Kas see on uisutaja, kes tõmbab sülle ja pöörleb kiiremini, kui ta seda teeb, või kass, kes kontrollib, kui kiiresti see pöörleb kukkumise ajal, et tagada jalgadele maandumine, on inertsimomendi mõte pöörlemisfüüsika jaoks ülioluline liikumine.
Vastasel korral nimetatakse seda kui pöörlemist, inertsimoment on massi pöörlemisanaloog teine Newtoni liikumisseadustest, kirjeldades objekti kalduvust nurkkiirendusele vastu panna.
Mõiste ei pruugi esialgu tunduda liiga huvitav, kuid koos nurga säilimise seadusega hoogu, seda saab kasutada paljude põnevate füüsikaliste nähtuste kirjeldamiseks ja liikumise ennustamiseks laias vahemikus olukordades.
Inertsimomendi määratlus
Objekti inertsimoment kirjeldab selle vastupidavust nurkkiirendusele, võttes arvesse massi jaotumist ümber pöörlemistelje.
Sisuliselt kvantifitseerib see, kui keeruline on objekti pöörlemiskiirust muuta, olgu see siis selle pööramise alustamine, peatamine või juba pöörleva objekti kiiruse muutmine.
Mõnikord nimetatakse seda rotatsiooniinertsiks ja on kasulik mõelda sellele kui massi analoogile Newtoni teises seaduses:
Fvõrk = ma. Siin nimetatakse objekti massi sageli inertsimassiks ja see kirjeldab objekti vastupanu (lineaarsele) liikumisele. Pöördenerts töötab pöörleva liikumise puhul täpselt nii ja matemaatiline määratlus sisaldab alati massi.Pöördliikumise teise seadusega samaväärne väljend on seotudpöördemoment (τ, jõu pöörlemisanaloog) nurkkiirenduseleαja inertsimomentMina:
\ tau = ma \ alfa
Samal objektil võib olla mitu inertsimomenti, sest kuigi suur osa definitsioonist on seotud massi jaotusega, arvestab see ka pöörlemistelje asukohta.
Näiteks kui selle keskosa ümber pöörleva varda inertsimoment onMina = ML2/ 12 (kusMon mass jaLon varda pikkus), sama otsa ümber pöörleva varda inertsmoment on antudMina = ML2/3.
Inertsimomendi võrrandid
Nii et keha inertsimoment sõltub selle massistM, selle raadiusRja selle pöörlemistelg.
Mõningatel juhtudel,Rviidatakse kuid, pöörlemisteljest kauguse jaoks ja teistes (nagu eelmises lõigus oleva vardaga) asendatakse see pikkusega,L. SümbolMinakasutatakse inertsimomendiks ja selle ühikud on kg m2.
Nagu võite siiani õpitu põhjal arvata, on inertsimomendi jaoks palju erinevaid võrrandeid ja kumbki viitab konkreetsele kujule ja konkreetsele pöörlemisteljele. Kõigil inertsihetkedel on see terminHÄRRA2 ilmub, ehkki erinevate kujundite puhul on selle termini ees erinevad murdosad ja mõnel juhul võib kokku olla mitu terminit.
TheHÄRRA2 komponent on inertsmoment punktmassi jaoks kauguselRpöörlemisteljest ja konkreetse jäiga keha võrrand on üles ehitatud punktide masside summana või integreerides objekti peale lõpmatu arv väikesi punktmasse.
Kuigi mõnel juhul võib olla kasulik tuletada objekti inertsimoment punktmasside lihtsa aritmeetilise summa põhjal või integreerides on praktikas tavaliste kujundite ja pöörlemistelgede jaoks palju tulemusi, mida saate lihtsalt kasutada, ilma et peaksite seda tuletama esimene:
Tahke silinder (sümmeetriatelg):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Tahke silinder (tsentraalse läbimõõduga telg või ümmarguse ristlõike läbimõõt silindri keskel):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Tahke kera (kesktelg):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Õhuke sfääriline kest (kesktelg):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoop (sümmeetriatelg, st risti läbi keskosa):
I = MR ^ 2
Hoop (läbimõõduline telg, st kogu rõnga läbimõõdust, mille moodustab rõngas)
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Varras (kesktelg, varda pikkusega risti):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Varras (pöörleb ümber otsa):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Pöördeinerts ja pöörlemistelg
Mõistmine, miks on iga pöörlemistelje jaoks erinevad võrrandid, on oluline samm inertsimomendi mõiste mõistmiseks.
Mõelge pliiatsile: saate seda pöörata, keerates seda keskelt ümber, otsa või keerates selle kesktelje ümber. Kuna objekti pöördenerts sõltub massi jaotusest pöörlemistelje ümber, on kõik need olukorrad erinevad ja selle kirjeldamiseks on vaja eraldi võrrandit.
Inktiivse arusaama inertsimomendi mõistest saate, kui laiendate selle sama argumendi kuni 30-jala lipumasti.
Selle otsast lõpuni keerutamine oleks väga keeruline - kui sa sellega üldse hakkama saaksid -, samas kui varda kesktelje ümber keerutamine oleks palju lihtsam. Seda seetõttu, et pöördemoment sõltub tugevalt kaugusest pöörlemisteljest ja 30 jala ulatuses lipuvarda näide: selle otsa otsa keerutamine hõlmab iga äärmist otsa 15 jala kaugusel teljest pöörlemine.
Kui aga keerutate selle ümber kesktelje, on kõik teljele üsna lähedal. Olukord sarnaneb raske eseme kandmisega käeulatuses vs. hoides seda oma keha lähedal või hoova abil otsa otsast vs. tugipunkti lähedal.
Seetõttu vajate sama objekti inertsimomendi kirjeldamiseks erinevat võrrandit sõltuvalt pöörlemisteljest. Teie valitud telg mõjutab kehaosade kaugust pöörlemisteljest, kuigi keha mass jääb samaks.
Inertsimomendi võrrandite kasutamine
Jäiga keha inertsimomendi arvutamise võti on vastavate võrrandite kasutamise õppimine ja rakendamine.
Mõelgem eelmise lõigu pliiatsile, mis on kogu pikkuses keskpunkti ümber keerutatud. Kuigi see pole atäiuslikvarras (näiteks terav ots murrab selle kuju), seda saab modelleerida sellisena, et säästa teid objekti täieliku inertsi tuletamise hetkest.
Nii et modelleerides objekti vardana, kasutaksite inertsimomendi leidmiseks järgmist võrrandit koos pliiatsi kogumassi ja pikkusega:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Suurem väljakutse on komposiitobjektide inertsimomendi leidmine.
Mõelgem näiteks kahele vardaga ühendatud pallile (mida probleemi lihtsustamiseks käsitleme massituna). Esimene kuul on 2 kg ja paikneb pöörlemisteljest 2 m kaugusel ning teine pall on 5 kg massiga ja 3 m kaugusel pöörlemisteljest.
Sellisel juhul saate selle komposiitobjekti inertsimomendi leida, pidades iga palli punktmassiks ja töötades lähtudes põhidefinitsioonist, mis:
\ begin {joondatud} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ summa _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {joondatud}
Kui tellijad eristavad lihtsalt erinevaid objekte (st pall 1 ja pall 2). Kahe palliga objektil oleks siis:
\ begin {joondatud} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ lõpp {joondatud}
Inertsimoment ja nurgamomendi säilitamine
Nurga impulss (lineaarse impulsi pöörlemisanaloog) on määratletud kui pöördeinertsi (st inertsimomendi,Mina) ja selle nurkkiirusω), mida mõõdetakse kraadides / s või rad / s.
Lineaarse impulssi jäävuse seadus on teile kahtlemata tuttav ja ka nurga impulss on samamoodi konserveeritud. Nurkmomendi võrrandL) on:
L = Iω
Mõeldes sellele, mida see praktikas tähendab, seletatakse paljusid füüsikalisi nähtusi, sest (muude jõudude puudumisel) on objekti nurkkiirus seda väiksem, mida suurem on objekti pööramisinerts.
Mõelgem uisutajale, kes pöörleb püsiva nurkkiirusega välja sirutatud kätega ja pange tähele, et tema sirutatud käed suurendavad raadiustRmille kohta tema mass on jaotunud, mis toob kaasa suurema inertsimomendi kui siis, kui tema käed oleksid keha lähedal.
KuiL1 arvutatakse välja sirutatud kätega jaL2peab pärast käte sissetõmbamist olema sama väärtusega (kuna nurkimpulss on konserveeritud), mis juhtub, kui ta vähendab oma inertsimomenti sülle tõmmates? Tema nurkkiirusωkompenseerimiseks suureneb.
Kassid teevad sarnaseid liigutusi, et aidata neil kukkumisel jalgadele maanduda.
Sirutades jalgu ja saba, suurendavad nad oma inertsimomenti ja vähendavad pöörlemiskiirust, ja vastupidi, nad saavad oma jalgadesse tõmmata, et vähendada oma inertsimomenti ja suurendada pöörlemiskiirust. Nad kasutavad neid kahte strateegiat koos oma "paranemise refleksi" muude aspektidega, et tagada jalgade maandumine esiteks ja kassi aeglustatud fotodel näete keerutamise ja sirutamise erinevaid faase maandumine.
Inertsi ja pöörleva kineetilise energia hetk
Jätkates paralleele lineaarse liikumise ja pöördliikumise vahel, on objektidel ka pöörlemiskineetiline energia samamoodi nagu lineaarse kineetilise energiaga.
Mõelge üle maa veerevale pallile, mis pöörleb nii kesktelje ümber kui liigub edasi lineaarselt: Palli kogu kineetiline energia on selle lineaarse kineetilise energia summaEk ja selle pöörlemiskineetiline energiaEmädanema. Nende kahe energia paralleelid kajastuvad mõlema võrrandites, meenutades, et objekt on inertsimoment on massi pöörangu analoog ja selle nurkkiirus on lineaarse pöörde analoog kiirusv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Näete selgelt, et mõlemal võrrandil on täpselt sama kuju, kusjuures pöörlemiskineetilise energia võrrand on asendatud sobivate pöörlemisanaloogidega.
Muidugi peate pöörlemiskineetilise energia arvutamiseks asendama objekti inertsimomendi sobiva avaldise ruumiMina. Arvestades palli ja modelleerides objekti tahke kerana, on antud juhul võrrand järgmine:
\ begin {joondatud} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ lõpp {joondatud}
Kineetiline koguenergia (Etot) on selle ja palli kineetilise energia summa, nii et võite kirjutada:
\ begin {joondatud} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { joondatud}
1 kg kuuli puhul, mis liigub joonkiirusel 2 m / s, raadiusega 0,3 m ja nurkkiirusega 2π rad / s, oleks koguenergia järgmine:
\ begin {joondatud} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ tekst {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ tekst {J} \ end {joondatud}
Sõltuvalt olukorrast võib objektil olla ainult lineaarne kineetiline energia (näiteks kuulilt maha kukutatud pall) kõrgus, millele pole pöörlemist antud) või ainult pöörlemiskineetiline energia (pall pöörleb, kuid jääb paigale).
Pidage meeles, et onkokkuenergia, mis on konserveeritud. Kui palli põrutatakse vastu seina algse pöörlemiseta ja see põrkab tagasi väiksema kiirusega, kuid antud pöörlemisega, samuti energia kontakti tekkimisel heli ja soojuse jaoks kaduma läinud, on osa algsest kineetilisest energiast viidud pöörlemiskineetilisse energiasse ja niiei saavõib-olla liigub sama kiiresti kui enne tagasipõrget.