ज्यादातर लोग ऊर्जा के संरक्षण के बारे में जानते हैं। संक्षेप में, यह कहता है कि ऊर्जा संरक्षित है; यह बनाया नहीं जाता है और यह नष्ट नहीं होता है, और यह बस एक रूप से दूसरे रूप में बदल जाता है।
इसलिए यदि आप एक गेंद को जमीन से दो मीटर ऊपर पूरी तरह से स्थिर रखते हैं, और फिर उसे छोड़ते हैं, तो इससे प्राप्त ऊर्जा कहाँ से आती है? जमीन से टकराने से पहले कोई चीज पूरी तरह से इतनी गतिज ऊर्जा कैसे हासिल कर सकती है?
इसका उत्तर यह है कि स्थिर गेंद में संचित ऊर्जा का एक रूप होता है जिसे कहा जाता हैगुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा, या संक्षेप में GPE। यह संग्रहीत ऊर्जा के सबसे महत्वपूर्ण रूपों में से एक है जो एक हाई स्कूल के छात्र भौतिकी में सामना करेंगे।
जीपीई यांत्रिक ऊर्जा का एक रूप है जो पृथ्वी की सतह से ऊपर वस्तु की ऊंचाई (या वास्तव में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के किसी अन्य स्रोत) के कारण होता है। कोई भी वस्तु जो ऐसी प्रणाली में न्यूनतम-ऊर्जा बिंदु पर नहीं है, उसमें कुछ गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होती है, और यदि and जारी (यानी, स्वतंत्र रूप से गिरने की अनुमति), यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के केंद्र की ओर तब तक गति करेगा जब तक कि कुछ इसे रोकता है।
यद्यपि किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करने की प्रक्रिया काफी है सीधे गणितीय रूप से, यह अवधारणा गणना के मामले में असाधारण रूप से उपयोगी है अन्य मात्रा। उदाहरण के लिए, GPE की अवधारणा के बारे में सीखने से गतिज ऊर्जा और गिरने वाली वस्तु की अंतिम गति की गणना करना वास्तव में आसान हो जाता है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा
GPE दो प्रमुख कारकों पर निर्भर करता है: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के सापेक्ष वस्तु की स्थिति और वस्तु का द्रव्यमान। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (पृथ्वी पर, ग्रह का केंद्र) बनाने वाले शरीर के द्रव्यमान का केंद्र क्षेत्र में सबसे कम ऊर्जा बिंदु है (हालांकि व्यवहार में वास्तविक शरीर इस बिंदु से पहले गिरना बंद कर देगा, जैसा कि पृथ्वी की सतह करती है), और इस बिंदु से एक वस्तु जितनी दूर होती है, उतनी ही अधिक संग्रहीत ऊर्जा उसके कारण होती है पद। यदि वस्तु अधिक विशाल है तो संग्रहित ऊर्जा की मात्रा भी बढ़ जाती है।
यदि आप किसी बुकशेल्फ़ के ऊपर रखी किसी पुस्तक के बारे में सोचते हैं, तो आप गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा की मूल परिभाषा को समझ सकते हैं। जमीन के सापेक्ष अपनी ऊँची स्थिति के कारण पुस्तक में फर्श पर गिरने की क्षमता है, लेकिन एक जो शुरू होती है बाहर फर्श पर नहीं गिर सकता, क्योंकि यह पहले से ही सतह पर है: शेल्फ पर पुस्तक में GPE है, लेकिन एक जमीन पर है नहीं करता है।
अंतर्ज्ञान आपको यह भी बताएगा कि एक किताब जो दो बार मोटी होती है, वह जमीन से टकराने पर दो बार बड़ी हो जाती है; इसका कारण यह है कि वस्तु का द्रव्यमान किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा की मात्रा के समानुपाती होता है।
जीपीई फॉर्मूला
गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा (जीपीई) का सूत्र वास्तव में सरल है, और यह द्रव्यमान से संबंधित हैम, पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरणजी) और पृथ्वी की सतह से ऊँचाईएचगुरुत्वाकर्षण के कारण संग्रहीत ऊर्जा के लिए:
जीपीई = एमजीएच
जैसा कि भौतिकी में आम है, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के लिए कई संभावित विभिन्न प्रतीक हैं, जिनमें शामिल हैंयूजी, पी.ईग्रेवी और दूसरे। GPE ऊर्जा का एक माप है, इसलिए इस गणना का परिणाम जूल (J) में एक मान होगा।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सतह पर कहीं भी (मोटे तौर पर) स्थिर मान होता है और यह सीधे ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र की ओर इशारा करता है: g = 9.81 m/s2. इस स्थिर मान को देखते हुए, GPE की गणना करने के लिए केवल एक चीज जो आपको चाहिए वह है वस्तु का द्रव्यमान और सतह से ऊपर वस्तु की ऊंचाई।
GPE गणना उदाहरण
तो आप क्या करते हैं यदि आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि किसी वस्तु में कितनी गुरुत्वाकर्षण क्षमता है? संक्षेप में, आप बस एक साधारण संदर्भ बिंदु के आधार पर वस्तु की ऊंचाई को परिभाषित कर सकते हैं (जमीन आमतौर पर ठीक काम करती है) और इसे इसके द्रव्यमान से गुणा करेंमऔर स्थलीय गुरुत्वाकर्षण स्थिरांकजीजीपीई खोजने के लिए।
उदाहरण के लिए, एक पुली सिस्टम द्वारा जमीन से 5 मीटर की ऊंचाई पर लटकाए गए 10-किलोग्राम द्रव्यमान की कल्पना करें। इसमें कितनी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है?
समीकरण का उपयोग करने और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:
\शुरू {गठबंधन} GPE&=mgh \\ &= 10 \;\पाठ{किलो} × 9.81 \;\पाठ{एम/एस}^2 × 5 \;\पाठ{एम}\\ &= 490.5 \;\ पाठ {जे} \ अंत {गठबंधन}
हालाँकि, यदि आप इस लेख को पढ़ते समय अवधारणा के बारे में सोच रहे हैं, तो आपने एक दिलचस्प प्रश्न पर विचार किया होगा: यदि गुरुत्वाकर्षण क्षमता पृथ्वी पर किसी वस्तु की ऊर्जा केवल वास्तव में शून्य है यदि वह द्रव्यमान के केंद्र में है (अर्थात, पृथ्वी के केंद्र के अंदर), तो आप इसकी गणना क्यों करते हैं जैसे कि सतह की सतह पृथ्वी हैएच = 0?
सच्चाई यह है कि ऊंचाई के लिए "शून्य" बिंदु का चुनाव मनमाना है, और यह आमतौर पर समस्या को आसान बनाने के लिए किया जाता है। जब भी आप GPE की गणना करते हैं, तो आप वास्तव में गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के बारे में अधिक चिंतित होते हैंपरिवर्तनसंग्रहीत ऊर्जा के किसी भी प्रकार के पूर्ण माप के बजाय।
संक्षेप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप टेबलटॉप को कॉल करने का निर्णय लेते हैंएच= 0 पृथ्वी की सतह के बजाय क्योंकि आप हमेशा हैंवास्तव मेंऊंचाई में परिवर्तन से संबंधित संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बारे में बात करना।
तो, विचार करें कि कोई व्यक्ति एक डेस्क की सतह से १.५-किलोग्राम भौतिकी की पाठ्यपुस्तक उठा रहा है, उसे सतह से ५० सेमी (यानी, ०.५ मीटर) ऊपर उठा रहा है। गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन क्या होता है (अंकित .)जीपीई) किताब के लिए जैसा कि इसे उठाया गया है?
चाल, निश्चित रूप से, तालिका को संदर्भ बिंदु कहना है, जिसकी ऊंचाईएच= 0, या समकक्ष, ऊंचाई में परिवर्तन पर विचार करने के लिए (∆एच) प्रारंभिक स्थिति से। किसी भी मामले में, आपको मिलता है:
\शुरू {गठबंधन} जीपीई और = मिलीग्राम∆h \\ &= 1.5 \;\पाठ {किलो} × 9.81 \;\पाठ{एम/एस}^2 × 0.5 \;\पाठ{एम}\\ &= 7.36 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
जीपीई में "जी" डालना
गुरुत्वाकर्षण त्वरण के लिए सटीक मानजीजीपीई समीकरण में एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के स्रोत से एक निश्चित दूरी ऊपर उठाई गई वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा पर एक बड़ा प्रभाव पड़ता है। उदाहरण के लिए, मंगल की सतह पर का मानजीपृथ्वी की सतह की तुलना में लगभग तीन गुना छोटा है, इसलिए यदि आप एक ही वस्तु को समान उठाते हैं मंगल की सतह से दूरी, इसमें जितनी ऊर्जा होगी, उससे लगभग तीन गुना कम संग्रहित होगी पृथ्वी।
इसी तरह, हालांकि आप. के मान का अनुमान लगा सकते हैंजी9.81 मी/से के रूप में2 समुद्र तल पर पृथ्वी की सतह के पार, यदि आप सतह से पर्याप्त दूरी पर चलते हैं तो यह वास्तव में छोटा होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक माउंट पर थे। एवरेस्ट, जो पृथ्वी की सतह से ८,८४८ मीटर (८.८४८ किमी) ऊपर उठता है, ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र से इतनी दूर होने के कारण इसका मूल्य कम हो जाएगाजीथोड़ा, तो आपके पास होगाजी= 9.79 मी/से2 चरम पर।
यदि आप सफलतापूर्वक पहाड़ पर चढ़ गए और 2 किलो वजन 2 मीटर पर्वत की चोटी से हवा में उठा लिया, तो जीपीई में क्या परिवर्तन होगा?
जैसे another के भिन्न मान वाले किसी अन्य ग्रह पर GPE की गणना करनाजी, आप बस के लिए मान इनपुट करते हैंजीजो स्थिति के अनुकूल हो और ऊपर की तरह ही प्रक्रिया से गुजरे:
\शुरू {गठबंधन} जीपीई और = मिलीग्राम∆h \\ &= 2 \;\पाठ{kg} × 9.79\;\पाठ{एम/एस}^2 × 2 \;\पाठ{एम}\\ &= 39.16 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
पृथ्वी पर समुद्र तल पर, के साथजी= 9.81 मी/से2, समान द्रव्यमान उठाने से GPE बदल जाएगा:
\शुरू {गठबंधन} जीपीई और = मिलीग्राम∆h \\ &= 2 \;\पाठ{किग्रा} × 9.81\;\पाठ{एम/एस}^2 × 2 \;\पाठ{एम}\\ &= 39.24 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
यह बहुत बड़ा अंतर नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि जब आप समान उठाने की गति करते हैं तो ऊंचाई GPE में परिवर्तन को प्रभावित करती है। और मंगल की सतह पर, जहाँजी= 3.75 मी/से m2 यह होगा:
\शुरू {गठबंधन} जीपीई और = मिलीग्राम∆h \\ &= 2 \;\पाठ {किलो} × 3.75\;\पाठ{एम/एस}^2 × 2 \;\पाठ{एम}\\ &= 15 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
जैसा कि आप देख सकते हैं, value का मानजीआपको प्राप्त होने वाले परिणाम के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। गुरुत्वाकर्षण बल से किसी भी प्रभाव से दूर, गहरे अंतरिक्ष में समान उठाने की गति को निष्पादित करने से गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में अनिवार्य रूप से कोई परिवर्तन नहीं होगा।
GPE का उपयोग करके गतिज ऊर्जा ढूँढना
ऊर्जा के संरक्षण को सरल बनाने के लिए GPE की अवधारणा के साथ प्रयोग किया जा सकता हैबहुत बहभौतिकी में गणना। संक्षेप में, एक "रूढ़िवादी" बल के प्रभाव में, कुल ऊर्जा (गतिज ऊर्जा, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा और ऊर्जा के अन्य सभी रूपों सहित) संरक्षित है।
एक रूढ़िवादी बल वह है जहां किसी वस्तु को दो बिंदुओं के बीच स्थानांतरित करने के लिए बल के विरुद्ध किए गए कार्य की मात्रा लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए गुरुत्वाकर्षण रूढ़िवादी है क्योंकि किसी वस्तु को संदर्भ बिंदु से ऊंचाई तक उठानाएचगुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन करता हैएमजीएच, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे S-आकार के पथ में घुमाते हैं या एक सीधी रेखा में - यह हमेशा बदलता रहता हैएमजीएच.
अब एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप 500 ग्राम (0.5 किग्रा) की गेंद को 15 मीटर की ऊंचाई से गिरा रहे हों। वायु प्रतिरोध के प्रभाव को नजरअंदाज करते हुए और यह मानते हुए कि यह गिरने के दौरान घूमता नहीं है, जमीन से संपर्क करने से पहले गेंद में कितनी गतिज ऊर्जा होगी?
इस समस्या की कुंजी यह तथ्य है कि कुल ऊर्जा संरक्षित है, इसलिए सभी गतिज ऊर्जा GPE से आती है, और इसलिए गतिज ऊर्जाइक इसके अधिकतम मूल्य पर GPE के अधिकतम मूल्य के बराबर होना चाहिए, याजीपीई = इक. तो आप समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} E_k &= GPE \\ &= mgh\\ &= 0.5 \;\text{kg} × 9.81\;\text{m/s}^2 × 15 \;\text{m}\\ &= 73.58 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
GPE और ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके अंतिम वेग ढूँढना
ऊर्जा का संरक्षण कई अन्य गणनाओं को सरल करता है जिसमें गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा भी शामिल है। पिछले उदाहरण से गेंद के बारे में सोचें: अब जब आप गुरुत्वाकर्षण के आधार पर कुल गतिज ऊर्जा को जानते हैं अपने उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा, पृथ्वी से टकराने से पहले गेंद की अंतिम गति क्या है? सतह? आप इसे गतिज ऊर्जा के मानक समीकरण के आधार पर निकाल सकते हैं:
E_k=\frac{1}{2}एमवी^2
के मान के साथइक ज्ञात है, आप समीकरण को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं और गति के लिए हल कर सकते हैंवी:
\शुरू {गठबंधन} v&=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} \\ &=\sqrt{\frac{2 × 73.575 \;\text{J}}{0.5\;\text{kg}} } \\ और=17.16 \;\पाठ{एम/एस} \अंत{गठबंधन}
हालांकि, आप ऊर्जा के संरक्षण का उपयोग एक समीकरण प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं जो. पर लागू होता हैकोई भीगिरती हुई वस्तु, पहली बार इस बात पर ध्यान देकर कि इस तरह की स्थितियों में, - .जीपीई = ∆इक, इसलिए:
एमजीएच = \frac{1}{2}एमवी^2
रद्द कर रहा हैमदोनों पक्षों से और पुन: व्यवस्था देता है:
gh = \frac{1}{2}v^2 \\ \text{इसलिए} \;v= \sqrt{2gh}
ध्यान दें कि यह समीकरण दर्शाता है कि, वायु प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए, द्रव्यमान अंतिम गति को प्रभावित नहीं करता हैवी, इसलिए यदि आप किन्हीं दो वस्तुओं को समान ऊँचाई से गिराते हैं, तो वे ठीक उसी समय पर जमीन से टकराएँगी और समान गति से गिरेंगी। आप सरल, द्वि-चरणीय विधि का उपयोग करके प्राप्त परिणाम की जांच भी कर सकते हैं और दिखा सकते हैं कि यह नया समीकरण वास्तव में सही इकाइयों के साथ समान परिणाम उत्पन्न करता है।
के अतिरिक्त-स्थलीय मूल्यों को प्राप्त करनाजीजीपीई का उपयोग करना
अंत में, पिछला समीकरण आपको गणना करने का एक तरीका भी देता हैजीअन्य ग्रहों पर। कल्पना कीजिए कि आपने 0.5 किलोग्राम की गेंद को मंगल की सतह से 10 मीटर ऊपर गिरा दिया, और 8.66 मीटर/सेकेंड की अंतिम गति (सतह से टकराने से ठीक पहले) दर्ज की। का मान क्या हैजीमंगल ग्रह पर?
पुनर्व्यवस्था में पहले के चरण से शुरू:
gh = \frac{1}{2}v^2
आपने देखा:
\शुरू {गठबंधन} g &= \frac{v^2}{2h} \\ &= \frac{(8.66 \;\text{m/s})^2}{2 × 10 \;\text{m }} \\ &= 3.75 \;\text{m/s}^2 \end{aligned}
ऊर्जा का संरक्षण, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के समीकरणों के संयोजन में हैबहुत बहउपयोग करता है, और जब आप रिश्तों का फायदा उठाने के लिए अभ्यस्त हो जाते हैं, तो आप शास्त्रीय भौतिकी की एक विशाल श्रृंखला को आसानी से हल करने में सक्षम होंगे।