Maxwelli võrrandid: definitsioon, tuletis, kuidas meelde jätta (koos näidetega)

Elektromagnetismi saladuste lahendamine on seni olnud füüsika üks suurimaid saavutusi ja saadud õppetunnid on täielikult kapseldatud Maxwelli võrranditesse.

James Clerk Maxwell annab oma nime neile neljale elegantsele võrrandile, kuid need on paljude füüsikute aastakümnete pikkuse töö kulminatsioon, sealhulgas Michael Faraday, Andre-Marie Ampere ja Carl Friedrich Gauss - kes annavad oma nime kolmele neljast võrrandist - ja paljud teised. Kui Maxwell ise lisas termini ainult ühele neljast võrrandist, oli tal ettenägelikkus ja mõistmine koguda parimad teemal tehtud töödest ja esitada neid moel, mida siiani kasutab füüsikud täna.

Paljude aastate jooksul uskusid füüsikud, et elekter ja magnetism on eraldi jõud ja erinevad nähtused. Kuid Faraday-suguste inimeste eksperimentaalse töö kaudu sai järjest selgemaks, et nad olid tegelikult sama nähtus ja Maxwelli võrrandid esitavad selle ühtse pildi, mis kehtib tänapäevalgi sama kehtivalt kui 19. sajandil sajandil. Kui kavatsete õppida füüsikat kõrgematel tasemetel, peate tingimata teadma Maxwelli võrrandeid ja nende kasutamist.

instagram story viewer

Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrrandid on järgmised, nii diferentsiaalsel kui integraalsel kujul. (Pange tähele, et kuigi diferentsiaalvõrrandite tundmine on siin abiks, on kontseptuaalne arusaamine võimalik ka ilma selleta.)

Gaussi elektriseadus

Diferentsiaalvorm:

\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}

Integreeritud vorm:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}

Ei mingit monopoolset seadust / Gaussi seadust magnetismiks

Diferentsiaalvorm:

\ bm {∇ ∙ B} = 0

Integreeritud vorm:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0

Faraday induktsiooniseadus

Diferentsiaalvorm:

\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}

Integreeritud vorm:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}

Ampere-Maxwelli seadus / Ampere'i seadus

Diferentsiaalvorm:

\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}

Integreeritud vorm:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }

Maxwelli võrrandites kasutatud sümbolid

Maxwelli võrrandid kasutavad üsna suurt valikut sümboleid ja kui õpite neid rakendama, on oluline mõista, mida need tähendavad. Nii et siin on kasutatud sümbolite tähenduste kokkuvõte:

B= magnetväli

E= elektriväli

ρ= elektrilaengu tihedus

ε0= vaba ruumi läbilaskvus = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2

q= kogu elektrilaeng (positiivsete ja negatiivsete laengute netosumma)

𝜙B = magnetvoog

J= voolutihedus

Mina= elektrivool

c= valguse kiirus = 2,998 × 108 Prl

μ0 = vaba ruumi läbilaskvus = 4π × 10−7 Puudub2

Lisaks on oluline teada, et ∇ on del-operaator, punkt kahe suuruse vahel (X​ ∙ ​Y) näitab skalaarkorrutist, rasvase paksusega korrutamise sümbol kahe suuruse vahel on vektorprodukt (X​ × ​Y), et punktiga del-operaatorit nimetatakse “divergentsiks” (nt ∇ ∙X= lahknemineX= divX) ja skalaarkorrutisega del-operaatorit nimetatakse lokiks (nt ∇×​ ​Y= lokkY= lokkY). LõpuksAaastal dAtähendab suletud pinna pindala, mille kohta arvutate (mõnikord kirjutatakse kui dS), jasaastal dson väga väike osa avatud pinna piirist, mille jaoks arvutate (kuigi see on mõnikord dl, viidates lõpmatult väikesele joonekomponendile).

Võrrandite tuletamine

Maxwelli võrrandite esimene võrrand on Gaussi seadus ja see ütleb, et elektriline netovoog läbi a suletud pind on võrdne kuju sees oleva kogu laenguga, jagatuna vaba läbilaskvusega ruumi. Selle seaduse võib tuletada Coulombi seadusest pärast seda, kui on astutud oluline samm Coulombi seaduse väljendamiseks elektrivälja ja selle mõju testlaengule.

Teine Maxwelli võrranditest on põhimõtteliselt samaväärne väitega, et "magnetilisi monopole pole olemas". Selles öeldakse et suletud pinna läbiv netomagnetvoog on alati 0, sest magnetväljad on alati a tulem dipool. Seaduse võib tuletada Biot-Savarti seadusest, mis kirjeldab praeguse elemendi tekitatud magnetvälja.

Kolmas võrrand - Faraday induktsiooniseadus - kirjeldab, kuidas muutuv magnetväli tekitab traadi või juhi silmus pinget. See oli algselt saadud katsest. Arvestades tulemust, et muutuv magnetvoo indutseerib elektromotoorjõu (EMF või pinge) ja seeläbi elektrivoolu traadi silmus ja asjaolu, et EMF on määratletud vooluahela ümber oleva elektrivälja joone integraalina, on seadust lihtne panna koos.

Neljas ja viimane võrrand, Ampere'i seadus (või Ampere-Maxwelli seadus, mis annab talle au panus) kirjeldab, kuidas magnetväli tekib liikuva laengu või muutuva elektriga valdkonnas. Seadus on katse tulemus (ja nii - nagu kõik Maxwelli võrrandid - ei olnud tegelikult "tuletatud" traditsioonilises mõttes), vaid kasutadesStokesi teoreemon oluline samm põhitulemuse viimiseks tänapäeval kasutatavasse vormi.

Maxwelli võrrandite näited: Gaussi seadus

Kui aus olla, eriti kui te pole täpselt oma vektorarvutusega kursis, näevad Maxwelli võrrandid üsna hirmutavad, hoolimata sellest, kui suhteliselt kompaktsed nad kõik on. Parim viis neist tõeliselt aru saada on läbi viia mõned näited nende praktilisest kasutamisest ja alustamiseks on parim Gaussi seadus. Gaussi seadus on sisuliselt fundamentaalsem võrrand, mis täidab Coulombi seaduse ülesannet, ja seda Coulombi seaduse tuletamine sellest on üsna lihtne, arvestades punkti tekitatavat elektrivälja tasuta.

Maksule helistamineq, on Gaussi seaduse rakendamise põhipunktiks õige "pinna" valimine läbiva elektrivoo uurimiseks. Sellisel juhul töötab hästi kera, mille pindala onA​ = 4π​r2, sest sfääri saab koondada punktlaengule. Selliste probleemide lahendamisel on see suur eelis, sest siis ei pea te kogu pinnale integreerima erinevat ala; väli on punktlaengu ümber sümmeetriline ja seega kogu sfääri pinnal ühtlane. Nii et lahutamatu vorm:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}

Võib väljendada järgmiselt:

E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}

Pange tähele, etEsest elektriväli on asendatud lihtsa suurusega, sest punktlaengust pärinev väli levib allikast lihtsalt võrdselt igas suunas. Nüüd jagades sfääri pindalaga:

E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Kuna jõud on elektriväljaga seotudE​ = ​F​/​q, kusqon testlaeng,F​ = ​qE, ja nii:

F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Kui kahe tasu eristamiseks on lisatud tellimused. See on standardkujul öeldud Coulombi seadus, mis on osutunud Gaussi seaduse lihtsaks tagajärjeks.

Maxwelli võrrandite näited: Faraday seadus

Faraday seadus võimaldab teil arvutada elektromotoorjõudu traadisilmus, mis tuleneb muutuvast magnetväljast. Lihtne näide on raadiusega traadi silmusr= 20 cm, magnetväljas, mille suurus suureneb alatesBi = 1 T kuniBf = 10 T ruumis ∆t= 5 s - milline on indutseeritud EMF antud juhul? Seaduse lahutamatu vorm hõlmab voogu:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}

mis on määratletud kui:

ϕ = BA \ cos (θ)

Siin on probleemi põhiosa voo muutumiskiiruse leidmine, kuid kuna probleem on üsna sirgjooneline, võite osalise tuletise asendada iga koguse lihtsa “muutumisega”. Ja integraal tähendab tegelikult lihtsalt elektromotoorset jõudu, nii et saate Faraday induktsiooniseaduse ümber kirjutada järgmiselt:

\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}

Kui eeldame, et traadi silmuse normaalne suund on magnetväljaga joondatud,θ= 0 ° ja nii cos (θ) = 1. See jätab:

\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}

Seejärel saab probleemi lahendada, leides erinevuse alg- ja lõpliku magnetvälja ning aasa pinna vahel järgmiselt:

\ begin {joondatud} text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {joondatud}

See on ainult väike pinge, kuid Faraday seadust kohaldatakse sõltumata samamoodi.

Maxwelli võrrandite näited: Ampere-Maxwelli seadus

Ampere-Maxwelli seadus on viimane Maxwelli võrrand, mida peate regulaarselt rakendama. Võrrand pöördub Ampere seaduse juurde muutuva elektrivälja puudumisel, seega on see kõige lihtsam näide. Selle abil saate tuletada voolu kandvast sirgest traadist tuleneva magnetvälja võrranditMina, ja see põhinäide on piisav, et näidata, kuidas võrrandit kasutatakse. Täielik seadus on:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }

Kuid muutumatu elektrivälja korral väheneb see järgmiselt:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I

Nüüd, nagu ka Gaussi seaduse puhul, kui valite pinna jaoks ringjoone, mille keskpunktiks on traadi silmus, soovitab intuitsioon, et saadud magnetväli on sümmeetriline ja nii saate integraali asendada silmuse ümbermõõdu ja magnetvälja tugevuse lihtsa korrutisega, lahkumine:

B × 2πr = μ_0 I

Jagades läbi 2πrannab:

B = \ frac {μ_0 I} {2πr}

Mis on kauguse magnetvälja aktsepteeritud väljendrmis tuleneb voolu kandvast sirgest traadist.

Elektromagnetlained

Kui Maxwell oma võrrandikomplekti kokku pani, hakkas ta neile lahendusi leidma, mis aitaksid erinevaid selgitada nähtused reaalses maailmas ja selle valguses antud ülevaade on tema üks olulisemaid tulemusi saadud.

Kuna muutuv elektriväli tekitab magnetvälja (Ampere'i seaduse järgi) ja muutuv magnetväli elektrivälja (Faraday seaduse järgi) töötas Maxwell välja, et iseleviiv elektromagnetlaine võib olla võimalik. Ta kasutas oma võrrandeid, et leida laine võrrand, mis kirjeldaks sellist lainet, ja tegi kindlaks, et see liigub valguskiirusel. See oli omamoodi “eureka” hetk; ta mõistis, et valgus on elektromagnetilise kiirguse vorm, mis töötab täpselt nagu tema välja kujutatud väli!

Elektromagnetlaine koosneb elektrivälja lainest ja edasi-tagasi võnkuvast magnetvälja lainest, mis on joondatud üksteise suhtes täisnurga all. Laine elektrilise osa võnkumine tekitab magnetvälja ja selle osa võnkumine tekitab ruumis liikudes omakorda uuesti ja edasi elektrivälja.

Nagu igal muul lainel, on ka elektromagnetlainel sagedus ja lainepikkus ning nende korrutis on alati võrdnec, valguse kiirus. Elektromagnetlained on meie ümber ja lisaks nähtavale valgusele nimetatakse muid lainepikkusi tavaliselt raadiolaineteks, mikrolaineahjudeks, infrapuna-, ultraviolett-, röntgen- ja gammakiirteks. Kõigil neil elektromagnetkiirguse vormidel on sama põhivorm, nagu seda on selgitatud Maxwelli võrranditega, kuid nende energiad varieeruvad sõltuvalt sagedusest (st kõrgem sagedus tähendab suuremat energiat).

Nii et füüsiku jaoks oli Maxwell see, kes ütles: "Saagu valgus!"

Teachs.ru
  • Jaga
instagram viewer