहें उतनी सोने की डली खरीद सकते हैं।
आप सोच रहे होंगे कि हमने इस समस्या के केवल दो-संख्या वाले संस्करणों को ही क्यों कवर किया है। क्या होगा यदि हम सफ़ारी को शामिल करते हैं, या यदि मैकडॉनल्ड्स ने तीन आकार के डला बक्से बेचे हैं? यहां है कोई स्पष्ट सूत्र नहीं इस मामले में, और जबकि इसके अधिकांश संस्करणों को हल किया जा सकता है, प्रश्न के कुछ पहलू पूरी तरह से अनसुलझे हैं।
तो हो सकता है कि जब आप खेल देख रहे हों या चिकन के काटने के आकार के टुकड़े खा रहे हों तो आप दावा कर सकते हैं कि आप गणित में एक खुली समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं - यह काम से बाहर निकलने की कोशिश के लायक है!
