कल्पना कीजिए कि आप एक तोप चला रहे हैं, जिसका लक्ष्य दुश्मन के महल की दीवारों को तोड़ना है ताकि आपकी सेना तूफान में आकर जीत का दावा कर सके। यदि आप जानते हैं कि तोप से निकलते समय गेंद कितनी तेजी से चलती है, और आप जानते हैं कि दीवारें कितनी दूर हैं, तोप को सफलतापूर्वक दीवारों से टकराने के लिए आपको किस प्रक्षेपण कोण की आवश्यकता है?
यह एक प्रक्षेप्य गति समस्या का एक उदाहरण है, और आप किनेमेटिक्स और कुछ बुनियादी बीजगणित के निरंतर त्वरण समीकरणों का उपयोग करके इसे और इसी तरह की कई समस्याओं को हल कर सकते हैं।
प्रक्षेप्य गतियह है कि भौतिक विज्ञानी द्वि-आयामी गति का वर्णन कैसे करते हैं, जहां प्रश्न अनुभवों में वस्तु का एकमात्र त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण निरंतर नीचे की ओर त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर, निरंतर त्वरणएके बराबर हैजी= 9.8 मी/से2, और प्रक्षेप्य गति से गुजरने वाली वस्तु में हैनिर्बाध गिरावटइसके साथ ही त्वरण का एकमात्र स्रोत के रूप में। ज्यादातर मामलों में, यह एक परवलय का मार्ग लेगा, इसलिए गति में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों घटक होंगे। यद्यपि वास्तविक जीवन में इसका (सीमित) प्रभाव होगा, शुक्र है कि अधिकांश हाई स्कूल भौतिकी प्रक्षेप्य गति की समस्याएं वायु प्रतिरोध के प्रभाव की उपेक्षा करती हैं।
आप प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को के मान का उपयोग करके हल कर सकते हैंजीऔर हाथ की स्थिति के बारे में कुछ अन्य बुनियादी जानकारी, जैसे प्रक्षेप्य की प्रारंभिक गति और जिस दिशा में यह यात्रा करता है। अधिकांश प्रारंभिक भौतिकी कक्षाओं को पास करने के लिए इन समस्याओं को हल करना सीखना आवश्यक है, और यह आपको सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं और तकनीकों से परिचित कराता है जिनकी आपको बाद के पाठ्यक्रमों में भी आवश्यकता होगी।
प्रक्षेप्य गति समीकरण
प्रक्षेप्य गति के समीकरण किनेमेटिक्स से निरंतर त्वरण समीकरण हैं, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण का त्वरण त्वरण का एकमात्र स्रोत है जिस पर आपको विचार करने की आवश्यकता है। किसी भी प्रक्षेप्य गति की समस्या को हल करने के लिए आपको चार मुख्य समीकरणों की आवश्यकता होगी:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
यहाँ,वीगति के लिए खड़ा है,वी0 प्रारंभिक गति है,एत्वरण है (जो के अधोमुखी त्वरण के बराबर है)जीसभी प्रक्षेप्य गति समस्याओं में),रोंविस्थापन है (प्रारंभिक स्थिति से) और हमेशा की तरह आपके पास समय है,तो.
ये समीकरण तकनीकी रूप से केवल एक आयाम के लिए हैं, और वास्तव में इन्हें वेक्टर मात्रा (वेग सहित) द्वारा दर्शाया जा सकता हैवी, प्रारंभिक वेगवी0 और इसी तरह), लेकिन व्यवहार में आप इन संस्करणों का अलग से उपयोग कर सकते हैं, एक बार मेंएक्स-दिशा और एक बार. मेंआप-दिशा (और यदि आपको कभी त्रि-आयामी समस्या थी, तो. मेंजेड-दिशा भी)।
यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि ये हैंकेवल निरंतर त्वरण के लिए उपयोग किया जाता है, जो उन्हें उन स्थितियों का वर्णन करने के लिए एकदम सही बनाता है जहां केवल गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव होता है त्वरण, लेकिन कई वास्तविक दुनिया की स्थितियों के लिए अनुपयुक्त जहां अतिरिक्त बलों की आवश्यकता होती है माना।
बुनियादी स्थितियों के लिए, आपको किसी वस्तु की गति का वर्णन करने की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो आप अन्य को शामिल कर सकते हैं कारक, जैसे कि जिस ऊंचाई से प्रक्षेप्य प्रक्षेपित किया गया था या यहां तक कि प्रक्षेप्य के उच्चतम बिंदु के लिए उन्हें हल भी करता है पथ।
प्रक्षेप्य गति की समस्याओं का समाधान
अब जब आपने प्रक्षेप्य गति सूत्र के चार संस्करण देख लिए हैं जिनका आपको उपयोग करने की आवश्यकता होगी समस्याओं को हल करें, आप उस रणनीति के बारे में सोचना शुरू कर सकते हैं जिसका उपयोग आप प्रक्षेप्य गति को हल करने के लिए करते हैं संकट।
मूल दृष्टिकोण समस्या को दो भागों में विभाजित करना है: एक क्षैतिज गति के लिए और दूसरा लंबवत गति के लिए। इसे तकनीकी रूप से क्षैतिज घटक और ऊर्ध्वाधर घटक कहा जाता है, और प्रत्येक का एक समान सेट होता है मात्राएँ, जैसे क्षैतिज वेग, ऊर्ध्वाधर वेग, क्षैतिज विस्थापन, ऊर्ध्वाधर विस्थापन और, जल्द ही।
इस दृष्टिकोण के साथ, आप किनेमेटिक्स समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उस समय को ध्यान में रखते हुएतोक्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों घटकों के लिए समान है, लेकिन प्रारंभिक वेग जैसी चीजों में प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग और प्रारंभिक क्षैतिज वेग के लिए अलग-अलग घटक होंगे।
समझने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि द्वि-आयामी गति के लिए,कोई भीगति के कोण को एक क्षैतिज घटक और एक ऊर्ध्वाधर घटक में तोड़ा जा सकता है, लेकिन जब आप ऐसा करते हैं, प्रश्न में समीकरण का एक क्षैतिज संस्करण होगा और एक लंबवत होगा संस्करण।
वायु प्रतिरोध के प्रभावों की उपेक्षा करना प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को व्यापक रूप से सरल करता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कभी कोई नहीं होता है प्रक्षेप्य गति (फ्री फॉल) समस्या में त्वरण, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव केवल लंबवत रूप से कार्य करता है (अर्थात, सतह की ओर) पृथ्वी)।
इसका मतलब है कि क्षैतिज वेग घटक सिर्फ एक स्थिर गति है, और गति केवल तभी रुकती है जब गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेप्य को जमीनी स्तर पर लाता है। इसका उपयोग उड़ान के समय को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि यह पूरी तरह से पर निर्भर हैआप-दिशा गति और पूरी तरह से लंबवत विस्थापन (यानी, समय .) के आधार पर काम किया जा सकता हैतोजब ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होता है तो आपको उड़ान का समय बताता है)।
प्रक्षेप्य गति की समस्याओं में त्रिकोणमिति
यदि प्रश्न में समस्या आपको लॉन्च कोण और प्रारंभिक वेग देती है, तो आपको क्षैतिज और लंबवत वेग घटकों को खोजने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। एक बार ऐसा करने के बाद, आप समस्या को वास्तव में हल करने के लिए पिछले अनुभाग में उल्लिखित विधियों का उपयोग कर सकते हैं।
अनिवार्य रूप से, आप प्रक्षेपण कोण पर झुके हुए कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं (θ) और वेग का परिमाण लंबाई के रूप में होता है, और फिर आसन्न पक्ष वेग का क्षैतिज घटक होता है और विपरीत पक्ष ऊर्ध्वाधर वेग होता है।
निर्देशानुसार समकोण त्रिभुज बनाएं, और आप देखेंगे कि आप त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को ढूंढते हैं:
\पाठ{cos}\; = \ frac {\ पाठ {आसन्न}} {\ पाठ {कर्ण}}
\पाठ{पाप}\; = \ frac {\ पाठ {विपरीत}} {\ पाठ {कर्ण}}
तो इन्हें फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है (और विपरीत =. के साथ)वीआप और आसन्न =वीएक्स, अर्थात्, क्रमशः ऊर्ध्वाधर वेग घटक और क्षैतिज वेग घटक, और कर्ण =वी0, प्रारंभिक गति) देने के लिए:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
यह सभी त्रिकोणमिति है जो आपको प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को हल करने के लिए करने की आवश्यकता होगी: लॉन्च कोण को प्लग करना समीकरण, अपने कैलकुलेटर पर साइन और कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करके और परिणाम को प्रारंभिक गति से गुणा करना प्रक्षेप्य
तो ऐसा करने के उदाहरण के माध्यम से जाने के लिए, 20 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति और 60 डिग्री के लॉन्च कोण के साथ, घटक हैं:
\शुरू {गठबंधन} v_x &= 20 \;\पाठ{एम/एस} × \cos (60) \\ &= 10 \;\पाठ{एम/एस} \\ v_y &= 20 \;\पाठ {एम /s} × \sin (60) \\ &= 17.32 \;\text{m/s} \end{aligned}
उदाहरण प्रोजेक्टाइल मोशन प्रॉब्लम: एक एक्सप्लोडिंग फायरवर्क
कल्पना कीजिए कि एक आतिशबाजी में एक फ्यूज डिज़ाइन किया गया है ताकि वह अपने प्रक्षेपवक्र के उच्चतम बिंदु पर विस्फोट कर सके, और इसे क्षैतिज से 70 डिग्री के कोण पर 60 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ लॉन्च किया गया।
आप किस ऊंचाई पर काम करेंगेएचयह विस्फोट करता है? और प्रक्षेपण से वह समय क्या होगा जब यह फट जाएगा?
यह कई समस्याओं में से एक है जिसमें प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई शामिल है, और इन्हें हल करने की चाल यह ध्यान दे रही है कि अधिकतम ऊंचाई पर,आप-एक क्षण के लिए वेग का घटक 0 m/s है। के लिए इस मान को प्लग इन करकेवीआप और गतिज समीकरणों में से सबसे उपयुक्त का चयन करके, आप इस और इसी तरह की किसी भी समस्या से आसानी से निपट सकते हैं।
सबसे पहले, गतिज समीकरणों को देखते हुए, यह बाहर कूदता है (यह दिखाने के लिए कि हम ऊर्ध्वाधर दिशा में काम कर रहे हैं, सबस्क्रिप्ट के साथ):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
यह समीकरण आदर्श है क्योंकि आप त्वरण को पहले से ही जानते हैं (एआप = -जी), प्रारंभिक वेग और प्रक्षेपण कोण (ताकि आप ऊर्ध्वाधर घटक का काम कर सकेंवीy0). चूँकि हम के मान की तलाश कर रहे हैंरोंआप (यानी, ऊंचाईएच) कब अवीआप = 0, हम अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग घटक के लिए शून्य को स्थानापन्न कर सकते हैं और के लिए पुन: व्यवस्थित कर सकते हैंरोंआप:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
चूंकि ऊपर की दिशा को कॉल करना समझ में आता हैआप, और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के बाद सेजीनीचे की ओर निर्देशित है (अर्थात, -आपदिशा), हम बदल सकते हैंएआप के लिये -जी. अंत में, कॉलिंगरोंआप ऊँचाईंएच, हम लिख सकते है:
एच = \frac{v_{0y}^2}{2g}
तो समस्या को हल करने के लिए आपको केवल एक चीज की जरूरत है, वह है प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक, जिसे आप पिछले अनुभाग से त्रिकोणमितीय दृष्टिकोण का उपयोग करके कर सकते हैं। तो प्रश्न से जानकारी (60 मीटर/सेकेंड और क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए 70 डिग्री) के साथ, यह देता है:
\शुरू {गठबंधन} v_{0y} और = ६० \;\पाठ{एम/एस} × \sin (७०) \\ &= ५६.३८ \;\पाठ{एम/एस} \end{गठबंधन}
अब आप अधिकतम ऊंचाई के लिए हल कर सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9.8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162.19 \text{m} \end{aligned}
तो आतिशबाजी जमीन से करीब 162 मीटर की दूरी पर फटेगी।
उदाहरण जारी रखना: उड़ान का समय और तय की गई दूरी
पूरी तरह से लंबवत गति पर आधारित प्रक्षेप्य गति समस्या की मूल बातें हल करने के बाद, शेष समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है। सबसे पहले, लॉन्च के समय से फ़्यूज़ फटने का समय अन्य निरंतर त्वरण समीकरणों में से एक का उपयोग करके पाया जा सकता है। विकल्पों को देखते हुए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) टी \\
समय हैतो, जो आप जानना चाहते हैं; विस्थापन, जिसे आप उड़ान के अधिकतम बिंदु के लिए जानते हैं; प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग; और अधिकतम ऊंचाई के समय वेग (जिसे हम जानते हैं शून्य है)। तो इसके आधार पर, उड़ान के समय के लिए एक अभिव्यक्ति देने के लिए समीकरण को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
तो मूल्यों को सम्मिलित करना और के लिए हल करनातोदेता है:
\शुरू {गठबंधन} टी &= \frac{2 × 162.19 \;\पाठ{एम}} {56.38 \; \text{m/s}} \\ &= 5.75 \;\text{s} \end{aligned}
तो फायरवर्क लॉन्च के 5.75 सेकंड बाद फट जाएगा।
अंत में, आप पहले समीकरण के आधार पर तय की गई क्षैतिज दूरी को आसानी से निर्धारित कर सकते हैं, जो (क्षैतिज दिशा में) बताता है:
v_x = v_{0x} + a_xt
हालांकि, यह देखते हुए कि में कोई त्वरण नहीं हैएक्स-दिशा, यह बस है:
v_x = v_{0x}
जिसका अर्थ है कि वेग. मेंएक्सआतिशबाजी की पूरी यात्रा में दिशा समान होती है। मान लें किवी = घ/तो, कहां हैघतय की गई दूरी है, यह देखना आसान हैघ = वीटी, और इसलिए इस मामले में (साथरोंएक्स = घ):
s_x = v_{0x}t
तो आप बदल सकते हैंवी0x पहले से त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति के साथ, मानों को इनपुट करें और हल करें:
\शुरू {गठबंधन} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5.75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\पाठ{एम} \अंत{गठबंधन}
तो यह विस्फोट से पहले लगभग 118 मीटर की यात्रा करेगा।
अतिरिक्त प्रक्षेप्य गति समस्या: डड आतिशबाजी
काम करने के लिए एक अतिरिक्त समस्या के लिए, पिछले उदाहरण से आतशबाज़ी की कल्पना करें (शुरुआती 60 मीटर/सेकेंड का वेग लॉन्च किया गया क्षैतिज से 70 डिग्री पर) अपने परवलय के चरम पर विस्फोट करने में विफल रहा, और इसके बजाय जमीन पर गिर गया अविस्फोटित। क्या आप इस मामले में उड़ान के कुल समय की गणना कर सकते हैं? प्रक्षेपण स्थल से कितनी दूर क्षैतिज दिशा में यह उतरेगा, या दूसरे शब्दों में, यह क्या हैरेंजप्रक्षेप्य का?
यह समस्या मूल रूप से उसी तरह काम करती है, जहां वेग और विस्थापन के लंबवत घटक होते हैं उड़ान के समय को निर्धारित करने के लिए आपको जिन मुख्य बातों पर विचार करने की आवश्यकता है, और उसी से आप निर्धारित कर सकते हैं सीमा। समाधान के माध्यम से विस्तार से काम करने के बजाय, आप इसे पिछले उदाहरण के आधार पर स्वयं हल कर सकते हैं।
एक प्रक्षेप्य की सीमा के लिए सूत्र हैं, जिन्हें आप देख सकते हैं या निरंतर त्वरण समीकरणों से प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह नहीं है वास्तव में इसकी आवश्यकता है क्योंकि आप पहले से ही प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई जानते हैं, और इस बिंदु से यह केवल मुक्त गिरावट के प्रभाव में है गुरुत्वाकर्षण।
इसका मतलब है कि आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि आतिशबाजी को जमीन पर वापस गिरने में कितना समय लगता है, और फिर इसे उड़ान के समय में अधिकतम उड़ान समय निर्धारित करने के लिए अधिकतम ऊंचाई तक जोड़ें। तब से, यह सीमा निर्धारित करने के लिए उड़ान के समय के साथ-साथ क्षैतिज दिशा में निरंतर गति का उपयोग करने की समान प्रक्रिया है।
दिखाएँ कि उड़ान का समय 11.5 सेकंड है, और सीमा 236 मीटर है, यह देखते हुए कि आपको इसकी आवश्यकता होगी वेग के ऊर्ध्वाधर घटक की गणना उस बिंदु पर करें जब यह एक मध्यवर्ती के रूप में जमीन से टकराता है कदम।