Avektorion määrä, johon liittyy sekä suuruus että suunta. Tämä on erilainen kuin askalaarimäärä, joka vastaa vain suuruutta. Nopeus on esimerkki vektorimäärästä. Sillä on sekä suuruus (kuinka nopeasti jotain menee) että suunta (suunta, jolla se kulkee.)
Vektorit piirretään usein nuolina. Nuolen pituus vastaa vektorin suuruutta, ja nuolen piste osoittaa suunnan.
Vektorien yhteenlaskemisen ja vähentämisen kanssa voidaan työskennellä kahdella tavalla. Ensimmäinen on graafisesti manipuloimalla itse vektorien nuolikaavioita. Toinen on matemaattisesti, mikä antaa tarkat tulokset.
Graafisen vektorin yhteenlasku ja vähennys yhdessä ulottuvuudessa
Kun lisäät kahta vektoria, sijoitat toisen vektorin pyrstön ensimmäisen vektorin kärkeen samalla, kun säilytät vektorin suunnan.tuloksena oleva vektorion vektori, joka alkaa ensimmäisen vektorin päästä ja osoittaa suorassa linjassa toisen vektorin kärkeen.
Harkitse esimerkiksi vektorien lisäämistäAjaBjotka osoittavat samaan suuntaan linjaa pitkin. Sijoitamme ne "kärjestä hännään" ja tuloksena olevan vektorin,
Vektorien vähentäminen yhdessä ulottuvuudessa on olennaisesti sama kuin lisääminen, paitsi että "käännät" toista vektoria. Tämä johtuu suoraan siitä, että vähennyslasku on sama kuin negatiivisen lisääminen.
Matemaattinen vektorilisäys ja vähennys yhdessä ulottuvuudessa
Kun työskentelet yhdessä ulottuvuudessa, vektorin suunta voidaan osoittaa merkillä. Valitsemme yhden suunnan positiiviseksi suunnaksi (tyypillisesti "ylös" tai "oikea" valitaan positiiviseksi) ja määritämme kaikki siihen suuntaiset vektorit positiiviseksi suureeksi. Mikä tahansa vektori, joka osoittaa negatiiviseen suuntaan, on negatiivinen määrä. Kun lisäät tai vähennät vektoreita, lisää tai vähennä niiden suuruudet sopivilla merkkeillä.
Oletetaan, että edellisessä osassa vektoriAoli suuruusluokkaa 3 ja vektoriBoli 5-kertainen. Sitten tuloksena oleva vektoriC = A + B =8, positiiviseen suuntaan osoittava suuruusluokan 8 vektori ja tuloksena oleva vektoriD. = A - B =-2, vektorin suuruus 2, joka osoittaa negatiiviseen suuntaan. Huomaa, että tämä on yhdenmukaista aikaisempien graafisten tulosten kanssa.
Vinkki: Ole varovainen, jos lisäät vain samantyyppisiä vektoreita: nopeus + nopeus, voima + voima ja niin edelleen. Kuten kaikessa fysiikan matematiikassa, yksiköiden on vastattava toisiaan!
Graafisen vektorin yhteenlasku ja vähennys kahdessa ulottuvuudessa
Jos ensimmäinen vektori ja toinen vektori eivät ole samaa linjaa pitkin suorakulmaista tilaa, voit lisätä tai vähentää niitä samalla "tip to tail" -menetelmällä. Kahden vektorin lisäämiseksi kuvittele yksinkertaisesti toisen nostaminen ja hännän asettaminen ensimmäisen kärkeen pitäen samalla suuntaansa kuvan osoittamalla tavalla. Tuloksena oleva vektori on nuoli, joka alkaa ensimmäisen vektorin päästä ja päättyy toisen vektorin kärkeen:
Aivan kuten yhdessä ulottuvuudessa, yhden vektorin vähentäminen toisesta vastaa kääntämistä ja lisäämistä. Graafisesti tämä näyttää tältä:
•••Dana Chen | Tutkiminen
Huomaa: Joskus vektorilisäys näytetään graafisesti laittamalla kahden summausvektorin hännät yhteen ja luomalla suunnan suuntainen. Tuloksena oleva vektori on sitten tämän suunnan diagonaali.
Matemaattinen vektorilisäys ja vähennys kahdessa ulottuvuudessa
Voit lisätä ja vähentää vektoreita matemaattisesti kahdessa ulottuvuudessa seuraavasti:
Hajota kukin vektori vektoriksix-komponentti, jota joskus kutsutaan vaakakomponentiksi, ja ay-komponentti, jota kutsutaan joskus vertikaalikomponentiksi, trigonometrian avulla. (Huomaa, että komponentit voivat olla joko negatiivisia tai positiivisia riippuen siitä, mihin suuntaan vektori osoittaa)
Lisääx-komponentit molemmista vektoreista yhdessä ja lisää sitteny- molempien vektorien komponentit yhdessä. Tämä tulos antaa sinullexjaytuloksena olevan vektorin komponentit.
Tuloksena olevan vektorin suuruus voidaan löytää käyttämällä Pythagoraan teoreemaa.
Saadun vektorin suunta voidaan löytää trigonometrian avulla käänteistä tangenttifunktiota käyttämällä. Tämä suunta annetaan tyypillisesti kulmana positiiviseen nähdenx-akseli.
Trigonometria vektorilisäyksessä
Palautetaan muistiin suorakulmion sivujen ja kulmien väliset suhteet trigonometriasta.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pythagoraan lause:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Ammusliike tarjoaa klassisia esimerkkejä siitä, miten voisimme käyttää näitä suhteita vektorin hajottamiseen ja vektorin lopullisen suuruuden ja suunnan määrittämiseen.
Tarkastellaan kahta ihmistä, jotka pelaavat saalista. Oletetaan, että sinulle kerrotaan, että pallo heitetään 1,3 metrin korkeudesta nopeudella 16 m / s 50 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Tämän ongelman analysoinnin aloittamiseksi sinun on hajotettava tämä alkuperäinen nopeusvektori osaksixjaykomponentit kuvan mukaisesti:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ kertaa \ cos (50) = 10.3 \ teksti {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ kertaa \ sin (50) = 12,3 \ teksti {m / s}
Jos kiinniottaja kaipaa palloa ja se osuu maahan, millä lopullisella nopeudella se iski?
Kinemaattisten yhtälöiden avulla voimme määrittää, että pallon nopeuden lopulliset komponentit ovat:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pythagoraan lauseen avulla voimme löytää suuruuden:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ teksti {m / s}
Ja trigonometrian avulla voimme määrittää kulman:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52,2 \ tutkinto
Esimerkki vektorien yhteenlaskusta ja vähentämistä
Harkitse kulman pyöristämistä. Olettaavisillä auto onx-suunta, jonka suuruus on 10 m / s, javfon 45 asteen kulmassa positiivisen kanssax-akseli, jonka suuruus on 10 m / s. Jos tämä muutos liikkeessä tapahtuu 3 sekunnissa, mikä on auton kiihtyvyyden suuruus ja suunta, kun se kääntyy?
Muista tuo kiihtyvyysaon vektorimäärä, joka määritellään seuraavasti:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Missävfjaviovat vastaavasti lopullisia ja alkunopeuksia (ja siten myös vektorimääriä).
Vektorieron laskemiseksivf - vi,meidän on ensin hajotettava alku- ja loppunopeusvektorit:
v_ {xi} = 10 \ teksti {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ teksti {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 teksti {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ teksti {m / s}
Sitten vähennämme lopullisenxjaykomponentit alkuperäisestäxjaykomponentit saadaksesi komponentitvf - vi:
Sitten vähennämmexjaykomponentit:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ teksti {m / s}
Jaa sitten jokainen ajan mukaan saadaksesi kiihtyvyysvektorin komponentit:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Käytä kiihtyvyysvektorin suuruutta Pythagoraan lauseen avulla:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ teksti {m / s} ^ 2
Käytä lopuksi trigonometriaa kiihtyvyysvektorin suunnan löytämiseksi:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ iso (\ frac {2.36} {- 0.977} \ iso) = 113 \ aste
