Trigonomeetria võib tunduda üsna abstraktse subjektina. Tundub, et sellised salapärased mõisted nagu „patt” ja „cos” ei vasta tegelikkuses millelegi ja neist kui mõistetest on raske aru saada. Ühikringel aitab selles oluliselt kaasa, pakkudes sirgjoonelist selgitust selle kohta, millised on arvud, mille saate nurga siinuse, koosinuse või puutuja võtmisel. Kõigi loodus- või matemaatikaõpilaste jaoks võib ühikuringi mõistmine tõestada teie arusaama trigonomeetriast ja funktsioonide kasutamisest.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Ühiku ringi raadius on üks. Kujutage ettexykoordinaatide süsteem, mis algab selle ringi keskelt. Punktnurki mõõdetakse sellest, kus onx= 1 jay= 0, ringi paremal küljel. Nurgad suurenevad, kui liigute vastupäeva.
Selle raamistiku kasutamine jayjaoksy-koordinaat jaxjaoksx- ringi punkti koordinaat:
pattθ = y
cosθ = x
Ja sellest tulenevalt:
tanθ = y / x
Mis on üksuse ring?
Ringjoone „ühik” raadius on 1. Teisisõnu, kaugus ringi keskmest serva mis tahes osani on alati 1. Mõõtühikul pole tegelikult tähtsust, sest ühikuringi juures on kõige olulisem see, et see muudab paljusid võrrandeid ja arvutusi palju lihtsamaks.
See on ka kasulik alus nurkade määratluste vaatamiseks. Kujutage ette, et ringi keskpunkt asub koordinaatsüsteemi keskpunktisx- horisontaalteljed ja ay- vertikaalselt liikuvad teljed. Ring ristubx-telje juuresx = 1, y= 0. Teadlased ja matemaatikud määratlevad nurga sellest punktist vastupäeva liikudes. Nii et punktx =1, y= 0 ringjoonel on 0 ° nurga all.
Patu ja cos määratlused ühikuringiga
Õpilastele antud tavalised patu, cos ja tan-määratlused on seotud kolmnurkadega. Nad ütlevad:
\ sin θ = \ frac {\ text {vastas}} {\ text {hüpotenuus}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ tekst {kõrvuti}} {\ tekst {hüpotenuus}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
“Vastand” tähistab nurga vastas oleva kolmnurga külje pikkust, “külgnev” tähistab nurga kõrval asuva külje pikkus ja "hüpotenuus" viitab diagonaalse külje pikkusele kolmnurk.
Kujutage ette kolmnurga loomist nii, et hüpotenuus oleks alati üksusringi raadius, kusjuures üks nurk on ringi servas ja teine keskel. See tähendab, et hüpotenuus = 1 ülaltoodud võrrandites, nii et esimesed kaks muutuvad:
\ sin θ = \ frac {\ text {vastas}} {1} = \ text {vastupidi} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {kõrval}} {1} = \ tekst {kõrval} \\
Kui teete kõnealuse nurga ringi keskele, on vastupidine lihtsalty-koordinaat ja külgnev on lihtsaltxkolmnurka puudutava ringi punkti koordinaat. Teisisõnu, patt tagastaby-koordinaat ühikuringil (kasutades keskelt algavaid koordinaate) antud nurga jaoks ja cos tagastabx-koordinaat. Sellepärast on cos (0) = 1 ja sin (0) = 0, sest sel hetkel on need koordinaadid. Samamoodi on cos (90) = 0 ja sin (90) = 1, sest see on punktx= 0 jay= 1. Võrrandi kujul:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negatiivseid nurki on ka selle põhjal lihtne mõista. Negatiivsetel nurkadel (mõõdetuna alguspunktist päripäeva) on samaxkoordinaat vastava positiivse nurgana, nii et:
\ cos -θ = \ cos θ
Siiskiy-koordinaatlülitid, mis tähendab seda
\ pat -θ = - \ patt θ
Tan määratlus ühikuringiga
Eespool antud tan määratlus on:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Kuid patu ja cos ühiku ringi määratluste abil näete, et see on samaväärne järgmisega:
\ tan θ = \ frac {\ text {vastas}} {\ text {kõrval}}
Või mõeldes koordinaatidena:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
See seletab, miks päevitamine pole määratletud 90 ° või -270 ° ja 270 ° või −90 ° (kusx= 0), sest nulliga ei saa jagada.
Trigonomeetriliste funktsioonide joonistamine
Patuse või cos joonistamine muutub lihtsamaks, kui mõelda ühikuringile. Thex-koordinaat varieerub sujuvalt ringi ümber liikudes, alustades 1-st ja langedes 180 ° juures minimaalselt –1-ni ja seejärel samal viisil kasvades. Patufunktsioon teeb sama asja, kuid enne sama mustri järgimist suureneb see 90 ° juures kõigepealt maksimaalse väärtuseni 1. Need kaks funktsiooni on omavahel faasist 90 ° väljaspool.
Pruunistaja joonistamine nõuab jagamistykõrvalxja seega on graafikute koostamine keerukam ning sellel on ka punkte, kus see pole määratletud.