काइनेमेटिक्स: यह क्या है और यह क्यों महत्वपूर्ण है? (डब्ल्यू / उदाहरण)

किनेमेटिक्स भौतिकी की एक गणितीय शाखा है जो वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए समीकरणों का उपयोग करती है (विशेषकरप्रक्षेप पथ) बलों का जिक्र किए बिना।

ये समीकरण आपको विभिन्न संख्याओं को चार मूल में से एक में जोड़ने की अनुमति देते हैंगतिज समीकरणउस गति के पीछे भौतिकी के किसी भी ज्ञान को लागू किए बिना, या भौतिकी के किसी भी ज्ञान को लागू किए बिना उन समीकरणों में अज्ञात खोजने के लिए। बीजगणित में अच्छा होना अंतर्निहित विज्ञान के लिए वास्तविक प्रशंसा प्राप्त किए बिना सरल प्रक्षेप्य-गति समस्याओं के माध्यम से आपके रास्ते को बाधित करने के लिए पर्याप्त है।

किनेमेटिक्स आमतौर पर हल करने के लिए लागू किया जाता हैशास्त्रीय यांत्रिकीगति के लिए समस्याएंएक आयाम(एक सीधी रेखा के साथ) या inदो आयाम(ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दोनों घटकों के साथ, जैसा कि inप्रक्षेप्य गति​).

वास्तव में, एक आयाम या दो आयामों में घटित होने वाली घटनाओं को साधारण त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रकट किया जाता है, लेकिन के लिए किनेमेटिक्स के उद्देश्य, x में "दाएं" (सकारात्मक) और "बाएं" (नकारात्मक) दिशाएं हैं, और y में "ऊपर" (सकारात्मक) और "नीचे" (नकारात्मक) हैं। निर्देश। "गहराई" की अवधारणा - यानी, एक दिशा सीधे आपकी ओर और दूर - इस योजना में शामिल नहीं है, और आमतौर पर बाद में बताए गए कारणों के लिए इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

काइनेमेटिक्स की समस्याएं किसी न किसी संयोजन में स्थिति, वेग, त्वरण और समय से संबंधित हैं। वेग समय के संबंध में स्थिति के परिवर्तन की दर है, और त्वरण समय के संबंध में वेग के परिवर्तन की दर है; प्रत्येक कैसे व्युत्पन्न होता है यह एक समस्या है जिसका आप कलन में सामना कर सकते हैं। किसी भी मामले में, किनेमेटिक्स में दो मौलिक अवधारणाएं इसलिए स्थिति और समय हैं।

इन व्यक्तिगत चरों पर अधिक:

• स्थिति और विस्थापन को द्वारा दर्शाया जाता हैएक्स, वाई समन्वय प्रणाली, या कभी कभीθ(ग्रीक अक्षर थीटा, गति की ज्यामिति में कोणों में प्रयुक्त) तथाआरएक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में। SI (अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली) इकाइयों में, दूरी मीटर (m) में होती है।
• वेगवीमीटर प्रति सेकंड (m/s) में है।
• त्वरणएया

​α​

(यूनानी अक्षर अल्फा), समय के साथ वेग में परिवर्तन, m/s/s या m/s. में है². समयटी isकुछ लम्हों में। जब वर्तमान, प्रारंभिक और अंतिमसबस्क्रिप्ट​ (​मैंतथाएफ, या वैकल्पिक रूप से,0तथाएफकहां है0"शून्य" कहा जाता है) उपरोक्त में से किसी के प्रारंभिक और अंतिम मूल्यों को दर्शाता है। ये किसी भी समस्या के भीतर स्थिरांक हैं, और एक दिशा (जैसे,एक्स) विशिष्ट जानकारी प्रदान करने के लिए सबस्क्रिप्ट में भी हो सकता है।

विस्थापन, वेग और त्वरण हैंवेक्टर मात्रा. इसका मतलब है कि उनके पास एक परिमाण (एक संख्या) और एक दिशा दोनों है, जो त्वरण के मामले में कण की गति की दिशा नहीं हो सकती है। गतिज समस्याओं में, इन वेक्टरों को अलग-अलग x- और y-घटक वैक्टर में तोड़ा जा सकता है। दूसरी ओर, गति और दूरी जैसी इकाइयाँ हैंअदिश मात्राक्योंकि उनके पास केवल परिमाण है।

किनेमेटिक्स की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक गणित अपने आप में कठिन नहीं है। हालाँकि, समस्या में दी गई जानकारी के सही टुकड़ों को सही चर निर्दिष्ट करना सीखना, पहली बार में एक चुनौती हो सकती है। यह उस चर को निर्धारित करने में मदद करता है जिसे समस्या आपको खोजने के लिए कहती है, और फिर देखें कि आपको इस कार्य के लिए क्या दिया गया है।

चार कीनेमेटीक्स सूत्र अनुसरण करते हैं। जबकि "x" का प्रयोग प्रदर्शनकारी उद्देश्यों के लिए किया जाता है, समीकरण "y" दिशा के लिए समान रूप से मान्य होते हैं। निरंतर त्वरण मान लेंएकिसी भी समस्या में (ऊर्ध्वाधर गति में यह अक्सर होता हैजी, पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और 9.8 m/s. के बराबर²).

ध्यान दें कि (1/2)(वी ​​+​​ वी₀)हैऔसत वेग​.

यह इस विचार का पुनर्कथन है कि त्वरण समय के साथ वेग में अंतर है, या a = (v - v .)₀)/टी.

इस समीकरण का एक रूप जहां प्रारंभिक स्थिति (y .)₀) और प्रारंभिक वेग (v_0y) दोनों शून्य हैं मुक्त-पतन समीकरण है:y = -(1/2)gt​². ऋणात्मक चिन्ह इंगित करता है कि गुरुत्वाकर्षण वस्तुओं को नीचे की ओर या ऋणात्मक y-अक्ष के साथ मानक निर्देशांक संदर्भ फ्रेम में गति देता है।

यह समीकरण तब उपयोगी होता है जब आप समय को नहीं जानते (और जानने की आवश्यकता नहीं है)।

एक अलग किनेमेटिक्स समीकरण सूची में थोड़ा अलग सूत्र हो सकते हैं, लेकिन वे सभी एक ही घटना का वर्णन करते हैं। जितना अधिक आप उन पर नज़र रखेंगे, वे उतने ही अधिक परिचित होंगे, जबकि आप अभी भी किनेमेटिक्स की समस्याओं को हल करने के लिए अपेक्षाकृत नए हैं।

गतिज वक्र सामान्य रेखांकन हैं जो स्थिति बनाम स्थिति दिखाते हैं। समय (एक्सबनामतो), वेग बनाम। समय (वीबनामतो) और त्वरण बनाम। समय (एबनामतो). प्रत्येक मामले में, समय स्वतंत्र चर है और क्षैतिज अक्ष पर स्थित है। यह स्थिति, वेग और त्वरण बनाता हैआश्रित चर, और जैसे वे लंबवत अक्ष पर हैं। (गणित और भौतिकी में, जब एक चर को दूसरे के खिलाफ "साजिश" कहा जाता है, तो पहला आश्रित चर होता है और दूसरा स्वतंत्र चर होता है।)

इन रेखांकन का उपयोग के लिए किया जा सकता हैगतिज विश्लेषणगति की (यह देखने के लिए कि किस समय अंतराल में कोई वस्तु रुकी हुई थी, या तेज हो रही थी, उदाहरण के लिए)।

ये रेखांकन उस में भी संबंधित हैं, किसी दिए गए समय अंतराल के लिए, यदि स्थिति बनाम। समय ग्राफ ज्ञात है, अन्य दो इसके ढलान का विश्लेषण करके जल्दी से बनाए जा सकते हैं: वेग बनाम। समय स्थिति बनाम ढलान है। समय (चूंकि वेग स्थिति के परिवर्तन की दर है, या कैलकुलस शब्दों में, इसका व्युत्पन्न), और त्वरण बनाम। समय वेग बनाम समय का ढलान है (त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है)।

परिचयात्मक यांत्रिकी कक्षाओं में, छात्रों को आमतौर पर किनेमेटिक्स समस्याओं में वायु प्रतिरोध के प्रभावों को अनदेखा करने का निर्देश दिया जाता है। वास्तव में, ये प्रभाव काफी हो सकते हैं और एक कण को ​​बहुत धीमा कर सकते हैं, विशेष रूप से उच्च गति पर, क्योंकिखिंचाव बलद्रवों का (वायुमंडल सहित) न केवल वेग के समानुपाती होता है, बल्कि वेग के वर्ग के समानुपाती होता है।

इस वजह से, जब भी आप वेग या विस्थापन घटकों सहित किसी समस्या को हल करते हैं और अपनी गणना से वायु प्रतिरोध के प्रभावों को छोड़ने के लिए कहा जाता है, तो पहचानें कि वास्तविक मान कुछ कम होने की संभावना है, और समय मान कुछ अधिक है, क्योंकि चीजों को मूल समीकरणों की तुलना में हवा के माध्यम से एक स्थान से दूसरे स्थान पर पहुंचने में अधिक समय लगता है। भविष्यवाणी करना।

किनेमेटिक्स की समस्या का सामना करते समय सबसे पहली बात यह है कि वेरिएबल्स की पहचान करें और उन्हें लिख लें। उदाहरण के लिए, आप सभी ज्ञात चरों की सूची बना सकते हैं जैसे x₀ = 0, वी_0x = 5 मीटर/सेकेंड और इसी तरह। यह चुनने का मार्ग प्रशस्त करने में मदद करता है कि कौन सा गतिज समीकरण आपको समाधान की ओर बढ़ने की सबसे अच्छी अनुमति देगा।

एक-आयामी समस्याएं (रैखिक किनेमेटिक्स) आमतौर पर गिरने वाली वस्तुओं की गति से निपटती हैं, हालांकि वे एक क्षैतिज रेखा में गति तक सीमित चीजों को शामिल कर सकते हैं, जैसे कार या ट्रेन सीधी सड़क पर या धावन पथ।

​एक आयामी कीनेमेटीक्स उदाहरण:​

​1. क्या हैअंतिम वेग300 मीटर (984 फीट) ऊंची गगनचुंबी इमारत के ऊपर से गिराए गए एक पैसे का?​

यहाँ गति केवल उर्ध्वाधर दिशा में होती है। प्रारंभिक वेगवी​_0y = ० चूँकि पैसा गिराया जाता है, फेंका नहीं जाता। Y y₀, या कुल दूरी, -300 मीटर है। आप जो मूल्य चाहते हैं वह v. का है_आप (या वी_{वित्तीय वर्ष}). त्वरण का मान –g, या –9.8 m/s. है².

इसलिए आप समीकरण का उपयोग करते हैं:

यह कम हो जाता है:

यह तेजी से काम करता है, और वास्तव में घातक, (76.7 मीटर/सेकेंड) (मील/1609.3 मीटर) (3600 सेकेंड/घंटा) = 172.5 मील प्रति घंटा। महत्वपूर्ण: इस प्रकार की समस्या में वेग पद का वर्ग इस तथ्य को अस्पष्ट करता है कि इसका मान ऋणात्मक हो सकता है, जैसा कि इस मामले में है; कण का वेग सदिश y-अक्ष के अनुदिश नीचे की ओर इंगित करता है। गणितीय रूप से, दोनोंवी= ७६.७ मी/से औरवी= -76.7 m/s समाधान हैं।

​2. एक रेस ट्रैक के चारों ओर ५० मीटर/सेकेंड (लगभग ११२ मील प्रति घंटा) के निरंतर वेग के साथ ३० मिनट के लिए यात्रा करने वाली कार का विस्थापन क्या है, इस प्रक्रिया में ठीक ३० चक्कर पूरा करना?​

यह एक तरह का ट्रिकी सवाल है। तय की गई दूरी केवल गति और समय का गुणनफल है: (५० मी/से)(१८०० सेकंड) = ९०,००० मीटर या ९० किमी (लगभग ५६ मील)। लेकिन विस्थापन शून्य है क्योंकि कार उसी जगह से ऊपर उठती है जहां से वह शुरू होती है।

​द्वि-आयामी कीनेमेटीक्स उदाहरण:​

​3. एक बेसबॉल खिलाड़ी एक गेंद को क्षैतिज रूप से 100 मील प्रति घंटे की गति से फेंकता है (४५ मी/से) पहली समस्या में इमारत की छत से। गणना करें कि यह जमीन से टकराने से पहले कितनी दूर क्षैतिज रूप से यात्रा करता है।​

पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि गेंद कितनी देर तक हवा में है। ध्यान दें कि गेंद में क्षैतिज वेग घटक होने के बावजूद, यह अभी भी एक फ्री-फॉल समस्या है।

पहला उपयोग वी​​ = वी₀ + अत और मूल्यों में प्लग करें v = -76.7 m/s, v₀ = 0 और a = -9.8 मी/से² t को हल करने के लिए, जो 7.8 सेकंड है। फिर इस मान को स्थिर वेग समीकरण में बदलें (क्योंकि x दिशा में कोई त्वरण नहीं है)एक्स = एक्स₀ + वीटीx के लिए हल करने के लिए, कुल क्षैतिज विस्थापन:

या 0.22 मील।

इसलिए गेंद सैद्धांतिक रूप से गगनचुंबी इमारत के आधार से एक मील के एक चौथाई के करीब उतरेगी।

व्यक्तिगत घटनाओं के बारे में उपयोगी भौतिक डेटा की आपूर्ति के अलावा, किनेमेटिक्स से संबंधित डेटा का उपयोग एक ही वस्तु में विभिन्न मापदंडों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए किया जा सकता है। यदि वस्तु एक मानव एथलीट होती है, तो कुछ मामलों में एथलेटिक प्रशिक्षण को चार्ट करने और आदर्श ट्रैक इवेंट प्लेसमेंट निर्धारित करने में मदद करने के लिए भौतिकी डेटा का उपयोग करने की संभावनाएं हैं।

उदाहरण के लिए, स्प्रिंट में 800 मीटर तक की दूरी (सिर्फ आधा मील की दूरी पर), मध्यम दूरी की दौड़ शामिल हैं लगभग ३,००० मीटर के माध्यम से ८०० मीटर की दूरी को शामिल करें और वास्तविक लंबी दूरी की घटनाएं ५,००० मीटर (३.१०७ मील) हैं और ऊपर। यदि आप दौड़ की घटनाओं में विश्व रिकॉर्ड की जांच करते हैं, तो आप दौड़ दूरी (एक स्थिति पैरामीटर, मान लीजिए) के बीच एक अलग और अनुमानित उलटा संबंध देखते हैंएक्स) और विश्व रिकॉर्ड गति (वी, या का अदिश घटकवी​).

यदि एथलीटों का एक समूह दूरी की एक श्रृंखला में दौड़ की एक श्रृंखला चलाता है, और गति बनाम गति। प्रत्येक धावक के लिए दूरी का ग्राफ बनाया जाता है, जो लंबी दूरी पर बेहतर होते हैं, वे एक चापलूसी वक्र दिखाएंगे, जैसे उनकी गति उन धावकों की तुलना में बढ़ती दूरी के साथ कम धीमी होती है जिनके प्राकृतिक "स्वीट स्पॉट" कम होते हैं दूरियां।

आइजैक न्यूटन (१६४२-१७२६) किसी भी तरह से, मानव जाति के अब तक के सबसे उल्लेखनीय बौद्धिक नमूनों में से एक था। कैलकुलस के गणितीय अनुशासन के सह-संस्थापक के रूप में श्रेय दिए जाने के अलावा, भौतिक विज्ञान के लिए गणित के उनके अनुप्रयोग ने मार्ग प्रशस्त किया ट्रांसलेशनल मोशन (जिस तरह की यहां चर्चा की जा रही है) के साथ-साथ घूर्णी गति और सर्कुलर के बारे में एक अभूतपूर्व छलांग और स्थायी विचारों के लिए गति।

शास्त्रीय यांत्रिकी की एक पूरी नई शाखा की स्थापना में, न्यूटन ने एक कण की गति के बारे में तीन मूलभूत नियमों को स्पष्ट किया।न्यूटन का पहला नियमयह बताता है कि स्थिर वेग (शून्य सहित) से गतिमान वस्तु उस अवस्था में तब तक बनी रहेगी जब तक कि किसी असंतुलित बाहरी बल द्वारा उसे परेशान न किया जाए। पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण लगभग हमेशा मौजूद रहता है।न्यूटन का दूसरा नियमदावा करता है कि किसी वस्तु पर द्रव्यमान के साथ लागू एक शुद्ध बाहरी बल उस वस्तु को गति देने के लिए मजबूर करता है:एफ_जाल= एमए​. ​न्यूटन का तीसरा नियमप्रस्तावित करता है कि प्रत्येक बल के लिए परिमाण में समान और दिशा में विपरीत बल मौजूद होता है।