Kinemaattiset yhtälöt kuvaavat jatkuvan kiihdytyksen kohteena olevan kohteen liikettä. Nämä yhtälöt liittyvät liikkuvan kohteen ajan, sijainnin, nopeuden ja kiihtyvyyden muuttujiin, jolloin mikä tahansa näistä muuttujista voidaan ratkaista, jos muut tunnetaan.
Alla on kuvaus objektista, joka käy läpi jatkuvaa kiihtyvyysliikettä yhdessä ulottuvuudessa. Muuttuja t on aikaa, asema on x, nopeus v ja kiihtyvyys a. Tilaukset i ja f tarkoittaa "alkuperäinen" ja "lopullinen" vastaavasti. Oletetaan, että t = 0 at xi ja vi.
(Lisää kuva 1)
Kinemaattisten yhtälöiden luettelo
Alla on lueteltu kolme ensisijaista kinemaattista yhtälöä, joita sovelletaan työskenneltäessä yhdessä ulottuvuudessa. Nämä yhtälöt ovat:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Huomautuksia kinemaattisista yhtälöistä
- Nämä yhtälöt toimivat vain vakiokiihdytyksellä (joka voi olla nolla vakionopeuden ollessa kyseessä).
- Lopullisissa määrissä ei ehkä ole alaindeksiä lukemastasi lähteestä riippuen fja / tai se voidaan esittää funktion merkinnässä muodossa x (t) - lukea "x ajan funktiona ”tai”x Ajallaan t”- ja v (t). Ota huomioon, että x (t) ei tarkoita x kerrottuna t!
-
Joskus määrä xf - xi on kirjoitettu
Δx, mikä tarkoittaa "muutosta x, Tai jopa yksinkertaisesti nimellä d, mikä tarkoittaa siirtymistä. Kaikki ovat samanarvoisia. Sijainti, nopeus ja kiihtyvyys ovat vektorimääriä, mikä tarkoittaa, että niihin liittyy suunta. Yhdessä ulottuvuudessa suunta osoitetaan tyypillisesti merkkeillä - positiiviset määrät ovat positiivisessa suunnassa ja negatiiviset negatiivisessa. Alaindeksit: "0": ta voidaan käyttää lähtöasentoon ja nopeuteen sijasta i. Tämä "0" tarkoittaa "at t = 0, "ja x0 ja v0 ovat yleensä lausutaan "x-naught" ja "v-naught". * Vain yksi yhtälöistä ei sisällä aikaa. Kun kirjoitat antoja ja määrität mitä yhtälöä käytetään, tämä on avain!
Erikoistapaus: Vapaa putoaminen
Vapaasti putoava liike on kohteen liike, joka kiihtyy pelkästään painovoiman takia ilman vastusta. Samat kinemaattiset yhtälöt pätevät; kiihtyvyysarvo lähellä maapallon pintaa on kuitenkin tiedossa. Tämän kiihtyvyyden suuruutta edustaa usein gmissä g = 9,8 m / s2. Tämän kiihtyvyyden suunta on alaspäin kohti Maan pintaa. (Huomaa, että jotkut lähteet saattavat olla likimääräisiä g 10 m / s2ja muut voivat käyttää arvoa, joka on tarkempi kuin kaksi desimaalia.)
Kinematiikkaongelmien ongelmanratkaisustrategia yhdessä ulottuvuudessa:
Piirrä kaavio tilanteesta ja valitse sopiva koordinaattijärjestelmä. (Muista tuo x, v ja a ovat kaikki vektorimääriä, joten osoittamalla selkeä positiivinen suunta on helpompaa seurata merkkejä.)
Kirjoita luettelo tunnetuista määristä. (Varo, että joskus tunnetut eivät ole ilmeisiä. Etsi lauseita, kuten "alkaa levosta", mikä tarkoittaa sitä vi = 0 tai "osuu maahan", mikä tarkoittaa sitä xf = 0 ja niin edelleen.)
Määritä, minkä määrän kysymys haluaa sinun löytävän. Mikä on tuntematon, jonka aiot ratkaista?
Valitse sopiva kinemaattinen yhtälö. Tämä on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman määrän yhdessä tunnettujen määrien kanssa.
Ratkaise tuntemattoman määrän yhtälö, kytke sitten tunnetut arvot ja laske lopullinen vastaus. (Ole varovainen yksiköiden suhteen! Joskus joudut muuntamaan yksiköt ennen laskemista.)
Yksiulotteinen kinematiikkaesimerkki
Esimerkki 1: Mainoksessa väitetään, että urheiluauto voi nousta nopeudesta 60 km / h 2,7 sekunnissa. Mikä on tämän auton kiihtyvyys m / s2? Kuinka pitkälle se matkustaa näiden 2,7 sekunnin aikana?
Ratkaisu:
(Lisää kuva 2)
Tunnetut ja tuntemattomat määrät:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Kysymyksen ensimmäinen osa edellyttää ratkaisua tuntemattomaan kiihtyvyyteen. Tässä voimme käyttää yhtälöä # 1:
v_f = v_i + at \ viittaa a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Ennen kuin yhdistämme numeroita, meidän on kuitenkin muunnettava 60 mph m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Kiihtyvyys on siis:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ alleviiva {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Löydämme kuinka pitkälle se menee tuona aikana, voimme käyttää yhtälöä # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 kohdassa ^ 2 = \ frac 1 2 \ kertaa 9,93 kertaa 2,7 ^ 2 = \ alleviivattu {\ lihavoitu {36.2} \ teksti {m}}
Esimerkki 2: Pallo heitetään ylös nopeudella 15 m / s 1,5 metrin korkeudesta. Kuinka nopeasti se menee, kun se osuu maahan? Kuinka kauan kestää päästä maahan?
Ratkaisu:
(Lisää kuva 3)
Tunnetut ja tuntemattomat määrät:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Ensimmäisen osan ratkaisemiseksi voimme käyttää yhtälöä # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ tarkoittaa v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Kaikki on jo yhtenäisissä yksiköissä, joten voimme liittää arvoja:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ noin \ pm16 \ text {m / s}
Tässä on kaksi ratkaisua. Mikä on oikein? Kaaviosta voimme nähdä, että lopullisen nopeuden tulisi olla negatiivinen. Joten vastaus on:
v_f = \ alleviiva {\ lihavoitu {-16} \ text {m / s}}
Ajan ratkaisemiseksi voimme käyttää joko yhtälöä # 1 tai yhtälöä # 2. Koska yhtälö # 1 on yksinkertaisempi työskennellä, käytämme sitä:
v_f = v_i + at \ merkitsee t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ alleviivattu {\ bold {3.2} \ text {s }}
Huomaa, että vastaus kysymyksen ensimmäiseen osaan ei ollut 0 m / s. Vaikka onkin totta, että pallon laskeutumisen jälkeen sen nopeus on 0, tämä kysymys haluaa tietää, kuinka nopeasti se menee siinä sekunnin erässä ennen törmäystä. Kun pallo on kosketuksissa maahan, kinemaattiset yhtälömme eivät enää ole voimassa, koska kiihtyvyys ei ole vakio.
Kinemaattiset yhtälöt ammuksen liikkeelle (kaksi ulottuvuutta)
Ammus on esine, joka liikkuu kahdessa ulottuvuudessa maan painovoiman vaikutuksesta. Sen polku on paraboli, koska ainoa kiihtyvyys johtuu painovoimasta. Ammuksen liikkeen kinemaattiset yhtälöt ovat hieman erilaisessa muodossa kuin yllä luetellut kinemaattiset yhtälöt. Käytämme sitä, että liikekomponentit, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, kuten vaaka x suuntaan ja pystysuoraan y suuntaan - ovat riippumattomia.
Ammuksen liikkeen kinematiikkaongelmien ongelmanratkaisustrategia:
Piirrä kaavio tilanteesta. Aivan kuten yksiulotteisessa liikkeessä, on hyödyllistä piirtää skenaario ja osoittaa koordinaattijärjestelmä. Tarrojen käyttämisen sijaan x, v ja a sijainnin, nopeuden ja kiihtyvyyden kannalta tarvitaan tapa merkitä liike kussakin ulottuvuudessa erikseen.
Vaakasuuntaan on yleisimmin käytetty x sijainnin ja vx nopeuden x-komponentille (huomaa, että kiihtyvyys on 0 tässä suunnassa, joten emme tarvitse muuttujaa siihen.) y suuntaan, se on yleisin käyttää y sijainnin ja vy nopeuden y-komponentille. Kiihtyvyys voidaan joko merkitä ay tai voimme käyttää sitä tosiasiaa, että tiedämme painovoimasta johtuvan kiihtyvyyden g negatiivisessa y-suunnassa ja käytä vain sitä.
Kirjoita luettelo tunnetuista ja tuntemattomista määristä jakamalla ongelma kahteen osaan: pysty- ja vaakasuuntainen liike. Käytä trigonometriaa löytääksesi vektori- suureiden x- ja y-komponentit, jotka eivät sijaitse akselia pitkin. Voi olla hyödyllistä luetella tämä kahteen sarakkeeseen:
(lisää taulukko 1)
Huomaa: Jos nopeus ilmoitetaan suuruutena yhdessä kulman kanssa, Ѳ, käytä vaakatason yläpuolella vektorihajotusta, vx= vcos (Ѳ) ja vy= vsin (Ѳ).
Voimme tarkastella kolmea aikaisempaa kinemaattista yhtälöä ja mukauttaa ne vastaavasti x- ja y-suuntiin.
X-suunta:
x_f = x_i + v_xt
Y-suunta:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Huomaa, että kiihtyvyys y suunta on -g, jos oletamme, että ylöspäin on positiivinen. Yleinen väärinkäsitys on, että g = -9,8 m / s2, mutta tämä on väärin; g itsessään on vain kiihtyvyyden suuruus: g = 9,8 m / s2, joten meidän on määritettävä, että kiihtyvyys on negatiivinen.
Ratkaise yksi tuntematon yhdessä näistä ulottuvuuksista ja kytke sitten molempiin suuntiin yhteinen. Vaikka liike kahdessa ulottuvuudessa on riippumaton, se tapahtuu samalla asteikkona, joten aikamuuttuja on sama molemmissa ulottuvuuksissa. (Aika, jonka pallo kuluu pystysuuntaisen liikkeen saamiseen, on sama kuin aika, joka kuluu sen vaakasuoraan liikkeeseen.)
Esimerkkejä ammuksen liikkeen kinematiikasta
Esimerkki 1: Ammus laukaistaan vaakatasossa 20 m korkeudelta kalliosta alkunopeudella 50 m / s. Kuinka kauan kestää päästä maahan? Kuinka kaukana kallion juuresta se laskeutuu?
(lisää kuva 4)
Tunnetut ja tuntemattomat määrät:
(lisää taulukko 2)
Voimme löytää maan lyömiseen kuluvan ajan käyttämällä toista pystysuuntaista liikeyhtälöä:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ merkitsee t = \ sqrt {\ frac {(2 \ kertaa 20)} g} = \ alleviivattu {\ lihavoitu {2.02} \ teksti {s} }
Sitten löytääksesi missä se laskeutuu, xf, voimme käyttää vaakasuuntaista liikeyhtälöä:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ kertaa2,02 = \ alleviivattu {\ lihavoitu {101} \ teksti {s}}
Esimerkki 2: Pallo laukaistaan nopeudella 100 m / s maanpinnasta 30 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Mihin se laskeutuu? Milloin sen nopeus on pienin? Mikä on sen sijainti tällä hetkellä?
(lisää kuva 5)
Tunnetut ja tuntemattomat määrät:
Ensin meidän on jaettava nopeusvektori komponentteihin:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ noin 86,6 \ teksti {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ tekstiviesti {m / s}
Mittataulukko on silloin:
(lisää taulukko 3)
Ensin on löydettävä aika, jonka pallo on lennossa. Voimme tehdä tämän toisella pystysuoralla yhtälöllä_. Huomaa, että käytämme parabolin symmetriaa määritettäessä, että lopullinen _y nopeus on negatiivinen alkuperäisestä:
Sitten määritetään, kuinka pitkälle se liikkuu x suunta tällä kertaa:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ kertaa 10,2 \ noin \ alleviivattu {\ lihavoitu {883} \ teksti m}
Parabolisen reitin symmetrian avulla voimme määrittää, että nopeus on pienin 5,1 s, kun ammuksen liike on huipussaan ja nopeuden pystysuora komponentti on 0. Sen liikkeen x- ja y-komponentit ovat tällä hetkellä:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ kertaa 5,1 \ noin \ alleviivattu {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ kertaa \ frac 1 2 9,8 \ kertaa 5,1 ^ 2 \ noin \ alleviivaa {\ bold {128} \ text {m}}
Kinemaattisten yhtälöiden johtaminen
Yhtälö # 1: Jos kiihtyvyys on vakio, toimi seuraavasti:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Nopeuden ratkaisemiseksi meillä on:
v_f = v_i + klo
Yhtälö # 2: Keskimääräinen nopeus voidaan kirjoittaa kahdella tavalla:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Jos korvataan _vf _yhtälön # 1 lausekkeella saadaan:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Ratkaisu xf antaa:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 kohdassa ^ 2
Yhtälö # 3: Aloita ratkaisemalla t yhtälössä # 1
v_f = v_i + at \ merkitsee t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Liitä tämä lauseke verkkotunnukseen t keskimääräisessä nopeussuhteessa:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ merkitsee \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Tämän lausekkeen järjestäminen uudelleen antaa:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)