Kahden skalaarimäärän tulo on skalaari ja vektorin sisältävän skalaarin tulo on vektori, mutta entä kahden vektorin tulo? Onko se skalaari vai muu vektori? Vastaus on, se voi olla joko!
Vektorituotetta voidaan ottaa kahdella tavalla. Yksi on ottamalla niiden pistetulo, joka tuottaa skalaarin, ja toinen on ottamalla ristitulo, joka tuottaa toisen vektorin. Käytettävä tuote riippuu tietystä skenaariosta ja siitä, minkä määrän yrität löytää.
Kahden vektorin ristitulo tuottaa kolmannen vektorin, joka osoittaa kohtisuoraan suuntaan kahden vektorin ulottama taso, jonka suuruus riippuu näiden kahden suhteellisesta kohtisuorasta vektorit.
Määritelmä vektorien ristituote
Määritellään ensin yksikkövektorien ristituloi, jjak(vektorit, joiden suuruusluokka on 1x-, y-jaz- suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän komponenttisuunnat) seuraavasti:
\ bold {i \ kertaa j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ kertaa i} = \ lihavoitu {j \ kertaa j} = \ lihavoitu {k \ kertaa k} = 0
Huomaa, että nämä suhteet ovat anti-kommutatiivisia, toisin sanoen, jos vaihdamme vektorien järjestystä, josta otamme tuotteen, se kääntää tuotteen merkin:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ kertaa k} = - \ bold {j}
Voimme käyttää yllä olevia määritelmiä johtamaan kaavan kahden kolmiulotteisen vektorin ristitulolle. Kirjoita ensin vektoritajabseuraavasti:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Kertomalla nämä kaksi vektoria saadaan:
\ bold {a \ kertaa b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ kertaa (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ lihavoitu {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ kertaa i} + a_xb_y \ bold {i \ kertaa j} + a_xb_z \ bold {i \ kertaa k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ kertaa i} + a_yb_y \ bold {j \ kertaa j} + a_yb_z \ bold {j \ kertaa k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ kertaa i} + a_zb_y \ lihavoitu {k \ kertaa j} + a_zb_z \ bold {k \ kertaa k}
Sitten käyttämällä yllä olevia yksikkövektorisuhteita tämä yksinkertaistuu:
\ bold {a \ kertaa b} = a_xb_y \ bold {i \ kertaa j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ kertaa j} + a_yb_z \ bold {j \ kertaa k} + a_zb_x \ bold {k \ kertaa i} - a_zb_y \ bold {j \ kertaa k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ kertaa j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ kertaa i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ kertaa k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Huomaa, että termit, joiden ristitulo oli 0, ovat termit, jotka muodostavat pistetulon (jota kutsutaan myös skalaarituloksi)!Tämä ei ole sattumaa.)
Toisin sanoen:
\ bold {a \ kertaa b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Ristituotteen suuruus löytyy Pythagoraan lauseesta.
Ristituotekaava voidaan myös ilmaista seuraavan matriisin determinanttina:
\ bold {a \ kertaa b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matriisi} \ Bigg | \\ = \ Iso | \ alkaa {matriisi} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matriisi} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ loppu {matriisi} \ iso | \ lihavoitu {k}
\ text {Mistä determinantti} \ Big | \ aloita {matriisi} a & b \\ c & d \ end {matriisi} \ iso | = ad - bc
Toinen, usein erittäin kätevä, ristituotteen formulointi on (johdannainen on tämän artikkelin lopussa):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ lihavoitu {b} | \ sin (θ) \ lihavoitu {n}
Missä:
- |a| on vektorin suuruus (pituus)a
- |b| on vektorin suuruus (pituus)b
- θ on välinen kulma aja b
- non yksikkövektori kohtisuorassa tasoon, jonka ulottuma on ajab
Kohtisuorat vektorit ja oikeanpuoleinen sääntö
Ristituotteen kuvauksessa todetaan, että ristitulon suunta on kohtisuorassa vektorin ulottamaan tasoonaja vektorib. Mutta tämä jättää kaksi mahdollisuutta: Se saattaa viitatauloskone taiosaksinäiden vektorien ulottama taso. Todellisuudessa voimme itse valita joko niin kauan kuin olemme johdonmukaisia. Matemaatikoiden ja tutkijoiden valitsema suosima suunta määräytyy kuitenkin nsoikean käden sääntö.
Määritä vektoriristituotteen suunta oikeanpuoleisen säännön avulla osoittamalla oikean kätesi etusormi vektorin suuntaanaja keskisormesi vektorin suuntaanb. Peukalosi osoittaa sitten ristituotevektorin suuntaan.
Joskus näitä ohjeita on vaikea kuvata tasaiselle paperille, joten usein tehdään seuraavat käytännöt:
Sivulle menevän vektorin osoittamiseksi piirrämme ympyrän, jossa on X (ajattele tätä edustavan hännän höyheniä nuolen päässä, kun katsot sitä takaa). Osoittaaksesi vektorin, joka menee vastakkaiseen suuntaan sivulta, piirrämme ympyrän, jossa on piste (ajattele tätä sivun ulkopuolelle osoittavan nuolen kärjeksi).
•••na
Ristituotteen ominaisuudet
Seuraavat ovat vektorin ristituotteen useita ominaisuuksia:
\ # \ teksti {1. Jos} \ bold {a} \ text {ja} \ bold {b} \ text {ovat rinnakkaisia, niin} \ bold {a \ kertaa b} = 0
\ # \ teksti {2. } \ bold {a \ kertaa b} = - \ bold {b \ kertaa a}
\ # \ teksti {3. } \ bold {a \ kertaa (b + c)} = \ bold {a \ kertaa b} + \ bold {a \ kertaa c}
\ # \ teksti {4. } (c \ bold {a) \ kertaa b} = c (\ bold {a \ kertaa b})
\ # \ teksti {5. } \ bold {a \ cdot (b \ kertaa c}) = \ bold {(a \ kertaa b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matriisi } \ Bigg |
Ristituotteen geometrinen tulkinta
Kun vektorin ristituote muotoillaan synninä (θ), sen suuruuden voidaan tulkita edustavan kahden vektorin kattaman suunnan aluetta. Tämä johtuua × b, |b| sin (θ) = suuntaussuunnan korkeus, kuten on esitetty, ja |a| on perusta.
•••Dana Chen | Tutkiminen
Vektoritriplatuotteen suuruusa (b × c) voidaan puolestaan tulkita vektorien ulottaman suuntaissärmiön tilavuudeksia, bjac. Tämä johtuu siitä, että(b × c) antaa vektorin, jonka suuruus on vektorin ulottama aluebja vektoricja jonka suunta on kohtisuorassa kyseiseen alueeseen nähden. Otetaan vektorin pistetuloatällä tuloksella kerrotaan olennaisesti peruspinta-ala ja korkeus.
Esimerkkejä
Esimerkki 1:Vara varauksen hiukkaselleqliikkuu nopeudellavmagneettikentässäBantaa:
\ bold {F} = q \ bold {v \ kertaa B}
Oletetaan, että elektroni kulkee 0,005 T magneettikentän läpi nopeudella 2 × 107 neiti. Jos se kulkee kohtisuoraan kentän läpi, sen tuntema voima on:
\ bold {F} = q \ bold {v \ kertaa B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ kertaa 10 ^ {19}) (2 \ kertaa 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1,602 \ kertaa 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Kuitenkin, jos elektroni liikkuu kentän suuntaisesti, niin θ = 0 ja sin (0) = 0, jolloin voima on 0.
Huomaa, että elektronille, joka kulkee kohtisuoraan kentän läpi, tämä voima saa sen liikkumaan pyöreällä polulla. Tämän pyöreän polun säde löytyy asettamalla magneettinen voima yhtä suureksi kuin keskisuuntainen voima ja ratkaisemalla säder:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ merkitsee r = \ frac {mv} {qB}
Yllä olevassa esimerkissä numeroiden liittäminen tuottaa noin 0,0227 m: n säteen.
Esimerkki 2:Fysikaalisen määrän vääntömomentti lasketaan myös vektoriristetulolla. Jos voimaFkohdistetaan esineeseen, joka on asennossarvääntömomentti kääntöpisteestäτnoin kääntöpisteen antaa:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ kertaa F}
Tarkastellaan tilannetta, jossa 7 N voima kohdistuu kulmassa 0,75 tangon päähän, jonka toinen pää on kiinnitetty saranaan. Välinen kulmarjaFon 70 astetta, joten vääntömomentti voidaan laskea:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ kertaa F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
Vääntömomentin suunta,n, löytyy oikeanpuoleisen säännön kautta. Jos sitä käytetään yllä olevaan kuvaan, se antaa suunnan sivulta tai näytöltä. Yleensä esineeseen kohdistettu vääntömomentti haluaa saada kohteen pyörimään. Vääntömomentin vektori on aina samassa suunnassa kuin pyörimisakseli.
Itse asiassa tässä tilanteessa voidaan käyttää yksinkertaistettua oikeanpuoleista sääntöä: "tartu" oikealla kädellä pyörimisakseliin siten, että sormesi käpristyvät siihen suuntaan, johon liittyvä vääntömomentti haluaa aiheuttaa kohteen pyörimisen. Peukalosi osoittaa sitten momenttivektorin suuntaan.
Ristituotekaavan johtaminen
\ text {Tässä näytetään, kuinka tuotteen ristikaava} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ lihavoitu {b} | \ sin (θ) \ lihavoitu {n} \ teksti {voidaan johtaa.}
Tarkastellaan kahta vektoriaajabkulmallaθheidän välillään. Suorakolmio voidaan muodostaa vetämällä viiva vektorin kärjestäavektorin kohtisuoraan kosketuspisteeseenb.
Pythagoraan lauseen avulla saadaan seuraava suhde:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ lihavoitu {a} | ^ 2
\ text {Missä} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {on vektorin projektio} \ bold {a} \ text {vektorille} \ bold {b}.
Yksinkertaistamalla ilmaisua hieman saamme seuraavan:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Kerro seuraavaksi yhtälön molemmat puolet |b|2 ja siirrä ensimmäinen termi oikealle puolelle saadaksesi:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Oikean puolen kanssa työskenteleminen, kerro kaikki ja yksinkertaista sitten:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) a2x (a_yb_z) (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ kertaa b} | ^ 2
Kun tulos on sama kuin edellisen yhtälön vasen puoli, saadaan seuraava suhde:
| \ bold {a \ kertaa b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Tämä osoittaa meille, että suuruudet ovat samat kaavassa, joten viimeinen tehtävä kaavan todistamiseksi on osoittaa, että myös suunnat ovat samat. Tämä voidaan tehdä yksinkertaisesti ottamalla pistetuotteetakanssaa × bjabkanssaa × bja osoittavat, että ne ovat 0, mikä tarkoittaa, että suuntaa × b on kohtisuora molempiin.