Puutuja on üks kolmest trigonomeetrilisest põhifunktsioonist, ülejäänud kaks on siinus ja koosinus. Need funktsioonid on kolmnurkade uurimiseks hädavajalikud ja seovad kolmnurga nurki külgedega. Puutuja lihtsaim määratlus kasutab täisnurga kolmnurga külgede suhet ja tänapäevased meetodid väljendavad seda funktsiooni lõpmatu rea summana. Tangente saab arvutada otse, kui täisnurga kolmnurga külgede pikkused on teada ja neid saab tuletada ka teistest trigonomeetrilistest funktsioonidest.
Määrake ja sildistage täisnurga kolmnurga osad. Täisnurk on tipus C ja selle vastaspool on hüpotenuus h. Nurk θ on tipus A ja ülejäänud tipp on B. Nurga θ külgnev külg on külg b ja vastassuunaline nurk side on külg a. Kolmnurga kahte külge, mis pole hüpotenuus, nimetatakse kolmnurga jalgadeks.
Määratlege puutuja. Nurga puutuja on määratletud kui nurga vastas asuva külje pikkuse ja nurga külgneva külje pikkuse suhe. 1. etapis oleva kolmnurga puhul tan θ = a / b.
Määrake lihtsa täisnurga kolmnurga puutuja. Näiteks on võrdhaarse täisnurga kolmnurga jalad võrdsed, seega a / b = tan θ = 1. Nurgad on samuti võrdsed, nii et θ = 45 kraadi. Seetõttu päevitage 45 kraadi = 1.
Tuleta tangens teistest trigonomeetrilistest funktsioonidest. Kuna siinus θ = a / h ja koosinus θ = b / h, siis siinus θ / koosinus θ = (a / h) / (b / h) = a / b = tan θ. Seetõttu tan θ = siinus θ / koosinus θ.