Kuvittele, että miehit tykkiä ja jonka tarkoituksena on murskata vihollisen linnan seinät, jotta armeijasi voi hyökätä sisään ja vaatia voittoa. Jos tiedät kuinka nopeasti pallo kulkee tykistä lähtiessään, ja tiedät kuinka kaukana seinät ovat, mitä laukaisukulmaa tarvitset ampumaan tykkiä onnistuneesti osuaksesi seiniin?
Tämä on esimerkki ammuksen liikeongelmasta, ja voit ratkaista tämän ja monet vastaavat ongelmat käyttämällä kinematiikan vakiokiihtyvyysyhtälöitä ja jotakin perusalgebraa.
Ammusliikemiten fyysikot kuvaavat kaksiulotteista liikettä, jossa ainoa kiihtyvyys, jonka kyseessä oleva kohde kokee, on vakavuus alaspäin kiihtyvyyden vuoksi.
Maan pinnalla jatkuva kiihtyvyysaon yhtä suuri kuing= 9,8 m / s2, ja ammuksen liikkeessä oleva esine onvapaa pudotustämä on ainoa kiihtyvyyden lähde. Useimmissa tapauksissa se vie parabolan polun, joten liikkeessä on sekä vaaka- että pystykomponentti. Vaikka sillä olisi (rajoitettu) vaikutus tosielämässä, onneksi useimmat lukion fysiikan ammuksen liikeongelmat jättävät huomiotta ilmanvastuksen vaikutuksen.
Voit ratkaista ammuksen liikeongelmia käyttämällä arvoagja joitain muita perustietoja tilanteesta, kuten ammuksen alkunopeus ja suunta, johon se liikkuu. Näiden ongelmien ratkaisemisen oppiminen on välttämätöntä useimpien fysiikan alkutuntien läpäisemiseksi, ja se tutustuttaa sinut tärkeimpiin käsitteisiin ja tekniikoihin, joita tarvitset myös myöhemmillä kursseilla.
Ammusliikkeen yhtälöt
Ammusliikkeen yhtälöt ovat kinematiikan vakiokiihdytysyhtälöitä, koska painovoiman kiihtyvyys on ainoa kiihtyvyyden lähde, joka sinun on otettava huomioon. Neljä pääyhtälöä, jotka sinun on ratkaistava ammusliikkeen ongelmissa, ovat:
v = v_0 + kohdassa \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} kohdassa ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Tässä,vtarkoittaa nopeutta,v0 on alkunopeus,aon kiihtyvyys (joka on yhtä suuri kuin kiihtyvyys alaspäingkaikissa ammuksen liikeongelmissa),son siirtymä (alkuasennosta) ja kuten aina sinulla on aikaa,t.
Nämä yhtälöt ovat teknisesti vain yhtä ulottuvuutta varten, ja tosiasiassa ne voidaan esittää vektorimääriin (mukaan lukien nopeus)v, alkunopeusv0 ja niin edelleen), mutta käytännössä voit käyttää näitä versioita erikseen kerranx-suunta ja kerrany-suunta (ja jos sinulla on joskus ollut kolmiulotteinen ongelma,z-suunta myös).
On tärkeää muistaa, että nämä ovatkäytetään vain jatkuvaan kiihdytykseen, mikä tekee niistä täydellisen kuvaamaan tilanteita, joissa painovoiman vaikutus on ainoa kiihtyvyys, mutta ei sovellu moniin tosielämän tilanteisiin, joissa lisävoimien on oltava huomioon.
Perustilanteissa tämä on kaikki mitä tarvitset kuvaamaan kohteen liikettä, mutta tarvittaessa voit sisällyttää siihen muun tekijät, kuten korkeus, josta ammus laukaistiin, tai jopa ratkaise ne ammuksen korkeimmalle kohdalle polku.
Ammusliikkeen ongelmien ratkaiseminen
Nyt kun olet nähnyt ammuksen liikekaavan neljä versiota, joita sinun on käytettävä ratkaista ongelmia, voit alkaa miettiä strategiaa, jota käytät ammusliikkeen ratkaisemiseen ongelma.
Peruslähestymistapa on jakaa ongelma kahteen osaan: yksi vaakasuuntaista ja toinen pystysuuntaista liikettä varten. Tätä kutsutaan teknisesti vaaka- ja pystykomponentiksi, ja jokaisella on vastaava joukko - määrät, kuten vaakasuuntainen nopeus, pystysuuntainen nopeus, vaakasuuntainen siirtymä, pystysuora siirtymä ja pian.
Tällä lähestymistavalla voit käyttää kinematiikkayhtälöitä, huomioiden tuon ajanton sama sekä vaaka- että pystykomponenteille, mutta sellaisilla asioilla kuin alkunopeudella on eri komponentit alkuperäiselle pystysuuntaiselle nopeudelle ja alkuperäiselle vaakanopeudelle.
Keskeinen asia on ymmärtää, että kaksiulotteisessa liikkeessäminkä tahansaliikekulma voidaan jakaa vaaka- ja pystykomponentiksi, mutta milloin teet tämän, niin yhtälöstä on yksi vaakasuora versio ja yksi pystysuora versio.
Ilmanvastuksen vaikutusten laiminlyöminen yksinkertaistaa valtavasti ammuksen liikeongelmia, koska vaakasuunnassa ei koskaan ole mitään kiihtyvyys ammuksen liikkeessä (vapaa pudotus), koska painovoiman vaikutus toimii vain pystysuunnassa (ts. kohti Maa).
Tämä tarkoittaa, että vaakasuuntainen nopeuskomponentti on vain vakionopeus ja liike pysähtyy vasta, kun painovoima tuo ammuksen alas maanpinnalle. Tätä voidaan käyttää lennon ajan määrittämiseen, koska se on täysin riippuvainen lennostay-suuntainen liike ja se voidaan suunnitella kokonaan pystysuuntaisen siirtymän (ts. ajan mukaan) perusteellatkun pystysuora siirtymä on nolla kertoo lennon ajan).
Trigonometria ammuksen liikeongelmissa
Jos kyseinen ongelma antaa sinulle laukaisukulman ja alkunopeuden, sinun on käytettävä trigonometriaa vaaka- ja pystysuuntaisten nopeuskomponenttien löytämiseksi. Kun olet tehnyt tämän, voit käyttää edellisessä osassa esitettyjä menetelmiä ongelman ratkaisemiseksi.
Pohjimmiltaan luot suorakulmaisen kolmion, jossa hypotenuus on kallistettu laukaisukulmaan (θ) ja nopeuden suuruus pituudena, ja sitten viereinen puoli on nopeuden vaakasuora komponentti ja vastakkainen puoli on pystysuuntainen nopeus.
Piirrä suorakulmainen kolmio ohjeiden mukaisesti ja huomaat, että löydät vaaka- ja pystykomponentit trigonometristen identiteettien avulla:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {vieressä}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {syn} \; θ = \ frac {\ text {vastakkainen}} {\ text {hypotenuse}}
Joten nämä voidaan järjestää uudelleen (ja päinvastaisella =vy ja viereinen =vxeli pystysuuntainen nopeuskomponentti ja vastaavasti vaakasuuntainen nopeuskomponentti ja hypotenuus =v0, alkunopeus) antaa:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Tämä on kaikki trigonometria, joka sinun on tehtävä ammuksen liikeongelmien ratkaisemiseksi: kytkemällä laukaisukulma Yhtälö, käyttämällä sini- ja kosini-funktioita laskimessasi ja kertomalla tulos alkunopeudella ammus.
Joten läpi tämä esimerkki, jonka alkunopeus on 20 m / s ja laukaisukulma 60 astetta, komponentit ovat:
\ aloita {tasattu} v_x & = 20 \; \ teksti {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ teksti {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ teksti {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ teksti {m / s} \ loppu {tasattu}
Esimerkki ammuksen liikkeestä: räjähtävä ilotulitus
Kuvittele, että ilotulitteella on sulake, joka on suunniteltu siten, että se räjähtää liikeradan korkeimmasta kohdasta, ja se käynnistetään 60 m / s: n alkunopeudella 70 asteen kulmassa vaakatasoon nähden.
Kuinka voisit selvittää minkä korkeudenhse räjähtää? Ja mikä olisi aika laukaisun jälkeen, kun se räjähtää?
Tämä on yksi monista ongelmista, joihin liittyy ammuksen enimmäiskorkeus, ja temppu niiden ratkaisemiseen on huomata, että suurimmalla korkeudellay-nopeuden komponentti on 0 m / s hetkeksi. Kytkemällä tämä arvo verkkotunnukseenvy ja valitsemalla sopivin kinemaattisista yhtälöistä, voit tarttua tähän ja vastaavaan ongelmaan helposti.
Ensinnäkin, tarkastelemalla kinemaattisia yhtälöitä, tämä hyppää ulos (kun tilaus on lisätty osoittamaan, että työskentelemme pystysuunnassa):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Tämä yhtälö on ihanteellinen, koska tiedät jo kiihtyvyyden (ay = -g), alkunopeus ja laukaisukulma (jotta pystyt selvittämään pystykomponentinvy0). Koska etsimme arvonsy (eli korkeush) kunvy = 0, voimme korvata nollan lopullisella pystysuuntaisella nopeuskomponentilla ja järjestää sen uudelleensy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Koska on järkevää kutsua ylöspäin suuntaay, ja koska kiihtyvyys johtuu painovoimastagon suunnattu alaspäin (ts.ysuuntaan), voimme muuttaaay varten -g. Lopuksi soittaminensy korkeush, voimme kirjoittaa:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Joten ainoa asia, joka sinun on selvitettävä ongelman ratkaisemiseksi, on alkuperäisen nopeuden pystysuora komponentti, jonka voit tehdä käyttämällä edellisen osan trigonometristä lähestymistapaa. Joten kysymyksestä saatujen tietojen (60 m / s ja 70 astetta vaakasuoraan laukaisuun) kanssa tämä antaa:
\ alku {tasattu} v_ {0y} & = 60 \; \ teksti {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ teksti {m / s} \ loppu {tasattu}
Nyt voit ratkaista enimmäiskorkeuden:
\ aloita {tasattu} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {kohdistettu}
Joten ilotulitus räjähtää noin 162 metrin päässä maasta.
Jatketaan esimerkkiä: Lennon aika ja kuljettu matka
Kun ammusliikkeen ongelman perusteet on ratkaistu puhtaasti pystysuuntaisen liikkeen perusteella, loppuosa ongelmasta voidaan ratkaista helposti. Ensinnäkin aika sulakkeen räjähtämisestä voidaan löytää käyttämällä jotakin muuta vakiokiihdytysyhtälöä. Vaihtoehtoja tarkasteltaessa seuraava lauseke:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
on aikaat, jonka haluat tietää; siirtymä, jonka tiedät lennon maksimipisteestä; alkuperäinen pystysuuntainen nopeus; ja nopeus maksimikorkeuden hetkellä (jonka tiedämme olevan nolla). Joten tämän perusteella yhtälö voidaan järjestää uudelleen antamaan lauseke lennon ajaksi:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Joten lisäämällä arvot ja ratkaisemallatantaa:
\ aloita {tasattu} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {tasattu}
Joten ilotulitus räjähtää 5,75 sekuntia laukaisun jälkeen.
Lopuksi voit helposti määrittää kuljetun vaakasuoran etäisyyden ensimmäisen yhtälön perusteella, joka (vaakasuunnassa) sanoo:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Huomaa kuitenkin, että nopeudessa ei ole kiihtyvyyttäx-suunta, tämä on yksinkertaisesti:
v_x = v_ {0x}
Tarkoittaen, että nopeusxsuunta on sama koko ilotulitusmatkan ajan. Olettaen ettäv = d/t, missädon kuljettu matka, se on helppo nähdäd = vt, ja niin tässä tapauksessa (kanssasx = d):
s_x = v_ {0x} t
Joten voit korvatav0x Syötä aikaisemman trigonometrisen lausekkeen kanssa arvot ja ratkaise:
\ aloita {tasattu} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ teksti {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ teksti {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {kohdistettu}
Joten se kulkee noin 118 m ennen räjähdystä.
Ammusliikkeen lisäongelma: Dud-ilotulitus
Kuvittele ilotulitus edellisestä esimerkistä (käynnistysnopeus 60 m / s, jotta saat lisäongelman toimimaan) 70 astetta vaakatasoon nähden) ei räjähtänyt parabolinsa huipussa, vaan laskeutuu maahan räjähtämätön. Voitteko laskea lennon kokonaisajan tässä tapauksessa? Kuinka kaukana laukaisupaikasta vaakasuunnassa se laskeutuu, toisin sanoen mikä onalueammuksen?
Tämä ongelma toimii periaatteessa samalla tavalla, missä nopeuden ja siirtymän pystysuorat komponentit ovat tärkeimmät asiat, jotka sinun on otettava huomioon lennon ajan määrittämiseksi, ja siitä voit määrittää alue. Sen sijaan, että tutkit ratkaisua yksityiskohtaisesti, voit ratkaista tämän edellisen esimerkin perusteella.
Ammuksen alueelle on kaavoja, joita voit etsiä tai johtaa vakiokiihdytysyhtälöistä, mutta tämä ei ole todella tarvitaan, koska tiedät jo ammuksen maksimikorkeuden, ja tästä eteenpäin se on vain vapaassa pudotuksessa painovoima.
Tämä tarkoittaa sitä, että voit määrittää ajan, jonka ilotulitus kestää kaatumiseen maahan, ja lisätä tämä sitten lentoaikaan enimmäiskorkeuteen kokonaislentoajan määrittämiseksi. Siitä lähtien on sama prosessi, jossa vakionopeutta käytetään vaakasuunnassa lentoaikojen rinnalla etäisyyden määrittämiseksi.
Osoita, että lentoaika on 11,5 sekuntia ja etäisyys 236 m. Huomaa, että joudut tekemään niin laske nopeuden pystykomponentti pisteessä, joka osuu maahan välituotteena askel.