Kuna Super Bowl on kohe-kohe käes, on kogu maailma sportlased ja fännid keskendunud kindlalt suurele mängule. Kuid _math_letes jaoks võib suur mäng meenutada väikest probleemi, mis on seotud jalgpallimängu võimalike skooridega. Kui teil on ainult piiratud võimalused punktide kogumiseks, mida saate koguda, ei jõua mõned üldsummad lihtsalt kätte, kuid mis on suurim? Kui soovite teada, mis seob münte, jalgpalli ja McDonald’s kana tükke, on see teie jaoks probleem.
Super Bowli matemaatika probleem
Probleem hõlmab võimalikke tulemusi, mille Los Angeles Rams või New England Patriots võiksid pühapäeval saavutada ilma ohutus või kahepunktiline teisendamine. Teisisõnu, lubatud skooride suurendamise viisid on 3-punktised väljakueesmärgid ja 7-punktilised puudutused. Niisiis, ilma turvavarustusteta ei saa mängus 3-se ja seitsmenda kombinatsiooniga 2 punkti skoori. Samamoodi ei saa te ka 4 ega 5.
Küsimus on: Mis on selle kõrgeim tulemus ei saa saavutada ainult 3-punktiste väljakueesmärkide ja 7-punktiliste tabamustega?
Muidugi on konversioonita maandumised väärt 6, kuid kuna selleni saab nagunii kahe väljakuväravaga, pole see probleemi jaoks oluline. Kuna me tegeleme siin matemaatikaga, ei pea te muretsema konkreetse meeskonna taktika ega isegi punktide kogumise võimaluste piirangute pärast.
Enne edasiliikumist proovige see ise lahendada!
Lahenduse leidmine (aeglane tee)
Sellel probleemil on mõned keerulised matemaatilised lahendused (üksikasjalikumat teavet leiate ressurssidest, kuid põhitulemus tutvustatakse allpool), kuid see on hea näide sellest, kuidas vaja vastuse leidmiseks.
Jõhkra jõu lahenduse leidmiseks peate lihtsalt proovima kõiki hindeid kordamööda. Nii et me teame, et te ei saa skoori 1 või 2, sest need on väiksemad kui 3. Oleme juba kindlaks teinud, et 4 ja 5 pole võimalikud, kuid 6 on kahe väljakueesmärgiga. Kas pärast 7 (mis on võimalik) saate 8? Ei. Kolm väljakuväravat annavad 9 ning väljak ja ümberarvestatud tabamus 10. Kuid te ei saa 11.
Sellest hetkest alates näitab väike töö, et:
\ begin {joondatud} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ lõpp {joondatud}
Ja tegelikult võite niimoodi edasi minna nii kaua kui soovite. Tundub, et vastus on 11. Aga kas on?
Algebraline lahendus
Matemaatikud nimetavad neid probleeme Frobeniuse mündiprobleemideks. Algne vorm, mis oli seotud müntidega, näiteks: kui teil oleks hinnatud ainult münte 4 senti ja 11 senti (mitte päris mündid, vaid jällegi, see on teie jaoks matemaatika probleem), mis on suurim rahasumma, mida te ei suutnud toota.
Algebra mõttes on lahendus see, et ühe skoori väärtus on lk punkti ja ühe punktisumma väärt q punktid, kõrgeim punktisumma, mida te ei saa (N) annab:
N = pq \; - \; (p + q)
Nii et Super Bowli probleemi väärtuste ühendamine annab:
\ algab {joondatud} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ lõpp {joondatud}
Mis on vastus, mille saime aeglaselt. Mis oleks siis, kui saaksite skoorida ainult tabamusi ilma konversioonita (6 punkti) ja ühe punkti teisendusi (7 punkti)? Enne lugemist vaadake, kas saate valemi selle väljatöötamiseks kasutada.
Sel juhul saab valemist järgmine:
\ algama {joondatud} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ lõpp {joondatud}
Kana McNuggeti probleem
Nii et mäng on läbi ja soovite võitnud meeskonda premeerida reisiga McDonald'sisse. Kuid McNuggetid müüvad nad ainult kastides 9 või 20. Mis on siis kõige rohkem tükke ei saa osta nende (aegunud) kastinumbritega? Enne lugemist proovige vastuse leidmiseks kasutada valemit.
Kuna
N = pq \; - \; (p + q)
Ja koos lk = 9 ja q = 20:
\ algab {joondatud} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ lõpp {joondatud}
Nii et tingimusel, et ostsite rohkem kui 151 tükki - võidumeeskond on lõppude lõpuks tõenäoliselt üsna näljane - võite osta mõne kastikombinatsiooniga suvalise hulga nugiseid.
Võib tekkida küsimus, miks oleme selle probleemi kohta käinud ainult kahenumbrilised versioonid. Mis oleks, kui lisaksime turvaseadmed või kui McDonalds müüks kolme suurusega tükikaste? Seal on pole selget valemit sel juhul ja kuigi enamiku selle versioonidest saab lahendada, on küsimuse mõned aspektid täiesti lahendamata.
Nii et võib-olla võite mängu vaadates või hammustades kana tükke süües väita, et proovite lahendada matemaatikas avatud probleemi - tasub proovida majapidamistöödest vabaneda!