Pyörimisliikekuvaa kohteen pyörimisestä tai pyöreästä liikkeestä johtuvaa liikeenergiaa. Muista tuolineaarinen kineettinen energiamassastamliikkuu nopeastivsaadaan 1 / 2mv2. Tämä on suora laskelma kaikille suoraviivaisella polulla liikkuville kohteille. Se koskee kohteen painopistettä, jolloin kohdetta voidaan arvioida pistemassana.
Jos nyt haluamme kuvata monimutkaisemmassa liikkeessä olevan laajennetun kohteen kineettisen energian, laskennasta tulee hankalampi.
Voisimme tehdä peräkkäisiä likiarvoja hajottamalla laajennetun kohteen pieniksi paloiksi, joista kukin voidaan arvioida a: ksi pisteiden massa, ja lasketaan sitten kullekin pistemassalle lineaarinen kineettinen energia erikseen ja lisätään ne kaikki yhteen esine. Mitä pienempi hajoamme kohteen, sitä parempi on likiarvo. Rajalla, jossa kappaleista tulee äärettömän pieni, tämä voidaan tehdä laskennalla.
Mutta meillä on onnea! Kiertoliikkeessä on yksinkertaistaminen. Jos kuvaamme pyörivälle esineelle sen massajakaumaa pyörimisakselin ympäri sen hitausmomentin perusteella,
Minä, voimme sitten käyttää yksinkertaista kiertokineettisen energian yhtälöä, josta keskustellaan myöhemmin tässä artikkelissa.Hitausmomentti
Hitausmomenttion mitta siitä, kuinka vaikeaa on saada esine muuttamaan pyörimisliikettään tietyn akselin ympäri. Pyörivän kohteen hitausmomentti ei riipu pelkästään kohteen massasta, vaan myös siitä, kuinka kyseinen massa jakautuu pyörimisakselin ympäri. Mitä kauempana massan jakautumisakselista, sitä vaikeampi on muuttaa pyörimisliikettään, ja sitä suurempi on hitausmomentti.
SI-yksiköt hitausmomentille ovat kgm2 (mikä on sopusoinnussa ajatuksemme siitä, että se riippuu massasta ja etäisyydestä pyörimisakselista). Eri esineiden hitausmomentit löytyvät taulukosta tai laskennasta.
Vinkkejä
Minkä tahansa kohteen hitausmomentti löytyy laskennasta ja pistemassan hitausmomentin kaavasta.
Pyörivän kineettisen energian yhtälö
Kääntyvän kineettisen energian kaava saadaan:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
MissäMinäon kohteen hitausmomentti jaωon kohteen kulmanopeus radiaaneina sekunnissa (rad / s). Kiertokineettisen energian SI-yksikkö on joule (J).
Kiertokineettisen energian kaavan muoto on analoginen translaation kineettisen energian yhtälön kanssa; hitausmomentilla on massan rooli, ja kulmanopeus korvaa lineaarisen nopeuden. Huomaa, että kiertokineettisen energian yhtälö antaa pistemassalle saman tuloksen kuin lineaarinen yhtälö.
Jos kuvitellaan pistemassamliikkuu säteen ympyrässärnopeudellav, niin sen kulmanopeus on ω = v / r ja sen hitausmomentti on mr2. Molemmat kineettisen energian yhtälöt antavat saman odotuksen:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (herra ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ peruuta {r ^ 2} v ^ 2} {\ peruuta {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Jos esine sekä pyörii että sen massakeskus liikkuu suoraa linjaa pitkin (kuten tapahtuu esimerkiksi liikkuvan renkaan kohdalla),kineettinen kokonaisenergiaon pyörimiskineettisen energian ja translaation kineettisten energioiden summa:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Esimerkkejä kiertokineettisen energian kaavan käytöstä
Kiertokineettisen energian kaavalla on monia sovelluksia. Sitä voidaan käyttää pyörivän kohteen yksinkertaisen kineettisen energian laskemiseen, kineettisen energian laskemiseen liikkuva esine (esine, joka käy sekä pyörimis- että siirtoliikettä) ja ratkaistavissa muille tuntemattomat. Harkitse seuraavia kolmea esimerkkiä:
Esimerkki 1:Maa pyörii akselinsa ympäri noin kerran 24 tunnissa. Jos oletamme, että sillä on tasainen tiheys, mikä on sen pyörimisliike? (Maan säde on 6,37 × 106 m ja sen massa on 5,97 × 1024 kg.)
Kiertokineettisen energian löytämiseksi meidän on ensin löydettävä hitausmomentti. Lähentämällä maapalloa kiinteänä pallona saadaan:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ kertaa10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ kertaa10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ kertaa10 ^ {37} \ teksti {kgm} ^ 2
Kulmanopeus on 2π radiaania / päivä. Tämän muuntaminen rad / s: ksi antaa:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Joten Maan kiertokineettinen energia on silloin:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ kertaa10 ^ {37} \ teksti {kgm} ^ 2) (7,27 \ kertaa10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ kertaa 10 ^ {29} \ text {J}
Hauska tosiasia: Tämä on yli 10 kertaa aurinkoenergian kokonaisenergia minuutissa!
Esimerkki 2:Tasainen sylinteri, jonka massa on 0,75 kg ja säde 0,1 m, rullaa lattian yli tasaisella nopeudella 4 m / s. Mikä on sen kineettinen energia?
Kokonaiskineettinen energia saadaan:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Tässä tapauksessa I = 1/2 mr2 on kiinteän sylinterin hitausmomentti, jaωliittyy lineaariseen nopeuteen ω = v / r kautta.
Kokonaisen kineettisen energian ilmaisun yksinkertaistaminen ja arvojen kytkeminen antaa:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Huomaa, että meidän ei tarvinnut edes käyttää sädettä! Se peruutettiin pyörimisnopeuden ja lineaarisen nopeuden välisen suoran suhteen takia.
Esimerkki 3:Polkupyörällä oleva opiskelija laskeutuu alas mäkeä levosta. Jos mäen pystysuora korkeus on 30 m, kuinka nopeasti opiskelija menee mäen alaosaan? Oletetaan, että polkupyörä painaa 8 kg, kuljettaja painaa 50 kg, kukin pyörä painaa 2,2 kg (sisältyy polkupyörän painoon) ja jokaisen pyörän halkaisija on 0,7 m. Arvioi pyörät vanteiksi ja oleta, että kitka on vähäinen.
Tässä voimme käyttää mekaanista energiansäästöä lopullisen nopeuden löytämiseen. Kukkulan yläosassa oleva potentiaalinen energia muuttuu kineettiseksi energiaksi alareunassa. Kineettinen energia on koko ihmisen + pyöräjärjestelmän translatiivisen kineettisen energian ja renkaiden pyörimisliikeiden summa.
Järjestelmän kokonaisenergia:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ teksti {kg} + 8 \ teksti {kg}) (9,8 \ teksti {m / s} ^ 2) (30 \ teksti {m}) = 17,052 \ lähetä viesti {J}
Mäen pohjan kineettisten energioiden kokonaisenergian kaava on:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {renkaat} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ kertaa m_ {rengas} \ kertaa r_ {rengas} ^ 2) (v / r_ {rengas}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {rengas} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {rengas} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Ratkaisuvantaa:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {rengas} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Lopuksi, liittämällä numerot saamme vastauksemme:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}