रोजमर्रा की जिंदगी में, ज्यादातर लोग शब्दों का इस्तेमाल करते हैंस्पीडतथावेगएक दूसरे के स्थान पर, लेकिन भौतिकविदों के लिए, वे दो बहुत अलग प्रकार की मात्रा के उदाहरण हैं।
यांत्रिकी समस्याएं वस्तुओं की गति से निपटती हैं, और जब आप गति के संदर्भ में गति का वर्णन कर सकते हैं, तो विशिष्ट दिशा कि कुछ जा रहा है अक्सर गंभीर रूप से महत्वपूर्ण होता है।
इसी तरह, वस्तुओं पर लागू बल कई अलग-अलग दिशाओं से आ सकते हैं - उदाहरण के लिए, रस्साकशी में विरोधी खींचने के बारे में सोचें - इसलिए इस तरह की स्थितियों का वर्णन करने वाले भौतिकविदों को उन मात्राओं का उपयोग करने की आवश्यकता होती है जो बलों जैसी चीजों के "आकार" और जिस दिशा में वे दोनों का वर्णन करती हैं अधिनियम इन राशियों को कहा जाता हैवैक्टर.
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक सदिश में परिमाण और विशिष्ट दिशा दोनों होते हैं, लेकिन अदिश राशि में केवल परिमाण होता है।
वैक्टर बनाम। अदिश
वैक्टर और स्केलर के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि वेक्टर का परिमाण पूरी तरह से इसका वर्णन नहीं करता है; एक निश्चित दिशा भी होनी चाहिए।
वेक्टर की दिशा को कई तरह से बताया जा सकता है, चाहे उसके सामने सकारात्मक या नकारात्मक संकेतों के माध्यम से, इसे घटकों के रूप में व्यक्त करना (उपयुक्त के बगल में स्केलर मान)
मैं, जेतथाक"इकाई वेक्टर", जो कार्तीय निर्देशांक के अनुरूप हैएक्स, आपतथाजेड, क्रमशः), एक निर्दिष्ट दिशा के संबंध में एक कोण जोड़ना (उदाहरण के लिए, ". से 60 डिग्री"एक्स-अक्ष") या दिशा का वर्णन करने के लिए बस कुछ शब्द जोड़ना (जैसे, "उत्तर-पश्चिम")।इसके विपरीत, एक अदिश बिना किसी अतिरिक्त संकेतन या जानकारी के केवल सदिश का परिमाण है - उदाहरण के लिए, गति, वेग वेक्टर के समतुल्य अदिश राशि है। गणितीय दृष्टिकोण से, यह वेक्टर का निरपेक्ष मान है।
हालाँकि, कई मात्राएँ, जैसे कि ऊर्जा, दबाव, लंबाई, द्रव्यमान, शक्ति और तापमान अदिश के उदाहरण हैं जो केवल संबंधित वेक्टर का परिमाण नहीं हैं। आपको द्रव्यमान की "दिशा" जानने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए, भौतिक संपत्ति के रूप में इसकी पूरी तस्वीर रखने के लिए।
कुछ विपरीत तथ्य हैं जिन्हें आप तब समझ सकते हैं जब आप एक अदिश राशि के बीच का अंतर जानते हैं और एक सदिश, जैसे कि यह विचार कि किसी चीज़ की गति स्थिर हो सकती है लेकिन वह निरंतर बदलती रहती है वेग। कल्पना कीजिए कि एक कार 10 किमी/घंटा की निरंतर गति से चल रही है लेकिन एक सर्कल में। चूंकि वेक्टर की दिशा इसकी परिभाषा का हिस्सा है, इसलिए कार का वेग वेक्टर हमेशा होता है इस उदाहरण में बदल रहा है, इस तथ्य के बावजूद कि वेक्टर का परिमाण (यानी, इसकी गति) है लगातार।
वेक्टर मात्रा के उदाहरण
भौतिकी में वैक्टर के कई उदाहरण हैं, लेकिन कुछ सबसे प्रसिद्ध उदाहरण बल, गति, त्वरण और वेग हैं, जिनमें से सभी शास्त्रीय भौतिकी में दृढ़ता से प्रदर्शित होते हैं। एक वेग वेक्टर को पूर्व में 25 मीटर/सेकेंड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, −8 किमी/घंटा. मेंआप-दिशा,वी= 5 मी/सेमैं+ 10 मी/सेजे, या १० मीटर/सेकेंड से ५० डिग्री की दिशा मेंएक्स-एक्सिस।
मोमेंटम वैक्टर एक और उदाहरण है जिसका उपयोग आप यह देखने के लिए कर सकते हैं कि भौतिकी में वेक्टर का परिमाण और दिशा कैसे प्रदर्शित होती है। ये वेग वेक्टर उदाहरणों की तरह काम करते हैं, पश्चिम में 50 किलो मीटर/सेकेंड के साथ, -12 किमी/घंटा. मेंजेडदिशा,पी= 12 किग्रा मी/सेमैं- 10 किग्रा मी/सेजे- 15 किग्रा मी/सेकऔर १०० किग्रा मी/से ३० डिग्री. सेएक्स-एक्सिस उदाहरण हैं कि उन्हें कैसे प्रदर्शित किया जा सकता है। त्वरण वैक्टर के प्रदर्शन के लिए वही मूल बिंदु जाते हैं, केवल अंतर m/s. की इकाई होने के साथ2 और वेक्टर के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला प्रतीक,ए.
बल सदिश व्यंजकों के इन उदाहरणों में से एक अंतिम है, और जबकि कई समानताएं हैं, बेलनाकार निर्देशांक (आर, θ, जेड) कार्टेशियन निर्देशांक के बजाय अन्य तरीके दिखाने में मदद कर सकते हैं जिन्हें वे प्रदर्शित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप एक बल लिख सकते हैं:एफ= 10 एनआर+ 35 एन𝛉, रेडियल दिशा और अज़ीमुथल दिशा में घटकों के साथ एक बल के लिए, या पृथ्वी पर 1 किलो वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल को 10 N के रूप में वर्णित करें -आरदिशा (यानी, ग्रह के केंद्र की ओर)।
आरेखों में वेक्टर संकेतन
आरेखों में, सदिशों को तीरों का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है, जिसमें सदिश का परिमाण तीर की लंबाई द्वारा दर्शाया जाता है और इसकी दिशा उस दिशा से प्रदर्शित होती है जिसमें तीर इंगित करता है। उदाहरण के लिए, एक बड़ा तीर दर्शाता है कि एक बल दूसरे बल से बड़ा (यानी अधिक न्यूटन या अधिक परिमाण) है।
गति दिखाने वाले सदिश के लिए, जैसे संवेग या वेग सदिश,शून्य वेक्टर(यानी, बिना वेग या संवेग का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर) एक बिंदु का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है।
यह ध्यान देने योग्य है कि क्योंकि तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है और इसका अभिविन्यास वेक्टर की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है। वेक्टर आरेख बनाते समय यथोचित रूप से सटीक होने का प्रयास करना उपयोगी होता है। यह सही नहीं है, लेकिन अगर वेक्टरएवेक्टर से दोगुना बड़ा हैख, तीर लगभग दोगुना लंबा होना चाहिए।
वेक्टर जोड़ और घटाव
सदिश जोड़ और सदिश घटाव स्केलर जोड़ने और घटाने की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन आप अवधारणाओं को आसानी से उठा सकते हैं। आपके द्वारा उपयोग किए जा सकने वाले दो मुख्य दृष्टिकोण हैं, और प्रत्येक के संभावित उपयोग हैं जो उस विशिष्ट समस्या पर निर्भर करते हैं जिससे आप निपट रहे हैं।
जब आपको घटक रूप में दो वैक्टर दिए गए हों, तो पहला और सबसे आसान उपयोग करना है, बस उसी तरह से मेल खाने वाले घटकों को जोड़ना है जैसे आप साधारण स्केलर जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको दो बलों को जोड़ने की आवश्यकता हैएफ1 = 5 एनमैं+ 10 एनजेतथाएफ2 = 6 एनमैं+ 15 एनजे+ 10 एनक, आप जोड़ देंगेमैंघटक, फिरजेघटक और अंत मेंकघटक इस प्रकार है:
\begin{aligned} \bm{F}_1 + \bm{F}_2 &= (5 \;\text{N} \;\bold{i} + 10 \;\text{N}\;\bold{ j}) + (6 \;\text{N} \;\bold{i} + 15 \;\text{N}\;\bold{j} + 10 \;\text{N}\;\bold{ k}) \\ &= (5 \;\text{N} + 6 \;\text{N}) \bold{i} + (10 \;\text{N} + 15 \;\text{N}) \bold{j} + (0 \;\text{N} + 10 \;\text{N}) \bold{k} \\ &= 11 \;\text{N} \;\bold{i} + 25 \;\text{N} \;\bold{j} + 10 \;\पाठ{एन} \;\बोल्ड{के} \अंत{गठबंधन}
वेक्टर घटाव ठीक उसी तरह काम करता है, सिवाय इसके कि आप मात्राओं को जोड़ने के बजाय घटाते हैं। वेक्टर जोड़ भी कम्यूटिव है, जैसे वास्तविक संख्याओं के साथ साधारण जोड़, इसलिएए + ख = ख + ए.
आप वेक्टर तीरों को सिर से पूंछ तक बिछाकर और फिर तीर आरेखों का उपयोग करके वेक्टर जोड़ भी कर सकते हैं पहले तीर की पूंछ को के सिर से जोड़ने वाले वैक्टर के योग के लिए एक नया वेक्टर तीर खींचना दूसरा।
यदि आपके पास एक के साथ एक साधारण वेक्टर जोड़ हैएक्स-दिशा और दूसरा मेंआप-दिशा, आरेख एक समकोण त्रिभुज बनाता है। आप सदिश जोड़ को पूरा कर सकते हैं और त्रिकोणमिति और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज को "हल" करके परिणामी वेक्टर की परिमाण और दिशा निर्धारित कर सकते हैं।
डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद
वास्तविक संख्याओं के लिए अदिश गुणन की तुलना में वैक्टर को गुणा करना थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन गुणन के दो मुख्य रूप हैं डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद। डॉट उत्पाद को अदिश उत्पाद कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
या
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = \lvert\bm{u}\rvert\lvert\bm{v}\rvert \text{cos}(θ)
कहां हैθदो वैक्टर के बीच का कोण है, और सबस्क्रिप्ट 1, 2 और 3 वेक्टर के पहले, दूसरे और तीसरे घटक का प्रतिनिधित्व करते हैं। डॉट उत्पाद का परिणाम एक अदिश राशि है।
क्रॉस उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\बीएम{ए} \; \bold{×} \;\bm{b} =(a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3,a_1b_2 - a_2b_1)
परिणाम के घटकों को अलग-अलग दिशाओं में अल्पविराम से अलग करते हुए।