Erilaisia ​​päättelyjä geometriassa

Geometria on kieli, joka käsittelee muotoja ja kulmia sekoitettuna algebrallisiin termeihin. Geometria ilmaisee yhden-, kaksi- ja kolmiulotteisten kuvioiden väliset suhteet matemaattisissa yhtälöissä. Geometriaa käytetään laajasti tekniikassa, fysiikassa ja muilla tieteenaloilla. Opiskelijat saavat käsityksen monimutkaisista tieteellisistä ja matemaattisista tutkimuksista oppimalla kuinka geometriset käsitteet löydetään, perustellaan ja todistetaan.

Induktiivinen päättely on eräänlainen päättelymuoto, joka tekee johtopäätöksen, joka perustuu malleihin ja havaintoihin. Induktiivinen päättely ei itsessään ole tarkka menetelmä oikean ja tarkan johtopäätöksen tekemiseksi. Otetaan esimerkiksi kolme ystävää: Jim, Mary ja Frank. Frank tarkkailee Jimin ja Marian taistelua. Frank havaitsee Jimin ja Maryn riitelevän kolme tai neljä kertaa viikon aikana, ja joka kerta kun hän näkee heidät, he riitelevät. Lausunto ”Jim ja Mary taistelevat koko ajan” on induktiivinen johtopäätös, joka saavutetaan rajoitetulla havainnolla siitä, kuinka Jim ja Mary ovat vuorovaikutuksessa. Induktiivinen päättely voi ohjata opiskelijoita muodostamaan kelvollisen hypoteesin, kuten "Jim ja Mary taistelevat usein". Mutta induktiivista päättelyä ei voida käyttää ainoana perustana idean todistamiseksi. Induktiivinen päättely vaatii havainnointia, analysointia, päätelmää (mallin etsimistä) ja havainnon vahvistamista lisätesteillä pätevien johtopäätösten tekemiseksi.

Deduktiivinen päättely on askel askeleelta, looginen tapa todistaa idea havainnoimalla ja testaamalla. Deduktiivinen päättely alkaa ensimmäisestä, todistetusta tosiasiasta ja rakentaa argumentin yksi lause kerrallaan uuden idean kiistattomasti todistamiseksi. Deduktiivisen päättelyn kautta tehty johtopäätös perustuu pienempien johtopäätösten perustaan, joista kukin etenee kohti lopullista lausumaa.

Aksiomia ja postulaatteja käytetään induktiivisten ja deduktiivisten perustelujen kehittämisessä. Aksioma on todellisista luvuista annettu lausunto, joka hyväksytään totta ilman muodollista todistetta. Esimerkiksi aksiomi, että luvulla kolme on suurempi arvo kuin numerolla kaksi, on itsestään selvä aksioma. Postulaatti on samanlainen ja määritelty geometriaa koskevaksi lausunnoksi, joka hyväksytään totta ilman todisteita. Esimerkiksi ympyrä on geometrinen kuvio, joka voidaan jakaa tasaisesti 360 asteeseen. Tämä lausunto koskee jokaista ympyrää kaikissa olosuhteissa. Siksi tämä lausuma on geometrinen postulaatti.

Lause on tulos tai johtopäätös tarkasti rakennetusta deduktiivisesta argumentista, ja se voi olla seurausta hyvin tutkitusta induktiivisesta argumentista. Lyhyesti sanottuna lause on geometrian lause, joka on todistettu, ja siksi siihen voidaan luottaa todellisena lausekkeena loogisia todisteita rakennettaessa muille geometrian ongelmille. Lausunnot, joiden mukaan "kaksi pistettä määrää viivan" ja "kolme pistettä määrittelee tason", ovat kukin geometrinen lause.