Vektorit ja skalaarit: mitä ne ovat ja miksi niillä on merkitystä?

Arjessa useimmat ihmiset käyttävät termejänopeusjanopeusmutta fyysikoille ne ovat esimerkkejä kahdesta hyvin erityyppisestä määrästä.

Mekaniikkaongelmat käsittelevät esineiden liikettä, ja vaikka voit vain kuvata liikkeen nopeuden suhteen, erityinen suunta, johon jotain on menossa, on usein kriittisen tärkeä.

Vastaavasti esineisiin kohdistuvat voimat voivat tulla monesta eri suunnasta - ajattele esimerkiksi vastakohtaisia ​​vetovoimia sota-virityksessä - joten tämän kaltaisia ​​tilanteita kuvaavien fyysikkojen on käytettävä määriä, jotka kuvaavat sekä voimien kaltaisten asioiden «koon» että suunnan, johon toimia. Näitä määriä kutsutaanvektorit​.

TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)

Vektorilla on sekä suuruus että tietty suunta, mutta skalaarisella määrällä on vain suuruus.

Tärkein ero vektorien ja skalaarien välillä on, että vektorin suuruus ei kuvaa sitä kokonaan; myös on oltava ilmoitettu suunta.

Vektorin suunta voidaan ilmoittaa monin tavoin, joko positiivisten tai negatiivisten merkkien kautta sen edessä, ilmaisemalla se komponenttien muodossa (skalaariarvot sopivan vieressä

Skalaari on sitä vastoin vain vektorin suuruus ilman lisämerkintöjä tai annettuja tietoja - esimerkiksi nopeus on skalaariekvivalentti nopeusvektoriin. Matemaattisesta näkökulmasta se on vektorin absoluuttinen arvo.

Kuitenkin monet määrät, kuten energia, paine, pituus, massa, teho ja lämpötila, ovat esimerkkejä skalaareista, jotka eivät ole vain vastaavan vektorin suuruus. Sinun ei tarvitse tietää esimerkiksi massan suuntaa, jotta sinulla olisi täydellinen kuva siitä fyysisenä ominaisuutena.

On olemassa muutama vastakohtainen tosiasia, jotka voit ymmärtää, kun tiedät eron skalaarin välillä ja vektori, kuten ajatus siitä, että jollakin voi olla vakionopeus mutta jatkuvasti muuttuvaa nopeus. Kuvittele auto, joka ajaa tasaisella nopeudella 10 km / h, mutta ympyrässä. Koska vektorin suunta on osa sen määritelmää, auton nopeusvektori on aina muuttuu tässä esimerkissä siitä huolimatta, että vektorin suuruus (ts. sen nopeus) on vakio.

Fysiikassa on monia esimerkkejä vektoreista, mutta tunnetuimpia esimerkkejä ovat voima, liikemäärä, kiihtyvyys ja nopeus, jotka kaikki ovat vahvasti klassisessa fysiikassa. Nopeusvektori voidaan näyttää 25 m / s itään, −8 km / hy-suunta,​v​= 5 m / si+ 10 m / sjtai 10 m / s 50 asteen suuntaanx-akseli.

Momenttivektorit ovat toinen esimerkki, jonka avulla voit nähdä, kuinka vektorin suuruus ja suunta näytetään fysiikassa. Nämä toimivat kuten nopeusvektoriesimerkit, länteen 50 kg m / s, −12 km / hzsuunta,​s​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / skja 100 kg m / s 30 astettax-aksit ovat esimerkkejä siitä, miten ne voitaisiin näyttää. Samat peruspisteet koskevat kiihtyvyysvektorien näyttöä, ainoa ero on m / s-yksikkö² ja vektorin yleisesti käytetty symboli,​a​​.

Voima on viimeinen näistä esimerkeistä vektorilausekkeista, ja vaikka samankaltaisuuksia onkin paljon, käytetään sylinterimäisiä koordinaatteja (r​, ​θ​, ​z) suorakulmaisten koordinaattien sijasta voi auttaa osoittamaan muita tapoja, joilla ne voidaan näyttää. Voit esimerkiksi kirjoittaa voiman muodossa​F​= 10 Nr+ 35 N𝛉, voimalle, jonka komponentit ovat radiaalisessa suunnassa ja atsimutaalisessa suunnassa, tai kuvaa maapallon 1 kg: n esineellä olevan painovoiman arvona 10 N -rsuuntaan (ts. kohti planeetan keskustaa).

Kaavioissa vektorit näytetään nuolilla käyttäen vektorin suuruutta, jota edustaa nuolen pituus, ja sen suuntaa, jota nuoli osoittaa. Esimerkiksi suurempi nuoli osoittaa, että voima on suurempi (ts. Enemmän newtoneja tai suurempi) kuin toinen voima.

Vektorille, joka näyttää liikkeen, kuten liikemäärän tai nopeusvektorin,nolla vektori(ts. vektori, joka ei esitä nopeutta tai momenttia) näytetään yhdellä pisteellä.

On syytä huomata, että koska nuolen pituus edustaa vektorin suuruutta ja sen suunta edustaa vektorin suuntaa. On hyödyllistä yrittää olla kohtuullisen tarkka vektorikaaviota tehtäessä. Sen ei tarvitse olla täydellinen, mutta jos vektori​a​on kaksi kertaa suurempi kuin vektori​b​, nuolen tulisi olla suunnilleen kaksi kertaa niin pitkä.

Vektorien lisäys ja vähennyslasku ovat hieman monimutkaisempia kuin skalaarien lisääminen ja vähentäminen, mutta voit noutaa käsitteet helposti. Voit käyttää kahta pääasiallista lähestymistapaa, ja kullakin on potentiaalisia käyttötarkoituksia ratkaisemastasi ongelmasta riippuen.

Ensimmäinen ja helpoin käyttää, kun sinulle on annettu kaksi vektoria komponenttimuodossa, on yksinkertaisesti lisätä sopivat komponentit samalla tavalla kuin tavalliset skalaarit. Esimerkiksi, jos sinun on lisättävä nämä kaksi voimaa​F​​₁ = 5 Ni+ 10 Njja​F​​₂ = 6 Ni+ 15 Nj+ 10 Nk, lisäätikomponentit, sittenjkomponentit ja lopuksikkomponentit seuraavasti:

Vektorien vähennys toimii täsmälleen samalla tavalla, paitsi että vähennät määrät ennemmin kuin lisäät niitä. Vektorilisäys on myös kommutatiivinen, kuten tavallinen lisäys todellisilla numeroilla, joten​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Voit suorittaa vektorilisäyksen myös nuolikaavioiden avulla asettamalla vektorinuolet päähän ja sitten piirtämällä uusi vektorinuoli niiden vektorien summalle, jotka yhdistävät ensimmäisen nuolen hännän pään kanssa toinen.

Jos sinulla on yksinkertainen vektorilisäys yhdelläx-suunta ja toineny-suunta, kaavio muodostaa suorakulmaisen kolmion. Voit suorittaa vektorin lisäyksen ja määrittää saadun vektorin suuruuden ja suunnan "ratkaisemalla" kolmion trigonometrian ja Pythagorasin lauseen avulla.

Vektorien kertominen on hieman monimutkaisempi kuin reaalilukujen skalaarinen kertolasku, mutta kertolaskun kaksi päämuotoa ovat pistetulo ja ristitulo. Pistetuotetta kutsutaan skalaarituloksi ja se määritellään seuraavasti:

tai

missäθon kulma kahden vektorin välillä, ja alaindeksit 1, 2 ja 3 edustavat vektorin ensimmäistä, toista ja kolmatta komponenttia. Pistetuloksen tulos on skalaari.

Ristituote määritellään seuraavasti:

pilkulla erotetaan tuloksen komponentit eri suuntiin.