Kui hakkate tegema trigonomeetriat ja arvutust, võite sattuda sellistesse väljenditesse nagu patt (2θ), kus teil palutakse leida väärtusθ. Kaardi ja kalkulaatori abil katse-eksituse meetodil vastuse leidmine võib ulatuda venivast õudusunenäost täiesti võimatuks. Õnneks on siin abiks topeltnurga identiteedid. Need on liitvalemina tuntud erijuhud, mis rikuvad vormide funktsioone (A + B) või (A – B) üles funktsioonid lihtsaltAjaB.
Topeltnurga identiteedid siinuse jaoks
Seal on kolm topeltnurga identsust, üks neist siinus-, koosinus- ja puutujafunktsioonide jaoks. Kuid siinus- ja koosinusidentiteete saab kirjutada mitmel viisil. Siin on kaks võimalust siinusfunktsiooni topeltnurga identiteedi kirjutamiseks:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Kosinuse topeltnurga identiteedid
Kosinuse topeltnurga identiteedi kirjutamiseks on veelgi rohkem võimalusi:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Tangendi topeltnurga identiteet
Halastavalt on tangensfunktsiooni jaoks topeltnurga identiteedi kirjutamiseks vaid üks viis:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Topeltnurga identiteetide kasutamine
Kujutage ette, et olete silmitsi täisnurga kolmnurgaga, kus teate selle külgede pikkust, kuid mitte nurkade suurust. Teil on palutud leidaθ, kusθon üks kolmnurga nurkadest. Kui kolmnurga hüpotenuus on 10 ühikut, on teie nurga külgnev külg 6 ühikut ja nurga vastas olev külg on 8 ühikut, pole tähtis, et te ei tea mõõtmistθ; saate vastuse leidmiseks kasutada oma teadmisi siinusest ja koosinusest koos ühe topeltnurga valemiga.
Kui olete nurga valinud, saate siinuse määratleda vastaskülje suhtena hüpotenuusi suhtes ja koosinus külgneva külje suhtena hüpotenuusi suhtes. Nii et äsja toodud näites on teil:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Need kaks avaldist leiate, kuna need on topeltnurga valemite kõige olulisemad ehituskivid.
Kuna valida on nii palju topeltnurga valemeid, saate valida selle, mida on lihtsam arvutada ja mis tagastab vajaliku teabe tüübi. Sel juhul sellepärast, et tunned pattuθja cosθjuba on selge, et kõige mugavam väljend on:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Sinθ ja cosθ väärtused on teile juba teada, seega asendage need võrrandiga:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Kui olete lihtsustanud, on teil:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Enamik trigonomeetrilisi diagramme on antud kümnendkohtadena, nii et järgmisena töötage murdosaga esindatud jagamine, et teisendada see kümnendkohaks. Nüüd on teil:
\ sin (2θ) = 0,96
Lõpuks leidke pöörd-siinus või arcsiin 0,96, mis on kirjutatud patuna −1(0.96). Või teisisõnu, kasutage oma kalkulaatorit või diagrammi nurga lähendamiseks, mille siinus on 0,96. Nagu selgub, võrdub see peaaegu täpselt 73,7 kraadiga. Niisiis 2θ= 73,7 kraadi.
Jagage võrrandi mõlemad pooled 2-ga. See annab teile:
θ = 36,85 \ tekst {kraadi}