Joskus "eksponentiaalinen kasvu" on vain puhehahmo, viittaus mihin tahansa, mikä kasvaa kohtuuttomasti tai uskomattoman nopeasti. Mutta tietyissä tapauksissa voit ajatella eksponentiaalista kasvua kirjaimellisesti. Esimerkiksi kaniinipopulaatio voi kasvaa eksponentiaalisesti, kun jokainen sukupolvi lisääntyy, sitten heidän jälkeläisensä lisääntyvät ja niin edelleen. Myös liike- tai henkilökohtaiset tulot voivat kasvaa räjähdysmäisesti. Kun sinua pyydetään tekemään reaalilaskelmia eksponentiaalisesta kasvusta, työskentelet kolmella tiedolla: lähtöarvo, kasvunopeus (tai rappeutuminen) ja aika.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Laske eksponentiaalinen kasvu käyttämällä kaavaa y(t) = a__ekt, missä a on arvo alussa, k on kasvu- tai rappeutumisnopeus, t on aika ja y(t) on väestön arvo ajankohtana t.
Kuvittele, että tutkija tutkii uuden bakteerilajin kasvua. Vaikka hän voisi syöttää lähtömäärän, kasvunopeuden ja ajan arvot populaation kasvulaskuriin, hän päätti laskea bakteerikannan kasvunopeuden manuaalisesti.
Tarkastellessaan huolellisia tietojaan tutkija näkee, että hänen lähtöpopulaationsa oli 50 bakteeria. Viisi tuntia myöhemmin hän mitasi 550 bakteeria.
Lisäämällä tutkijan tiedot eksponentiaalisen kasvun tai hajoamisen yhtälöön, y(t) = a__ekt, hänellä on:
550 = 50_ek_5
Ainoa tuntematon yhtälössä on ktai eksponentiaalisen kasvun nopeus.
Aloittaa ratkaisu k, jaa ensin yhtälön molemmat puolet 50: llä. Tämä antaa sinulle:
550/50 = (50_ek_5) / 50, joka yksinkertaistaa:
11 = e_k_5
Ota seuraavaksi molempien puolien luonnollinen logaritmi, joka on merkitty nimellä ln (x). Tämä antaa sinulle:
ln (11) = ln (e_k_5)
Luonnollinen logaritmi on käänteinen funktio ex, joten se "kumoaa" tehokkaasti ex funktio yhtälön oikealla puolella, jättäen sinulle:
ln (11) = _k_5
Jaa seuraavaksi jakamalla molemmat puolet 5: llä muuttujan eristämiseksi, mikä antaa sinulle:
k = ln (11) / 5
Nyt tiedät tämän bakteeripopulaation eksponentiaalisen kasvunopeuden: k = ln (11) / 5. Jos aiot tehdä lisää laskelmia tämän populaation kanssa - esimerkiksi liittää kasvunopeus yhtälöön ja arvioida populaation koko t = 10 tuntia - on parasta jättää vastaus tähän muotoon. Mutta jos et tee muita laskelmia, voit syöttää kyseisen arvon eksponentiaalisen funktion laskimeen - tai tieteelliseen laskimeesi - saadaksesi arvioksi 0,479579. Kokeilun tarkkojen parametrien mukaan saatat pyöristää sen arvoon 0,48 / tunti laskemisen tai merkintöjen helpottamiseksi.
Vinkkejä
Jos kasvuvauhti olisi alle 1, se kertoo väestön supistuvan. Tätä kutsutaan hajoamisnopeudeksi tai eksponentiaalisen hajoamisen nopeudeksi.