Oletko koskaan nähnyt yhtä niistä lintulinnuista, joka pystyy tasapainottamaan sormenpäilläsi nokasta tarttumatta, kuin taikalla? Lintujen tasapainottaminen ei ole taikuutta, vaan massakeskukseen liittyvä yksinkertainen fysiikka.
Massakeskuksen takana olevan fysiikan ymmärtäminen antaa sinun ymmärtää paitsi vauhdin ja muun siihen liittyvän säilymisen fysiikka, mutta voi myös kertoa vakaudesta ja dynamiikasta harrastamassasi urheilussa sekä antaa sinulle mahdollisuuden suorittaa luovaa tasapainoa toimii.
Määritelmä massakeskus
Esinemassan keskipiste, jota joskus kutsutaan myös painopisteeksi, voidaan ajatella pisteenä, jossa kohteen tai järjestelmän kokonaismassaa voidaan käsitellä pistemassana. Tietyissä tilanteissa ulkoisia voimia voidaan kohdella ikään kuin ne vaikuttavat kohteen massakeskipisteeseen.
Sormenpäällä tasapainottavan lintulinnun massan keskipiste on nokassa. Tämä saattaa tuntua aluksi väärältä, minkä vuoksi tasapainottaminen näyttää maagiselta. Oksalla istuvan linnun massan keskipiste on todellakin jossain kehossa. Mutta tasapainottavalla linnun lelulla on usein painotetut siivet, jotka ulottuvat ulospäin ja eteenpäin, mikä saa sen tasapainottamaan eri tavalla.
Massakeskus voidaan määrittää yhdelle esineelle - kuten tasapainottavalle linnulle - tai se voidaan laskea useiden esineiden järjestelmälle, kuten näet myöhemmässä osassa.
Massakeskus yksittäiselle esineelle
Jäykässä kappaleessa on aina yksi piste, joka on kyseisen kehon massakeskipisteen sijainti. Esineen massakeskipisteen sijainti riippuu massan jakautumisesta.
Jos kohteen tiheys on tasainen, sen massakeskipiste on helpompi määrittää. Esimerkiksi tasaisen tiheyden ympyrässä massan keskusta on ympyrän keskipiste. (Näin ei kuitenkaan olisi, jos ympyrä olisi tiheämpi toiselta puolelta).
Itse asiassa massakeskus on aina kohteen geometrisen keskipisteen kohdalla, kun tiheys on tasainen. (Tätä geometrista keskusta kutsutaansentroidi.)
Jos tiheys ei ole tasainen, massakeskipiste voidaan määrittää muilla tavoin. Jotkut näistä menetelmistä sisältävät laskennan, joka on tämän artikkelin laajuuden ulkopuolella. Mutta yksi yksinkertainen tapa määrittää jäykän esineen massakeskus on yksinkertaisesti yrittää tasapainottaa sitä sormenpäilläsi. Massakeskus on tasapainotuskohdassa.
Toinen tasomaisille kohteille hyödyllinen menetelmä on seuraava:
- Keskeytä muoto yhdestä reunapisteestä yhdessä lankalinjan kanssa.
- Piirrä viivaan muotoon, joka on linjassa luiskalinjan kanssa.
- Keskeytä muoto toisesta reunapisteestä yhdessä lankalinjan kanssa.
- Piirrä muotoon viiva, joka on uuden linjan kanssa linjassa.
- Kahden piirretyn viivan tulisi leikata yhdessä pisteessä.
- Tämä ainutlaatuinen leikkauspiste on massakeskipisteen sijainti.
Joillekin kohteille on kuitenkin mahdollista, että tasapainopiste on itse kohteen rajojen ulkopuolella. Ajattele esimerkiksi rengasta. Sormuksen muodon massakeskus on keskellä, jossa rengasta ei ole ollenkaan.
Hiukkasjärjestelmän massakeskus
Hiukkasjärjestelmän massakeskipisteen sijaintia voidaan ajatella niiden keskimääräisenä massan sijaintina.
Samaa ajatusta voidaan käyttää kuin jäykällä esineellä, jos luulet tämän partikkelijärjestelmän olevan yhteydessä toisiinsa jäykällä, massattomalla tasolla. Massakeskus olisi silloin järjestelmän tasapainopiste.
Hiukkasjärjestelmän massakeskipisteen määrittämiseksi matemaattisesti voidaan käyttää seuraavaa yksinkertaista kaavaa:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
MissäMon järjestelmän kokonaismassa,miovat yksittäisiä massoja jariovat heidän sijaintivektorinsa.
Yhdessä ulottuvuudessa (suoraa pitkin jakautuneille massoille) voit korvatarkanssax.
Kaksi ulottuvuutta löydätx-koordinaatti jay- massakeskipisteen koordinaatti erikseen:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ text {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Esimerkkejä massakeskuksen laskemisesta
Esimerkki 1:Selvitä seuraavan hiukkasjärjestelmän massakeskipisteen koordinaatit: 0,1 kg: n massa sijaitsee kohdassa (1, 2), 0,05 kg: n massahiukkasessa ((2, 4)) ja 0,075 kg: n massahiukkasessa (2, 1).
Ratkaisu 1:Käytä kaavaax- massakeskipisteen koordinaatti seuraavasti:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ teksti {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (1) + 0,05 (2) ) + 0,075 (2)) \\\ teksti {} \\ = 0,079
Käytä sitten kaavaay- massakeskipisteen koordinaatti seuraavasti:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ teksti {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (2) + 0,05 (4) ) + 0,075 (1)) \\\ teksti {} \\ = 2,11
Joten massakeskipisteen sijainti on (0,079, 2,11).
Esimerkki 2:Etsi yhdenmukaisen tiheyden tasasivuisen kolmion massakeskipisteen sijainti, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (1, 0) ja (1/2, √3 / 2).
Ratkaisu 2:Sinun on löydettävä tämän tasasivuisen kolmion sivupituuden 1 geometrinen keskusta.x-geometrisen keskuksen koordinaatti on suora - se on yksinkertaisesti 1/2.
y-koordinaatti on vähän hankalampi. Kohdassa tapahtuu, että viiva kolmion yläosasta pisteeseen (0, 1/2) leikkaa linjan mistä tahansa muusta pisteestä toisen vastakkaiselle puolelle keskipisteeseen. Jos piirrät tällaisen järjestelyn, löydät 30-60-90 suorakulmion, jonka pitkä jalka on 0,5 ja lyhyt jalka ony-koordinaatti. Näiden sivujen suhde on √3y = 1/2, joten y = √3 / 6, ja massakeskipisteen koordinaatit ovat (1/2, √3 / 6).
Massan keskuksen liike
Esineen tai esinejärjestelmän painopisteen sijaintia voidaan käyttää vertailupisteenä monissa fysiikan laskelmissa.
Esimerkiksi vuorovaikutuksessa olevien hiukkasten kanssa työskenneltäessä järjestelmän massakeskipisteen löytäminen mahdollistaa lineaarisen momentin ymmärtämisen. Kun lineaarinen momentti säilyy, järjestelmän massakeskus liikkuu vakionopeudella, vaikka kohteet itsensä iskeytyisivät toisistaan.
Putoavan jäykän esineen kohdalla painovoimaa voidaan pitää vaikuttavana kyseisen kohteen massakeskipisteeseen, vaikka esine pyörii.
Sama pätee ammuksiin. Kuvittele heittävän vasaraa, ja kun se lentää kaaren läpi ilmassa, se pyörii pään yli. Tämä saattaa tuntua aluksi monimutkaiselta mallinnusliikkeeltä, mutta käy ilmi, että vasaran painopiste liikkuu mukavalla sileällä parabolisella polulla.
Voit tehdä yksinkertaisen kokeen, joka osoittaa tämän teipattamalla pieni pala hehkuteippiä vasaran massakeskipisteeseen ja heittämällä sitten vasara kuvatulla tavalla pimeässä huoneessa. Hehkunauha näyttää liikkuvan tasaisena kaarena, kuten heitetty pallo.
Yksinkertainen koe: Löydä luudan massakeskus
Hauska massakeskuskokeilu, jonka voit suorittaa kotona, sisältää yksinkertaisen tekniikan käyttämisen luudan massakeskipisteen löytämiseen. Tarvitset vain yhden luudan ja kaksi kättä tähän kokeiluun.
Kädet suhteellisen kaukana toisistaan, pidä luuta kahden osoittimen sormen päässä. Tuo sitten kätesi hitaasti lähemmäksi toisiaan liu'uttamalla ne harjan alle. Kun siirrät kätesi lähemmäksi toisiaan, saatat huomata, että toinen käsi haluaa liukua luudan kahvan alapintaa pitkin, kun taas toinen pysyy paikallaan jonkin aikaa ennen liukumista.
Luuta pysyy tasapainossa koko sen ajan, kun kätesi liikkuvat. Lopulta, kun kätesi kohtaavat, he tapaavat luudan massakeskipisteessä.
Ihmiskehon massakeskus
Ihmiskehon massakeskus sijaitsee jonnekin napan lähellä (vatsa). Miehillä massan keskusta on yleensä hieman korkeampi, koska ne kantavat enemmän ruumiinpainoa ylävartalossaan, ja naisilla massan keskipiste on matalampi, koska he kantavat enemmän massaa lanteissaan.
Jos seisot yhdellä jalalla, massasi keskipiste siirtyy kohti jalkasi sivua, jolla seisot. Saatat huomata itsesi nojaavan enemmän sitä puolta kohti. Tämä johtuu siitä, että pysyäksesi tasapainossa, massakeskuksesi on pysyttävä tasapainossa olevan jalkasi yli, tai muuten kaatut.
Jos seisot yhdellä jalalla ja lonkalla seinää vasten ja yrität nostaa toista jalkaa, se on todennäköisesti mahdotonta, koska seinä estää painosi siirtymisen tasapainojalan yli.
Toinen asia, jota kannattaa kokeilla, on seistä selkäsi seinää vasten ja kantapäät koskettaa seinää. Yritä sitten taivuttaa eteenpäin ja koskettaa lattiaa taivuttamatta jalkojasi. Naiset saattavat menestyä paremmin tässä tehtävässä kuin miehet, koska heidän massakeskuksensa on alhaisempi kehossaan ja saattaa päätyä edelleen varpaidensa yli nojaten eteenpäin.
Massan ja vakauden keskus
Massakeskipisteen sijainti suhteessa kohteen pohjaan määrää sen vakauden. Jotakin pidetään vakaana tasapainossa, jos se kallistuu hieman ja vapautuu sitten takaisin takaisin alkuperäiseen asentoonsa sen sijaan, että kaataisi eteenpäin ja kaatuisi.
Tarkastellaan kolmiulotteista pyramidin muotoa. Jos se on tasapainossa pohjaansa nähden, se on vakaa. Jos nostat yhtä päätä hieman ja päästät sen irti, se putoaa takaisin alas. Mutta jos yrität tasapainottaa pyramidin kärjessä, kaikki poikkeamat täydellisestä tasapainosta saavat sen kaatumaan.
Voit selvittää, putoako esine takaisin alkuperäiseen asentoonsa tai kaatuuko, katsomalla massakeskipisteen sijaintia suhteessa pohjaan. Kun massakeskus liikkuu alustan ohi, esine kaatuu.
Jos harrastat urheilua, saatat tuntea valmiusasennon, jossa seisot laajalla asennolla ja polvet taipuneet. Tämä pitää massakeskittymän matalalla, ja leveä pohja tekee sinusta vakaamman. Mieti, kuinka kovasti jonkun olisi pakotettava sinua kaatamaan, jos olet valmiina asennossa vs. kun seisot suoraan jalat yhdessä.
Joillakin autoilla on vaikeuksia kaatuessa, kun ne kääntyvät jyrkästi. Tämä johtuu niiden massakeskuksen sijainnista. Jos ajoneuvon massakeskiö on liian korkea ja pohja ei ole tarpeeksi leveä, sen kaatuminen ei vaadi paljon. Ajoneuvon vakauden kannalta on aina parasta, että suurin osa painosta on mahdollisimman alhainen.