मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण: कार्य, व्युत्पत्ति और उदाहरण

बहुत छोटे कणों के साथ जो हो रहा है उसका वर्णन करना भौतिकी में एक चुनौती है। न केवल उनके आकार के साथ काम करना मुश्किल है, बल्कि अधिकांश रोजमर्रा के अनुप्रयोगों में, आप एक कण के साथ काम नहीं कर रहे हैं, लेकिन उनमें से अनगिनत सभी एक दूसरे के साथ बातचीत कर रहे हैं।

एक ठोस के भीतर, कण एक-दूसरे से आगे नहीं बढ़ते हैं, बल्कि काफी हद तक जगह में फंस जाते हैं। हालांकि, ठोस तापमान भिन्नता के साथ विस्तार और अनुबंध कर सकते हैं, और कभी-कभी कुछ स्थितियों में क्रिस्टलीय संरचनाओं में दिलचस्प परिवर्तन भी होते हैं।

द्रवों में कण एक दूसरे से आगे बढ़ने के लिए स्वतंत्र होते हैं। हालांकि, प्रत्येक व्यक्ति अणु क्या कर रहा है, इस पर नज़र रखने की कोशिश करके वैज्ञानिक तरल पदार्थों का अध्ययन नहीं करते हैं। इसके बजाय वे पूरे के बड़े गुणों को देखते हैं, जैसे चिपचिपाहट, घनत्व और दबाव।

तरल पदार्थों की तरह, गैस के भीतर के कण भी एक-दूसरे से आगे बढ़ने के लिए स्वतंत्र होते हैं। वास्तव में, तापमान और दबाव में अंतर के कारण गैसों के आयतन में नाटकीय परिवर्तन हो सकते हैं।

फिर से, थर्मल संतुलन पर भी, प्रत्येक व्यक्तिगत गैस अणु क्या कर रहा है, इस पर नज़र रखते हुए गैस का अध्ययन करने का कोई मतलब नहीं है। यह संभव नहीं होगा, खासकर जब आप समझते हैं कि एक खाली पीने के गिलास के स्थान में भी लगभग 10. हैं

जिस प्रकार की गैस का विश्लेषण करना सबसे आसान है वह एक आदर्श गैस है। यह आदर्श है क्योंकि यह कुछ ऐसे सरलीकरणों की अनुमति देता है जो भौतिकी को समझने में बहुत आसान बनाते हैं। मानक तापमान और दबाव पर कई गैसें लगभग आदर्श गैसों के रूप में कार्य करती हैं, जिससे उनका अध्ययन भी उपयोगी हो जाता है।

एक आदर्श गैस में, यह माना जाता है कि गैस के अणु स्वयं पूरी तरह से लोचदार टकरावों में टकराते हैं ताकि आपको इस तरह के टकराव के परिणामस्वरूप ऊर्जा बदलने वाले रूप के बारे में चिंता करने की आवश्यकता न हो। यह भी माना जाता है कि अणु एक दूसरे से बहुत दूर हैं, जिसका अनिवार्य रूप से अर्थ है आपको उनके बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि वे अंतरिक्ष के लिए एक-दूसरे से लड़ रहे हैं और उन्हें बिंदु के रूप में मान सकते हैं कण। आदर्श गैसें भी बहुत गर्म नहीं होती हैं और न ही बहुत ठंडी होती हैं, इसलिए आपको आयनीकरण या क्वांटम प्रभाव जैसे प्रभावों के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है।

यहां से गैस के कणों को उनके कंटेनर के भीतर उछलते हुए छोटे बिंदु कणों की तरह माना जा सकता है। लेकिन इस सरलीकरण के साथ भी, प्रत्येक कण क्या कर रहा है, इस पर नज़र रखकर गैसों को समझना अभी भी संभव नहीं है। हालांकि, यह वैज्ञानिकों को गणितीय मॉडल विकसित करने की अनुमति देता है जो मैक्रोस्कोपिक मात्राओं के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं।

आदर्श गैस नियम एक आदर्श गैस के दबाव, आयतन और तापमान से संबंधित है। दबावपीएक गैस का प्रति इकाई क्षेत्र बल है जो वह उस कंटेनर की दीवारों पर लगाता है जिसमें वह है। दाब का SI मात्रक पास्कल (Pa) है जहाँ 1Pa = 1N/m². आयतनवीगैस की मात्रा m. की SI इकाइयों में जगह लेती है³. और तापमानटीगैस की मात्रा प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का एक माप है, जिसे केल्विन की एसआई इकाइयों में मापा जाता है।

आदर्श गैस नियम का वर्णन करने वाले समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहा पेनहींअणुओं की संख्या या कणों की संख्या और बोल्ट्जमान स्थिरांक हैक​ = 1.38064852×10^-23 किलो मीटर²/एस²क।

इस कानून का एक समकक्ष सूत्रीकरण है:

कहा पेनहींमोल्स की संख्या है, और सार्वभौमिक गैस स्थिरांक हैआर= ८.३१४५ जे/मोलके.

ये दो भाव समतुल्य हैं। आप किसका उपयोग करना चुनते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप अपने अणु की संख्या को मोल में माप रहे हैं या अणुओं की संख्या में।

• 1 तिल = 6.022×10²³ अणु, जो कि अवोगाद्रो की संख्या है।

एक बार गैस को आदर्श मान लेने के बाद, आप एक अतिरिक्त सरलीकरण कर सकते हैं। यही है, प्रत्येक अणु की सटीक भौतिकी पर विचार करने के बजाय - जो कि उनकी विशाल संख्या के कारण असंभव होगा - उनके साथ ऐसा व्यवहार किया जाता है जैसे कि उनकी गति यादृच्छिक होती है। इस वजह से, क्या हो रहा है यह समझने के लिए आंकड़े लागू किए जा सकते हैं।

19वीं शताब्दी में, भौतिकविदों जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और लुडविग बोल्ट्जमैन ने वर्णित सरलीकरण के आधार पर गैसों के गतिज सिद्धांत को विकसित किया।

शास्त्रीय रूप से, गैस के प्रत्येक अणु में गतिज ऊर्जा हो सकती है जो इसके लिए जिम्मेदार होती है:

हालांकि, गैस के प्रत्येक अणु की गतिज ऊर्जा समान नहीं होती क्योंकि वे लगातार टकरा रहे हैं। अणुओं की गतिज ऊर्जाओं का सटीक वितरण मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दिया जाता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं पर आदर्श गैस अणुओं के वितरण का वर्णन करते हैं। इस वितरण का वर्णन करने वाला कार्य इस प्रकार है:

कहा पेएएक सामान्यीकरण स्थिरांक है,इऊर्जा है,कबोल्ट्जमान नियतांक है औरटीतापमान है।

इस फ़ंक्शन को प्राप्त करने के लिए आगे की धारणा यह है कि, उनके बिंदु-कण प्रकृति के कारण, किसी दिए गए राज्य में कितने कण हो सकते हैं इसकी कोई सीमा नहीं है। इसके अलावा, ऊर्जा राज्यों के बीच कणों का वितरण आवश्यक रूप से सबसे संभावित वितरण लेता है (के साथ बड़ी संख्या में कण, गैस के इस वितरण के करीब न होने की संभावना तेजी से बढ़ जाती है छोटा)। और अंत में, सभी ऊर्जा राज्य समान रूप से संभावित हैं।

ये आँकड़े काम करते हैं क्योंकि यह बहुत कम संभावना है कि कोई भी कण औसत से काफी अधिक ऊर्जा के साथ समाप्त हो सकता है। यदि ऐसा होता है, तो शेष कुल ऊर्जा के वितरण के लिए बहुत कम रास्ते बचेंगे। यह एक संख्या के खेल के लिए उबलता है - क्योंकि कहीं अधिक ऊर्जा राज्य हैं जिनके पास औसत से अधिक कण नहीं है, इस तरह की स्थिति में सिस्टम की संभावना गायब हो जाती है।

हालांकि, औसत से कम ऊर्जाएं अधिक संभावित हैं, फिर से संभावनाएं कैसे खेलती हैं। चूंकि सभी गति को यादृच्छिक माना जाता है और ऐसे कई तरीके हैं जिनसे एक कण कम ऊर्जा की स्थिति में समाप्त हो सकता है, इन राज्यों का समर्थन किया जाता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण आदर्श गैस कणों की गति का वितरण है। यह गति-वितरण फ़ंक्शन मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आंकड़ों से प्राप्त किया जा सकता है और दबाव, मात्रा और तापमान के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गति का वितरणवीनिम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

कहा पेमएक अणु का द्रव्यमान है।

संबंधित वितरण वक्र, गति वितरण फ़ंक्शन के साथआप-अक्ष और आणविक गतिएक्स-अक्ष, मोटे तौर पर एक असममित सामान्य वक्र जैसा दिखता है जिसमें दाईं ओर लंबी पूंछ होती है। इसका सबसे संभावित गति पर शिखर मूल्य हैवी_पी, और द्वारा दी गई औसत गति:

यह भी ध्यान दें कि इसकी लंबी संकरी पूंछ कैसे होती है। विभिन्न तापमानों पर वक्र थोड़ा बदल जाता है, लंबी पूंछ उच्च तापमान पर "मोटा" हो जाती है।

रिश्ते का प्रयोग करें:

कहा पेइ_{पूर्णांक}आंतरिक ऊर्जा है,केई​_{​औसत​} मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण से प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा है। आदर्श गैस कानून के साथ, आणविक गति के संदर्भ में दबाव और आयतन के बीच संबंध प्राप्त करना संभव है: