Geomeetrias on kaheksanurk kaheksa küljega hulknurk. Tavalisel kaheksanurgal on kaheksa võrdset külge ja võrdsed nurgad. Tavalist kaheksanurka tunneb tavaliselt ära peatusmärkide järgi. Oktaeeder on kahepoolne mitmetahuline. Tavalisel oktaeedril on kaheksa kolmnurka, mille servad on ühepikkused. See on tegelikult kaks kandilist püramiidi, mis kohtuvad nende baasides.
Kaheksanurkse piirkonna valem
Pikkade "a" külgedega korrapärase kaheksanurga pindala valem on 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, kus "sqrt" tähistab ruutjuurt.
Tuletus
Kaheksanurka saab vaadata nelja ristkülikuna, ühe ruudu keskel ja nelja võrdse kolmnurgaga nurkades.
Ruut on pindalaga a ^ 2.
Kolmnurkade küljed on Pythagorase teoreemi järgi a, a / sqrt (2) ja a / sqrt (2). Seetõttu on igaühe pindala ^ 2/4.
Ristkülikud on ala a * a / sqrt (2).
Nende 9 ala summa on 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Oktaeedri köite valem
Külgede "a" regulaarse oktaeedri mahu valem on ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Tuletus
Neljapoolse püramiidi pindala on aluse * kõrgus / 3 pindala. Tavalise kaheksanurga pindala on seega 2 * põhi * kõrgus / 3.
Alus = a ^ 2 triviaalselt.
Valige kaks kõrvuti asetsevat tippu, öelge "F" ja "C." "O" on keskmes. FOC on ristkülikukujuline täisnurkne kolmnurk, mille alus on "a", seega on OC ja OF pikkus Pythagorase teoreemi järgi a / sqrt (2). Nii et kõrgus = a / sqrt (2).
Seega on tavalise oktaeedri maht 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Pindala
Regulaarse oktaeedri pind on külje "a" ja 8 näo võrdkülgse kolmnurga pindala.
Püthagorase teoreemi kasutamiseks langetage tipp tipust alusele. Nii luuakse kaks täisnurkset kolmnurka, hüpotenuus pikkusega "a" ja ühe külje pikkus "a / 2". Seetõttu peab kolmas külg olema sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Seega on võrdkülgse kolmnurga pindala kõrgus * alus / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
8 küljega on tavalise oktaeedri pindala 2 * sqrt (3) * a ^ 2.