Jokainen, joka on koskaan pelannut biljardipeliä, tuntee vauhdin säilymislain, ymmärtävätkö he sen vai eivät.
Momentin säilymislaki on perustavanlaatuinen ymmärtäessä ja ennustettaessa mitä tapahtuu, kun esineet ovat vuorovaikutuksessa tai törmäävät. Tämä laki ennustaa biljardipallojen liikkeet ja päättää, pääseekö tämä kahdeksan pallo kulmataskuun vai ei.
Mikä on Momentum?
Momentti määritellään kohteen massan ja nopeuden tulona. Yhtälömuodossa tämä kirjoitetaan usein nimelläp = mv.
Se on vektorimäärä, mikä tarkoittaa, että siihen liittyy suunta. Kohteen liikevektorin suunta on sama kuin sen nopeusvektorin.
Eristetyn järjestelmän liikemäärä on kyseisen järjestelmän kunkin yksittäisen objektin momenttien summa. Eristetty järjestelmä on järjestelmä vuorovaikutuksessa olevista esineistä, jotka eivät ole vuorovaikutuksessa millään muulla tavalla. Toisin sanoen järjestelmään ei ole ulkoista nettovoimaa.
Kokonaisvauhdin tutkiminen eristetyssä järjestelmässä on tärkeää, koska sen avulla voit ennustaa, mitä järjestelmän kohteille tapahtuu törmäysten ja vuorovaikutusten aikana.
Mitkä ovat luonnonsuojelulakit?
Ennen kuin ryhdymme ymmärtämään liikemäärän säilymislakia, on tärkeää ymmärtää, mitä tarkoitetaan "säilyneellä määrällä".
Jotain säästäminen tarkoittaa jätteen tuhoutumisen estämistä jollakin tavalla. Fysiikassa määrän sanotaan säilyvän, jos se pysyy vakiona. Olet ehkä kuullut ilmauksen, koska se liittyy energian säästämiseen, mikä on käsitys, että energiaa ei voida luoda eikä tuhota, vaan vain muodot muuttuvat. Siksi sen kokonaismäärä pysyy vakiona.
Kun puhumme vauhdin säilyttämisestä, puhumme siitä, että vauhdin kokonaismäärä pysyy vakiona. Tämä liikemäärä voi siirtyä objektista toiseen eristetyn järjestelmän sisällä, ja sitä voidaan silti pitää konservoituneena, jos järjestelmän kokonaismomentti ei muutu.
Newtonin toinen liikelaki ja liikemäärän säilyttämislaki
Momentin säilymislaki voidaan johtaa Newtonin toisesta liikelakista. Muistathan, että tämä laki liittyi kohteen nettovoimaan, massaan ja kiihtyvyyteenFnetto = ma.
Temppu on ajatella, että tämä nettovoima vaikuttaa koko järjestelmään. Momentin säilymislakia sovelletaan, kun järjestelmän nettovoima on 0. Tämä tarkoittaa, että jokaisen järjestelmän objektin osalta vain siihen kohdistuvien voimien on oltava peräisin muista järjestelmän sisällä olevista esineistä tai muuten ne on mitätöitävä.
Ulkoiset voimat voivat olla kitkaa, painovoimaa tai ilmanvastusta. Näiden ei tarvitse joko toimia, tai niitä on torjuttava, jotta järjestelmään kohdistuva nettovoima olisi 0.
Voit aloittaa johdannan lauseellaFnetto = ma = 0.
mtässä tapauksessa on koko järjestelmän massa. Kyseinen kiihtyvyys on järjestelmän nettokiihtyvyys, joka viittaa kiihtyvyyteen järjestelmän massakeskipisteestä (massakeskipiste on koko järjestelmän keskimääräinen sijainti massa.)
Jotta nettovoima olisi 0, kiihtyvyyden on oltava myös 0. Koska kiihtyvyys on nopeuden muutos ajan myötä, tämä tarkoittaa, että nopeus ei saa muuttua. Toisin sanoen nopeus on vakio. Siksi saamme lausunnon siitämvcm= vakio.
Missävcmon massakeskipisteen nopeus kaavalla:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Joten nyt lausunto supistuu:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {vakio}
Tämä on yhtälö, joka kuvaa liikkeen säilymistä. Jokainen termi on jonkin järjestelmän objektin liikemäärä, ja kaikkien momenttien summan on oltava vakio. Toinen tapa ilmaista tämä on sanomalla:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Jos alaindeksiiviittaa alkuarvoihin jaflopullisiin arvoihin, jotka yleensä tapahtuvat ennen jonkinlaista vuorovaikutusta, kuten järjestelmän esineiden törmäystä, ja sitten.
Joustavat ja joustamattomat törmäykset
Voiman säilymislaki on tärkeä syy siihen, että sen avulla voit ratkaista tuntematon lopullinen nopeus tai vastaava eristetyn järjestelmän esineille, jotka saattavat törmätä kumpaankin muut.
On olemassa kaksi pääasiallista tapaa, jolla tällainen törmäys voi tapahtua: joustavasti tai joustamattomasti.
Täysin joustava törmäys on törmäys, jossa törmäävät esineet toipuvat toisistaan. Tämäntyyppiselle törmäykselle on ominaista kineettisen energian säilyminen. Esineen kineettinen energia saadaan kaavalla:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Jos kineettinen energia säilyy, kaikkien järjestelmän kohteiden kineettisten energioiden summan on pysyttävä vakiona sekä ennen törmäyksiä että niiden jälkeen. Kineettisen energian säästämisen käyttäminen yhdessä liikemäärän säilyttämisen kanssa voi antaa sinun ratkaista useamman kuin yhden lopullisen tai alkunopeuden törmäysjärjestelmässä.
Täysin joustamaton törmäys on sellainen, jossa kun kaksi esinettä törmäävät, tarttuvat toisiinsa ja liikkuvat yksinäisenä massana sen jälkeen. Tämä voi myös yksinkertaistaa ongelmaa, koska sinun on määritettävä vain yksi lopullinen nopeus kahden sijasta.
Vaikka liikemäärä säilyy molemmissa törmäystyypeissä, liike-energia säilyy vain elastisessa törmäyksessä. Suurin osa tosielämän törmäyksistä ei ole täysin joustavia tai täysin joustamattomia, vaan ne ovat jossakin välissä.
Kulmamomentin säilyttäminen
Edellisessä osassa kuvattu on lineaarisen impulssin säilyttäminen. Pyörimisliikkeelle on toinenkin tyyppinen liikemäärä, jota kutsutaan kulmamomentiksi.
Aivan kuten lineaarisen momentin kohdalla, myös kulmamomentti säilyy. Kulmamomentti riippuu kohteen massasta sekä siitä, kuinka kaukana massa on pyörimisakselista.
Kun taitoluistelija pyörii, näet heidän pyörivän nopeammin, kun ne tuovat kätensä lähemmäs vartaloaan. Tämä johtuu siitä, että niiden kulmamomentti säilyy vain, jos heidän pyörimisnopeutensa kasvaa suhteessa siihen, kuinka lähellä he tuovat kätensä keskelle.
Esimerkkejä Momentumin suojeluongelmista
Esimerkki 1:Kaksi yhtä massaista biljardipalloa rullaa toisiaan kohti. Yksi kulkee alkunopeudella 2 m / s ja toinen nopeudella 4 m / s. Jos heidän törmäyksensä on täysin joustava, mikä on kunkin pallon lopullinen nopeus?
Ratkaisu 1:On tärkeää, kun valitset tämän ongelman, valita koordinaatisto. Koska kaikki tapahtuu suoralla linjalla, saatat päättää, että liike oikealle on positiivista ja liike vasemmalle negatiivinen. Oletetaan, että ensimmäinen pallo kulkee oikealle nopeudella 2 m / s. Toisen pallon nopeus on sitten -4m / s.
Kirjoita lauseke järjestelmän kokonaismomentille ennen törmäystä sekä järjestelmän kokonaiskineettiselle energialle ennen törmäystä:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Liitä arvot saadaksesi lausekkeen jokaiselle:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 m
Huomaa, että koska sinulle ei annettu arvoja massoille, ne pysyvät tuntemattomina, vaikka molemmat massat olivat samat, mikä mahdollisti jonkin verran yksinkertaistamista.
Törmäyksen jälkeen momentin ja kineettisen energian ilmaisut ovat:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Asettamalla alkuarvot yhtä suuriksi kuin lopulliset, voit peruuttaa massat. Sitten sinulle jää kahden yhtälön ja kahden tuntemattoman määrän järjestelmä:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ viittaa v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ tarkoittaa v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Järjestelmän ratkaiseminen algebrallisesti antaa seuraavat ratkaisut:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Huomaa, että koska molemmilla palloilla oli sama massa, ne vaihtivat olennaisesti nopeuksia.
Esimerkki 2:1200 kiloa auto, joka kulkee itään nopeudella 20 mailia tunnissa, törmää eteenpäin 3000 kilon kuorma-autoon, joka kulkee länteen nopeudella 15 mailia tunnissa. Kaksi ajoneuvoa tarttuvat yhteen törmätessään. Millä lopullisella nopeudella he liikkuvat?
Ratkaisu 2:Yksi asia, joka on syytä huomata tästä ongelmasta, ovat yksiköt. Siirtymän SI-yksiköt ovat kg⋅m / s. Kuitenkin sinulle annetaan massa kilogrammoina ja nopeudet mailina tunnissa. Huomaa, että niin kauan kuin kaikki nopeudet ovat yhtenäisissä yksiköissä, muuntamista ei tarvita. Kun ratkaiset lopullisen nopeuden, vastauksesi on mailia tunnissa.
Järjestelmän alkunopeus voidaan ilmaista seuraavasti:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ kertaa 20-3000 \ kertaa 15 = -21000 \ teksti {kg} \ kertaa \ teksti {mph}
Järjestelmän viimeinen voima voidaan ilmaista seuraavasti:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Momentin säilymislaki kertoo sinulle, että näiden alku- ja lopullisten arvojen tulisi olla samat. Voit ratkaista lopullisen nopeuden asettamalla alkumomentin yhtä suureksi kuin viimeinen momentti, ratkaisemalla lopullisen nopeuden seuraavasti:
4200v_f = -21,000 \ merkitsee v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Esimerkki 3:Osoita, että kineettinen energia ei säilynyt edellisessä kysymyksessä, joka koski auton ja kuorma-auton joustamatonta törmäystä.
Ratkaisu 3:Kyseisen järjestelmän alkuperäinen kineettinen energia oli:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557500 \ teksti {kg (mph)} ^ 2
Järjestelmän lopullinen kineettinen energia oli:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52 500 \ teksti {kg (mph)} ^ 2
Koska alkuperäinen kineettinen kokonaisenergia ja lopullinen kineettinen kokonaisenergia eivät ole samat, voit päätellä, että kineettinen energia ei säilynyt.
