Kahden skalaarimäärän tulo on skalaari ja vektorin sisältävän skalaarin tulo on vektori, mutta entä kahden vektorin tulo? Onko se skalaari vai muu vektori? Vastaus on, se voi olla joko!
On kaksi tapaa kertoa vektorit yhteen. Yksi on ottamalla niiden pistetulo, joka tuottaa skalaarin, ja toinen on ottamalla ristitulo, joka tuottaa toisen vektorin. Käytettävä tuote riippuu tietystä tilanteesta ja siitä, minkä määrän yrität löytää.
dot-tuotejoskus kutsutaanskalaarinen tuotetaisisäinen tuote. Geometrisesti voit ajatella kahden vektorin välistä pistetuloa keinona kertoa vektoriarvot, jotka laskevat vain samansuuntaiset osuudet.
- Huomautus: Pistetuotteet voivat olla negatiivisia tai positiivisia, mutta tämä merkki ei osoita suuntaa. Vaikka yhdessä ulottuvuudessa vektorisuunta osoitetaan usein merkillä, skalaarimääriin voi myös liittyä niihin merkkejä, jotka eivät ole suuntamerkkejä. Velka on vain yksi monista esimerkkeistä tästä.
Pistetuotteen määritelmä
Vektorien pistetuloa = (ax, ay)jab = (bx, by)suorakulmaisessa koordinaatistossa määritellään seuraavasti:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Kun otat vektorin pistetulon itsensä kanssa, syntyy mielenkiintoinen suhde:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Missä |a| on suuruus (pituus)aPythagoraan lauseen mukaan.
Toinen piste-tuotekaava voidaan johtaa kosinilain avulla. Tämä tehdään seuraavasti:
Tarkastellaan muita kuin nollavektoreitaajabyhdessä niiden erotusvektorin kanssaa - b. Järjestä kolme vektoria muodostamaan kolmio.
Trigonometrian perusteella saatu kosinilaki kertoo meille, että:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Ja käyttämällä pistetuotteen määritelmää saamme:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Kun molemmat lausekkeet asetetaan tasa-arvoisiksi ja yksinkertaistetaan, saadaan:
\ peruuta {| \ bold {a} | ^ 2} + \ peruuta {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ peruuta {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ peruuta {| \ lihavoitu {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ teksti {} \\\ merkitsee \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ lihavoitu {b} | \ cos (\ theta)}
Tämän muotoilun avulla geometrinen intuitiomme voi tulla peliin. Määrä |a| cos (θ) on vektorin projektion suuruusavektoriinb.
Joten voimme ajatella pistetulon olevan yhden vektorin projektio toiselle ja sitten niiden arvojen tulo. Toisin sanoen, se voidaan nähdä yhden vektorin tulona toisen vektorin määrän kanssa samassa suunnassa kuin itse.
Pistetuotteen ominaisuudet
Seuraavassa on useita pistetuotteen ominaisuuksia, jotka voivat olla hyödyllisiä:
\ # \ teksti {1. Jos} \ theta = 0 \ text {, niin} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Tämä johtuu siitä, että cos (0) = 1.
\ # \ teksti {2. Jos} \ theta = 180 \ text {, sitten} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Tämä johtuu siitä, että cos (180) = -1.
\ # \ teksti {3. Jos} \ theta = 90 \ text {, niin} \ bold {a \ cdot b} = 0
Tämä johtuu siitä, että cos (90) = 0.
- Huomaa: 0 <
θ
<90, pistetulo on positiivinen ja 90 <
θ
<180, pistetulo on negatiivinen.
\ # \ teksti {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Tämä johtuu kommutatiivisen lain soveltamisesta pistetuotteen määritelmään.
\ # \ teksti {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Todiste:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ teksti {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Todiste:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ lihavoitu {b}
Kuinka löytää Dot-tuote
Esimerkki 1:Fysiikassa työ tehdään voimallaFesineeseen, kun se joutuu siirtymäänd, määritellään seuraavasti:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Missä θ on voimavektorin ja siirtovektorin välinen kulma.
Voiman tekemän työn määrä on osoitus siitä, kuinka paljon tämä voima vaikutti siirtymään. Jos voima on samassa suunnassa kuin siirtymä (cos (θ) = 0), se antaa maksimaalisen panoksensa. Jos se on kohtisuorassa siirtymään nähden (cos (Ѳ) = 90), se ei osallistu lainkaan. Ja jos se on siirtymää vastapäätä, (cos (θ) = 180), se vaikuttaa negatiivisesti.
Oletetaan, että lapsi työntää lelujunan radan yli soveltamalla 5 N: n voimaa 25 asteen kulmassa radan linjaan nähden. Kuinka paljon työtä lapsi tekee junassa, kun hän siirtää sitä 0,5 m?
Ratkaisu:
F = 5 \ teksti {N} \\ d = 0,5 \ teksti {m} \\ \ theta = 25 \ aste \\
Käyttämällä työn pistetuotemäärittelyä ja kytkemällä arvoja saadaan:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ kertaa0,5 \ kertaa \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Tästä konkreettisesta esimerkistä pitäisi olla vielä selvempi, että siirtosuuntaan kohtisuoran voiman käyttäminen ei toimi. Jos lapsi työntää junaa suorassa kulmassa radan kanssa, juna ei liiku eteenpäin tai taaksepäin radaa pitkin. On myös intuitiivista, että lapsen tekemä työ junassa kasvaa kulman laskiessa ja voima ja siirtymä ovat lähempänä kohdistusta.
Esimerkki 2:Teho on toinen esimerkki fyysisestä suuruudesta, joka voidaan laskea pistetuotteen avulla. Fysiikassa voima on yhtä suuri kuin työ jaettuna ajalla, mutta se voidaan kirjoittaa myös voiman ja nopeuden pistetulona kuvan osoittamalla tavalla:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Missävon nopeus.
Harkitse edellistä esimerkkiä lapsesta, joka leikkii junalla. Jos sen sijaan meille kerrotaan, että sama voima vaikuttaa siihen, että juna liikkuu 2 m / s radalla, voimme käyttää pistetuotetta voiman löytämiseen:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 kertaa2 kertaa cos (25) = 9,06 \ teksti {wattia}
Esimerkki 3:Toinen esimerkki siitä, missä pisteitä käytetään fysiikassa, on magneettivuo. Magneettivuo on tietyn alueen läpi kulkevan magneettikentän määrä. Se löytyy magneettikentän pistetuloksenaBalueen kanssaA. (Aluevektorin suunta onnormaaliatai kohtisuorassa alueen pintaan.)
\ Phi = \ lihavoitu {B \ cdot A}
Oletetaan, että 0,02 Teslan kenttä kulkee 10 cm: n säteellä olevan langansilmukan läpi ja muodostaa 30 asteen kulman normaalin kanssa. Mikä on virtaus?
\ Phi = \ lihavoitu {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 kertaa (\ pi \ kertaa0,1 ^ 2) \ kertaa \ cos (30) = 0,000544 \ teksti {Wb}
Kun tämä vuo muuttuu, joko muuttamalla kentän arvoa, vaihtamalla silmukka-aluetta tai muuttamalla kulmaa kiertämällä silmukkaa tai kenttälähdettä, virta indusoidaan silmukassa, mikä tuottaa sähköä!
Huomaa jälleen, kuinka kulma on merkityksellinen intuitiivisella tavalla. Jos kulma olisi 90 astetta, tämä tarkoittaisi, että kenttä olisi samassa tasossa kuin alue ja yksikään kenttäviiva ei kulkisi silmukan läpi, mikä ei aiheuttaisi vuon. Sitten vuon määrä kasvaa, mitä lähempänä kentän ja normaalin välinen kulma saavuttaa 0. Pistetuotteen avulla voimme määrittää, kuinka suuri osa kentästä on pinnan suhteen normaalissa suunnassa ja vaikuttaa siten virtaukseen.
Vektoriprojektio ja piste-tuote
Aikaisemmissa osissa mainittiin, että pistetulon voidaan ajatella olevan tapa projisoida yksi vektori toiselle ja sitten kertoa niiden suuruus. Sellaisenaan ei pitäisi olla yllättävää, että vektoriprojektion kaava voidaan johtaa pistetuotteesta.
Vektorin heijastamiseksiavektoriinb, otamme pistetuloksenakanssayksikkövektorisuunnassabja kerro tämä skalaarinen tulos samalla yksikkövektorilla.
Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on 1 ja joka sijaitsee tietyssä suunnassa. Yksikkövektori vektorin suuntaanbon yksinkertaisesti vektoribjaettuna sen suuruudella:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Joten tämä projektio on silloin:
\ text {Heijastus} \ bold {a} \ text {päälle} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Iso) \ lihavoitu {b}
Dot-tuote korkeammassa ulottuvuudessa
Aivan kuten vektorit ovat korkeammassa ulottuvuudessa, niin on myös pistetulo. Kuvittele esimerkki lapsesta, joka työntää junaa uudelleen. Oletetaan, että hän työntää sekä alaspäin että kulmassa radan puolelle. Tavallisessa koordinaatistossa voima- ja siirtovektorit olisi esitettävä kolmiulotteisina.
Sisäännmitat, pistetuote määritellään seuraavasti:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underderset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Kaikki samat edeltävien pisteiden tuoteominaisuudet pätevät edelleen, ja kosinusten laki antaa jälleen yhteyden:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Mistä kunkin vektorin suuruus löydetään seuraavien kautta, jälleen yhdenmukainen Pythagoraan lauseen kanssa:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Pistetuotteen löytäminen kolmessa ulottuvuudessa
Esimerkki 1:Pistetuote on erityisen hyödyllinen, kun on löydettävä kulma kahden vektorin välillä. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme määrittää välisen kulmana= (2, 3, 2) jab= (1, 4, 0). Vaikka piirtäisit nämä kaksi vektoria 3-tilaan, voi olla hyvin vaikeaa kiertää pääsi geometrian ympärille. Mutta matematiikka on melko suoraviivaista, tosiasia, että:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ merkitsee \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ lihavoitu {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ iso)
Sitten lasketaan pistetuloajab:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ kertaa1 + 3 \ kertaa4 + 2 \ kertaa0 = 14
Ja laskemalla kunkin vektorin suuruudet:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Ja lopuksi kytkemällä kaikki sisään, saamme:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ kertaa 4.12} \ Big) = \ boxed {34,4 \ degree}
Esimerkki 2:Positiivinen varaus istuu koordinaattipisteessä (3, 5, 4) kolmiulotteisessa tilassa. Missä pisteessä vektorin suuntaista viivaa pitkina= (6, 9, 5) onko sähkökenttä suurin?
Ratkaisu: Tietämyksestämme siitä, kuinka sähkökentän voimakkuus liittyy etäisyyteen, tiedämme, että piste viivalla, joka on lähinnä positiivista varausta, on paikka, jossa kenttä on vahvin. Pistetuotteiden tietämyksemme perusteella voimme arvata, että projektiokaavan käyttäminen on tässä järkevää. Tämän kaavan pitäisi antaa meille vektori, jonka kärki on täsmälleen etsimässämme kohdassa.
Meidän on laskettava:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ iso) \ lihavoitu {a}
Voit tehdä sen ensin etsimällä |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Sitten pistetuote:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ kertaa6 + 5 \ kertaa9 + 4 \ kertaa5 = 83
Jakamalla tämä |a|2 antaa 83/142 = 0,585. Kerro sitten tämä skalaari luvullaaantaa:
0,585 \ lihavoitu {a} = 0,585 \ kertaa (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Siksi piste linjalla, jossa kenttä on vahvin, on (3.51, 5.27, 2.93).