Oletko koskaan miettinyt, kuinka paljon vettä tai kahvia mahtuu yhteen näennäisesti lukemattomasta muovisesta kertakäyttöisestä vesikupista, sellaista, joka on kapeampi pohjassa kuin yläosassa? Toisin sanoen, melkein jokainen paperi-, muovi- tai muu kertakäyttöinen kuppi, jonka olet koskaan nähnyt tai käyttänyt? (Ollakseni oikeudenmukaista, joillakin kuppeilla ei ole kaltevia sivuja ja ne ovat siten lieriömäisiä, mutta tämä näyttää soveltuvan vain pysyvä kupit.)
Edellä kuvattu muodon tyyppi perustuu a kartio, joka on seurausta linjan lakaistumisesta avaruuden läpi ja kaarevan polun, kuten ympyrän (yksinkertaisimmassa tapauksessa) tai ellipsin, jäljittämisestä. Kuppi ei yleensä ole terävä (jotkut, joissa on jäädytettyjä herkkuja), mutta se on silti kartion "pala" geometrisesti ottaen. Tämän ansiosta äänenvoimakkuus on helppo löytää kärsivällisesti.
Kartion tilavuus
Kaava säännöllisen tai oikean kartion tilavuudelle (ts. Sellaisen, jolla on pyöreä pohja) on
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Missä r on alustan säde ja
h on kartion korkeus. Lisäksi, koska sivulta katsottuna oikea kartio näyttää kahdelta suoralta kolmiolta, jotka on sijoitettu yhteen, pituus s kartion viiston puolella on sama arvo kuin yhden näistä kolmioista. Se annetaan siten soveltamalla Pythagoraan lauseen: r2 + h2 = s2, niins = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Kartiomaisen kupin tilavuus: osa yksi
Oletetaan, että sinulla on kuppi, jonka alaosa on 8 senttimetriä (cm), ylhäällä 10 cm ja korkeus 15 cm. Kuinka paljon nestettä se voi olla cm3, jota kutsutaan myös millilitroiksi (ml)?
Yksi tapa lähestyä tätä ongelmaa on piirtää kupin poikkileikkaus, eli miltä se näyttää sivulta sen jälkeen, kun se on leikattu tarkalleen puoliksi kohtisuoraan näkökenttään. Jos piirrät pystysuoria viivoja ylöspäin kahdesta pisteestä, joissa pohja kohtaa sivut ylöspäin kuppi, olet nyt jakanut poikkileikkauksen kahteen yhtä suureen heijastuneeseen suorakulmioon ja a suorakulmio. Kolmioissa on 15 cm pitkät "jalat" ja 1 cm lyhyet "jalat" (jakamalla pohjan leveyden ja yläleveyden välinen ero).
Kartiomaisen kupin tilavuus: osa toinen
Huomaa, mitä tapahtuu, jos venytät kaavion kupin sivut pohjan alapuolelle. Pidennä myös viiva ylhäältäpäin keskiosasta kohti kohtaa, johon nämä viivat yhtyvät. (Sinulla ei ehkä ole tilaa saada sivut kohtaamaan ja muodostamaan suljettu kolmio, mutta päästä niin lähelle kuin pystyt,)
Samankaltaisten kolmioiden periaatteesta johtuen tiedät, että kolmioiden ylhäältä tulevan (15 cm) ja pienen jalan (1) suhde cm) tai 15: stä 1: een, on oltava sama kuin uuden jalan "kupin" pohjan ja kohta. Koska pienen jalan arvo on 4 cm, pitkän jalan on oltava 15 kertaa tämä eli 60 cm.
Tällöin käsitellään nyt kartion poikkileikkausta, jonka kokonaiskorkeus on 15 + 60 = 75 cm ja leveys 10 cm, eli säde on 5 cm. Tämän kartion tilavuus miinus kupin pohjaan ulottuvan kartion tilavuus, jonka korkeus on 60 cm ja leveys 8 cm (r = 4 cm), antaa toivotun tuloksen:
\ begin {tasattu} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ teksti {ml} \ loppu {tasattu}
Siten kuppisi pitää hyvin lähellä 1 litraa (1000 ml) nestettä.
Kartion ja kupin tilavuuslaskuri
Katso Resurssit-luettelo laskureista, jotka sisältävät kartioita, joille on annettu erilaisia alkuinformaatioyhdistelmiä. Vaihtoehtoisesti voit käyttää tällaista lähestymistapaa ja jakaa kupin eri muotoihin ja käyttää sitten yksinkertaisemmat kaavat (kuten kuution tilavuuden kaava) sopivissa yhdistelmissä kokonaismäärän löytämiseksi äänenvoimakkuus.