Euklidinen etäisyys on kahden euklidisen avaruuden pisteen välinen etäisyys. Euklidisen avaruuden suunnitteli alun perin kreikkalainen matemaatikko Euclid noin 300 eaa. tutkia kulmien ja etäisyyksien välisiä suhteita. Tätä geometriajärjestelmää käytetään edelleen nykyään, ja lukiolaiset opiskelevat sitä useimmiten. Euklidinen geometria koskee erityisesti kahden ja kolmiulotteisia tiloja. Se voidaan kuitenkin helposti yleistää korkeamman asteen mittoihin.
Laske euklidinen etäisyys yhdelle ulottuvuudelle. Yhden ulottuvuuden kahden pisteen välinen etäisyys on yksinkertaisesti niiden koordinaattien välisen eron absoluuttinen arvo. Matemaattisesti tämä esitetään muodossa | p1 - q1 | missä p1 on ensimmäisen pisteen ensimmäinen koordinaatti ja q1 on toisen pisteen ensimmäinen koordinaatti. Käytämme tämän eron absoluuttista arvoa, koska etäisyyden katsotaan yleensä olevan vain ei-negatiivinen.
Ota kaksi pistettä P ja Q kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Kuvailemme P koordinaateilla (p1, p2) ja Q koordinaateilla (q1, q2). Rakenna nyt viivasegmentti P: n ja Q: n päätepisteillä. Tämä viivasegmentti muodostaa suorakulmion hypotenuusin. Laajentamalla vaiheessa 1 saatuja tuloksia, huomataan, että tämän kolmion jalkojen pituudet annetaan | p1 - q1 | ja | p2 - q2 |. Kahden pisteen välinen etäisyys ilmoitetaan sitten hypotenuusin pituudena.
Määritä hypotenuusin pituus Pythagoraan lauseella vaiheessa 2. Tämän lauseen mukaan c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, jossa c on suorakulmion hypotenuusin pituus ja a, b ovat kahden muun jalan pituudet. Tämä antaa meille c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Kahden pisteen P = (p1, p2) ja Q = (q1, q2) välinen etäisyys kaksiulotteisessa tilassa on siten ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Laajenna vaiheen 3 tulokset kolmiulotteiseen tilaan. Pisteiden P = (p1, p2, p3) ja Q = (q1, q2, q3) välinen etäisyys voidaan sitten antaa muodossa ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Yleistä vaiheen 4 ratkaisu kahden pisteen P = (p1, p2,..., pn) ja Q = (q1, q2,..., qn) väliselle etäisyydelle n mitassa. Tämä yleinen ratkaisu voidaan antaa muodossa ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).