Olipa kyseessä luistelija, joka vetää sylissään ja pyörii nopeammin kuin hän, tai kissa, joka hallitsee kuinka nopeasti se pyörii putoamisen aikana sen varmistamiseksi, että se laskeutuu jaloilleen, hitausmomentin käsite on ratkaiseva pyörimisfysiikan kannalta liike.
Muuten kutsutaan pyörimisinertiaksi, hitausmomentti on massan pyörimisanalogi toinen Newtonin liikelakista, joka kuvaa kohteen taipumusta vastustaa kulmakiihtyvyyttä.
Käsite ei ehkä tunnu aluksi liian mielenkiintoiselta, mutta yhdistettynä kulmien säilymislakiin vauhtia, sitä voidaan käyttää kuvaamaan monia kiehtovia fyysisiä ilmiöitä ja ennustamaan liikettä laajalla alueella tilanteissa.
Määritelmä hitausmomentti
Esineen hitausmomentti kuvaa sen vastustuskykyä kulmakiihtyvyydelle, mikä laskee massan jakautumisen pyörimisakselinsa ympäri.
Se määrittelee olennaisesti kuinka vaikeaa on muuttaa kohteen pyörimisnopeutta, merkitseekö se sitten sen pyörimisen aloittamista, pysäyttämistä tai jo pyörivän kohteen nopeuden muuttamista.
Sitä kutsutaan joskus pyörimishitaukseksi, ja on hyödyllistä ajatella sitä massan analogina Newtonin toisessa laissa:
Fnetto = ma. Tässä kohteen massaa kutsutaan usein inertiaalimassaksi, ja se kuvaa kohteen vastustuskykyä (lineaariselle) liikkeelle. Pyörimisinertia toimii juuri näin pyörimisliikkeessä, ja matemaattinen määritelmä sisältää aina massan.Toisen lain vastaava ilmaus pyörimisliikkeestä liittyyvääntömomentti (τ, voiman pyörimisanalogi) kulmakiihtyvyyteenαja hitausmomenttiMinä:
\ tau = minä \ alfa
Samalla objektilla voi kuitenkin olla useita hitausmomentteja, koska vaikka iso osa määritelmästä koskee massan jakautumista, se ottaa huomioon myös pyörimisakselin sijainnin.
Esimerkiksi, kun sen keskipisteen ympäri pyörivän tangon hitausmomentti onMinä = ML2/ 12 (missäMon massa jaLon tangon pituus), samalla pään ympäri pyörivällä tangolla on hitausmomenttiMinä = ML2/3.
Yhtälöt hitausmomentille
Joten kehon hitausmomentti riippuu sen massastaM, sen sädeRja sen pyörimisakseli.
Joissakin tapauksissa,Rkutsutaand, etäisyys pyörimisakselista, ja muissa (kuten edellisen osan tangossa) se korvataan pituudella,L. SymboliMinäkäytetään hitausmomentille, ja sen yksiköt ovat kg m2.
Kuten voit odottaa tähän mennessä oppimasi perusteella, hitausmomentille on olemassa monia erilaisia yhtälöitä, ja jokainen viittaa tiettyyn muotoon ja tiettyyn pyörimisakseliin. Kaikilla hitaushetkillä termiHERRA2 ilmestyy, vaikka eri muodoille tämän termin edessä on erilaisia murto-osia, ja joissakin tapauksissa voi olla useita termejä yhteen laskettuna.
HERRA2 komponentti on etäisyyspistemassan hitausmomenttiRpyörimisakselilta, ja tietyn jäykän rungon yhtälö muodostetaan pistemassojen summana tai integroimalla ääretön määrä pieniä pistemassoja kohteen päälle.
Vaikka joissakin tapauksissa voi olla hyödyllistä johtaa objektin hitausmomentti yksinkertaisen pistemassojen aritmeettisen summan tai integroimalla, käytännössä on monia tuloksia yleisille muodoille ja akseleille, joita voit yksinkertaisesti käyttää ilman, että sinun on johdettava sitä ensimmäinen:
Kiinteä sylinteri (symmetria-akseli):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Kiinteä sylinteri (keskihalkaisija-akseli tai pyöreän poikkileikkauksen halkaisija sylinterin keskellä):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Kiinteä pallo (keskiakseli):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Ohut pallomainen kuori (keskiakseli):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoop (symmetria-akseli, ts. Kohtisuoraan keskuksen läpi):
I = MR ^ 2
Hoop (halkaisija-akseli, so. Renkaan muodostaman ympyrän halkaisijan poikki):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Tanko (keskiakseli, kohtisuorassa tangon pituuteen):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Tanko (pyörivä ympäri):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Kiertohitaus ja pyörimisakseli
Ymmärtäminen, miksi jokaiselle pyörimisakselille on olemassa erilaisia yhtälöitä, on avainasemassa hitausmomentin käsitteen ymmärtämisessä.
Ajattele kynää: Voit kiertää sitä kiertämällä sitä keskellä, päässä tai kiertämällä sitä keskiakselinsa ympäri. Koska kohteen pyörimisinertia riippuu massan jakautumisesta pyörimisakselin ympäri, jokainen näistä tilanteista on erilainen ja vaatii erillisen yhtälön sen kuvaamiseksi.
Voit saada vaistomaisen käsityksen hitausmomentin käsitteestä, jos skaalat saman argumentin 30 jalan lipputankoon.
Sen kääntäminen loppupään yli olisi erittäin vaikeaa - jos pystyisit hallitsemaan sitä ollenkaan - kun taas navan pyörittäminen sen keskiakselin ympäri olisi paljon helpompaa. Tämä johtuu siitä, että vääntömomentti riippuu voimakkaasti etäisyydestä pyörimisakselista ja 30 jalan etäisyydellä lipputangon esimerkki, sen pyörittäminen loppuun yli pään liittyy jokainen ääripää 15 metrin päähän akselista kierto.
Kuitenkin, jos kierrät sitä keskiakselin ympäri, kaikki on melko lähellä akselia. Tilanne on kuin painavan esineen kantaminen käsivarren pituudella vs. pitämällä sitä lähellä vartaloasi tai käyttämällä vipua päästä vs. lähellä tukipistettä.
Siksi tarvitset toisen yhtälön kuvaamaan saman objektin hitausmomenttia pyörimisakselista riippuen. Valitsemasi akseli vaikuttaa siihen, kuinka kaukana kehon osat ovat pyörimisakselista, vaikka kehon massa pysyy samana.
Hitausmomentin yhtälöiden käyttäminen
Avain jäykän rungon hitausmomentin laskemiseen on oppia käyttämään ja soveltamaan sopivia yhtälöitä.
Harkitse edellisen osan kynää, joka on kehrätty päätä yli keskipisteen sen pituudelta. Vaikka se ei ole atäydellinensauva (terävä kärki rikkoo esimerkiksi tämän muodon), se voidaan mallintaa sellaisenaan säästääkseen joudut käymään läpi koko objektin inertiajohdannainen.
Joten mallintamalla esine sauvana, voit käyttää seuraavaa yhtälöä löytääksesi hitausmomentin yhdistettynä lyijykynän kokonaispainoon ja pituuteen:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Suurempi haaste on löytää komposiittikohteiden hitausmomentti.
Tarkastellaan esimerkiksi kahta palloa, jotka on yhdistetty tangolla (jota pidämme massattomina ongelman yksinkertaistamiseksi). Pallo yksi on 2 kg ja sijoitettu 2 m pois pyörimisakselista, ja toinen pallo on 5 kg massaa ja 3 m päässä pyörimisakselista.
Tässä tapauksessa voit löytää tämän komposiittiobjektin hitausmomentin pitämällä kutakin palloa pistemassana ja työskentelemällä seuraavasta perusmäärittelystä:
\ aloita {tasattu} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ summa _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ loppu {tasattu}
Kun tilaajat yksinkertaisesti erottavat eri kohteet (ts. Pallo 1 ja pallo 2). Kahden pallon esineellä olisi sitten:
\ aloita {tasattu} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ teksti {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ loppu {tasattu}
Hitausmomentti ja kulmamomentin säilyminen
Kulmamomentti (lineaarisen momentin pyörimisanalogi) määritellään pyörimishitauksen (ts. Hitausmomentin,Minä) kohteen ja sen kulmanopeudenω), joka mitataan asteina / s tai rad / s.
Sinulle on epäilemättä tuttu lineaarisen liikemäärän säilymislaki, ja myös kulmamomentti säilyy samalla tavalla. Kulmamomentin yhtälöL) On:
L = Iω
Ajatteleminen, mitä tämä käytännössä tarkoittaa, selittää monia fyysisiä ilmiöitä, koska (muiden voimien puuttuessa), mitä suurempi kohteen pyörimisinertia on, sitä pienempi on sen kulmanopeus.
Tarkastellaan luistelijaa, joka pyörii tasaisella kulmanopeudella ojennettujen käsien kanssa, ja huomaa, että hänen käsivarren ojentaminen lisää sädettäRmistä hänen massansa jakautuu, mikä johtaa suurempaan hitausmomenttiin kuin jos hänen käsivartensa olisivat lähellä hänen vartaloaan.
JosL1 lasketaan kädet ojennettuna, jaL2Kun käsivartensa on vedetty sisään, sillä on oltava sama arvo (koska kulmamomentti on säilynyt), mitä tapahtuu, jos hän pienentää hitausmomenttiaan vetämällä käsivarsiinsa? Hänen kulmanopeutensaωkasvaa kompensoimaan.
Kissat suorittavat samanlaisia liikkeitä auttaakseen heitä laskeutumaan jaloilleen putoamisen yhteydessä.
Venyttämällä jalkojaan ja häntää ne lisäävät hitausmomenttiaan ja vähentävät pyörimisnopeuttaan, ja päinvastoin he voivat vetää jalkoihinsa vähentääkseen hitausmomenttiaan ja kiihdyttääkseen pyörimisnopeutta. He käyttävät näitä kahta strategiaa - yhdessä "oikaisurefleksinsä" muiden näkökohtien kanssa - varmistaakseen jalkojensa laskeutumisen Ensinnäkin, ja voit nähdä erilliset käpristyksen ja venyttämisen vaiheet kissan aikavalvotuissa valokuvissa lasku.
Hitausmomentti ja pyörivä kineettinen energia
Jatkamalla lineaarisen liikkeen ja pyörimisliikkeen välisiä rinnakkaisuuksia, esineillä on myös pyörimiskineettinen energia samalla tavalla kuin niillä on lineaarinen liike-energia.
Ajattele palloa, joka liikkuu maapallon yli, sekä pyörimällä keskiakselinsa ympäri että liikkumalla eteenpäin lineaarisesti: Pallon kokonaiskineettinen energia on sen lineaarisen kineettisen energian summaEk ja sen pyörimisliikeEmädäntyä. Näiden kahden energian väliset rinnakkaisuudet heijastuvat molempien yhtälöihin, muistaen kohteen olevan hitausmomentti on massan pyörimisanalogi ja sen kulmanopeus on lineaarisen pyörimisanalogi nopeusv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Voit selvästi nähdä, että molemmilla yhtälöillä on täsmälleen sama muoto, ja pyörimiskineettisen energian yhtälöllä korvataan sopivat pyörimisanalogit.
Tietenkin kiertokineettisen energian laskemiseksi sinun on korvattava objektin hitausmomentille sopiva lausekeMinä. Kun otetaan huomioon pallo ja mallinnetaan esine kiinteäksi palloksi, yhtälö on tässä tapauksessa:
\ begin {tasattu} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ loppu {tasattu}
Kineettinen kokonaisenergia (Etot) on tämän ja pallon kineettisen energian summa, joten voit kirjoittaa:
\ begin {tasattu} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { tasattu}
1 kg: n pallolle, joka liikkuu lineaarisella nopeudella 2 m / s, säteellä 0,3 m ja kulmanopeudella 2π rad / s, kokonaisenergia olisi:
\ begin {tasattu} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ teksti {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ teksti {J} \ end {tasattu}
Tilanteesta riippuen esineellä voi olla vain lineaarinen kineettinen energia (esimerkiksi pallolta pudotettu pallo korkeus, johon ei ole annettu pyörimistä) tai vain pyörimisliike (energia pyörii, mutta pysyy paikallaan).
Muista, että se onkaikki yhteensäenergiaa, joka on säästynyt. Jos pallo potkaistaan seinää vasten ilman alkukierrosta ja se palautuu takaisin pienemmällä nopeudella, mutta pyöriessä, samoin kuin energia menetetty äänelle ja lämmölle kosketuksissa ollessaan, osa alkuperäisestä kineettisestä energiasta on siirretty pyörimiskineettiseen energiaan, ja niin seei voimahdollisesti liikkua yhtä nopeasti kuin ennen palautumista.