Mõnikord on "eksponentsiaalne kasv" lihtsalt kõnekujund, viide kõigele, mis kasvab põhjendamatult või uskumatult kiiresti. Kuid teatud juhtudel võite eksponentsiaalse kasvu ideed võtta sõna otseses mõttes. Näiteks võib küülikute populatsioon eksponentsiaalselt kasvada, kui iga põlvkond vohab, seejärel kasvab nende järglane jne. Ettevõtte või isiklik sissetulek võib samuti hüppeliselt kasvada. Kui teil palutakse teha eksponentsiaalse kasvu kohta reaalmaailma arvutusi, töötate kolme teabega: algväärtus, kasvukiirus (või lagunemise kiirus) ja aeg.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Eksponentsiaalse kasvu arvutamiseks kasutage valemit y(t) = a__ekt, kus a on väärtus alguses, k on kasvu või lagunemise kiirus, t on aeg ja y(t) on elanikkonna väärtus ajahetkel t.
Kujutage ette, et teadlane uurib uue bakteriliigi kasvu. Kuigi ta võis populatsiooni kasvu kalkulaatorisse sisestada algkoguse, kasvukiiruse ja aja väärtused, otsustas ta bakteripopulatsiooni kasvukiiruse arvutada käsitsi.
Vaadates tagasi oma täpsetele andmetele, näeb teadlane, et tema algpopulatsioon oli 50 bakterit. Viis tundi hiljem mõõtis ta 550 bakterit.
Lisades teadlase teabe eksponentsiaalse kasvu või lagunemise võrrandisse, y(t) = a__ekt, tal on:
550 = 50_ek_5
Ainus võrrandist on jäänud tundmatu kehk eksponentsiaalse kasvu määr.
Alustamiseks k, jagage kõigepealt võrrandi mõlemad pooled 50-ga. See annab teile:
550/50 = (50_ek_5) / 50, mis lihtsustab järgmist:
11 = e_k_5
Järgmisena võtke mõlema poole loomulik logaritm, mis on tähistatud kui ln (x). See annab teile:
ln (11) = ln (e_k_5)
Looduslik logaritm on pöördfunktsioon ex, nii et see tõhusalt "lahti" ex funktsioon võrrandi paremal küljel, jättes teile:
ln (11) = _k_5
Järgmisena jagage mõlemad pooled 5-ga, et eraldada muutuja, mis annab teile:
k = ln (11) / 5
Nüüd teate selle bakteripopulatsiooni eksponentsiaalse kasvu määra: k = ln (11) / 5. Kui kavatsete selle populatsiooniga täiendavaid arvutusi teha - näiteks ühendada kasvukiirus võrrandisse ja hinnata populatsiooni suurust t = 10 tundi - vastus on parem jätta sellesse vormi. Kuid kui te ei tee täiendavaid arvutusi, võite selle väärtuse sisestada eksponentsiaalfunktsiooni kalkulaatorisse - või oma teaduskalkulaatorisse -, et saada hinnanguline väärtus 0,479579. Sõltuvalt katse täpsetest parameetritest võite arvutamise või märkimise hõlbustamiseks ümardada selle väärtuseni 0,48 tunnis.
Näpunäited
Kui teie kasvukiirus peaks olema väiksem kui 1, annab see teada, et elanikkond väheneb. Seda nimetatakse lagunemiskiiruseks või eksponentsiaalse lagunemise kiiruseks.