Kinemaatilised võrrandid kirjeldavad pideva kiirendusega objekti liikumist. Need võrrandid seovad liikuva objekti aja, asukoha, kiiruse ja kiirenduse muutujad, võimaldades mõne muu muutuja lahendamiseks, kui teised on teada.
Allpool on kujutatud objekti, mis läbib pidevat kiirendusliikumist ühes dimensioonis. Muutuja t on aja järgi, positsioon on x, kiirus v ja kiirendus a. Tellimused i ja f tähistavad vastavalt "esialgne" ja "lõplik". Eeldatakse, et t = 0 kell xi ja vi.
(Sisesta pilt 1)
Kinemaatiliste võrrandite loend
Allpool on kolm peamist kinemaatilist võrrandit, mis kehtivad ühes dimensioonis töötades. Need võrrandid on:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Märkused kinemaatiliste võrrandite kohta
- Need võrrandid töötavad ainult pideva kiirendusega (mis võib püsiva kiiruse korral olla null).
- Sõltuvalt loetud allikast ei pruugi lõplikel kogustel olla alaindeksit fja / või võib funktsiooni tähistuses olla järgmine x (t) - loex aja funktsioonina “või„x ajal t”- ja v (t). Pange tähele, et x (t) ei tähenda x korrutatud t!
-
Vahel kogus xf - xi on kirjutatud
Δx, mis tähendab "muutust x, ”Või isegi lihtsalt d, mis tähendab ümberasumist. Kõik on samaväärsed. Asukoht, kiirus ja kiirendus on vektor suurused, mis tähendab, et nendega on seotud suund. Ühes dimensioonis näitavad suunda tavaliselt märgid - positiivsed suurused on positiivses ja negatiivsed suurused. Subscripts: algpositsiooni ja kiiruse asemel võib kasutada "0" i. See "0" tähendab "at" t = 0, "ja x0 ja v0 on tavaliselt hääldatud "x-naught" ja "v-naught". * Ainult üks võrranditest ei sisalda aega. Annuste väljakirjutamisel ja võrrandi määramisel on see võti!
Erijuhtum: vaba kukkumine
Vabalangemisega liikumine on objekti liikumine, mis kiireneb üksnes raskusjõu mõjul õhutakistuse puudumisel. Kehtib samad kinemaatilised võrrandid; kiirendusväärtus Maa pinna lähedal on aga teada. Selle kiirenduse suurust esindab sageli gkus g = 9,8 m / s2. Selle kiirenduse suund on allapoole, Maa pinna suunas. (Pange tähele, et mõned allikad võivad olla ligikaudsed g 10 m / s2ja teised võivad kasutada rohkem kui kahe kümnendkoha täpsusega väärtust.)
Kinemaatika probleemide lahendamise strateegia ühes dimensioonis:
Visandage olukorra skeem ja valige sobiv koordinaatsüsteem. (Tuletame seda meelde x, v ja a on kõik vektorkogused, nii et selge positiivse suuna määramisel on märkide jälgimine lihtsam.)
Kirjutage nimekiri teadaolevatest kogustest. (Hoiduge, et mõnikord pole tuntud asjad ilmsed. Otsige fraase nagu "algab puhkusest", mis tähendab seda vi = 0 või "põrutab vastu maad", mis tähendab seda xf = 0 ja nii edasi.)
Tehke kindlaks, millise koguse küsimus soovite leida. Mis on tundmatu, mille lahendate?
Valige sobiv kinemaatiline võrrand. See on võrrand, mis sisaldab teie tundmatut kogust koos teadaolevate kogustega.
Lahendage tundmatu koguse võrrand, seejärel ühendage teadaolevad väärtused ja arvutage lõplik vastus. (Olge üksuste suhtes ettevaatlik! Mõnikord peate enne arvutamist ühikud teisendama.)
Ühemõõtmelised kinemaatika näited
Näide 1: Reklaamis väidetakse, et sportauto võib kiirusest 0–60 miili tunnis liikuda 2,7 sekundiga. Kui suur on selle auto kiirendus m / s2? Kui kaugele see 2,7 sekundi jooksul sõidab?
Lahendus:
(Sisesta pilt 2)
Teadaolevad ja tundmatud kogused:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Küsimuse esimene osa nõuab lahendamist tundmatu kiirenduse jaoks. Siin saame kasutada võrrandit nr 1:
v_f = v_i + at \ tähendab a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Enne numbrite ühendamist peame teisendama 60 mph m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Nii et kiirendus on siis:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ allajoonitud {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Selle aja väljaselgitamiseks võime kasutada võrrandit nr 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 juures ^ 2 = \ frac 1 2 \ korda 9,93 korda 2,7 ^ 2 = \ allajoonitud {\ bold {36.2} \ text {m}}
Näide 2: Pall visatakse üles kiirusega 15 m / s 1,5 m kõrguselt. Kui kiiresti see maapinnale jõudes läheb? Kui kaua võtab vastu maad?
Lahendus:
(Sisesta pilt 3)
Teadaolevad ja tundmatud kogused:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Esimese osa lahendamiseks võime kasutada võrrandit nr 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) tähendab, et v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Kõik on juba järjepidevates ühikutes, nii et saame ühendada väärtused:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ umbes \ pm16 \ text {m / s}
Siin on kaks lahendust. Milline neist on õige? Meie diagrammilt näeme, et lõplik kiirus peaks olema negatiivne. Nii et vastus on:
v_f = \ allajoonitud {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Aja lahendamiseks võime kasutada võrrandit nr 1 või võrrandit nr 2. Kuna võrrandit nr 1 on lihtsam töötada, kasutame seda:
v_f = v_i + at \ tähendab t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ umbkaudu allajoonitud {\ bold {3.2} \ text {s }}
Pange tähele, et vastus selle küsimuse esimesele osale ei olnud 0 m / s. Kuigi on tõsi, et pärast palli maandumist on selle kiirus 0, soovib see küsimus teada saada, kui kiiresti see sekundi murdosa jooksul enne lööki läheb. Kui pall puutub kokku maapinnaga, ei kehti meie kinemaatilised võrrandid enam, kuna kiirendus ei ole konstantne.
Kinemaatilised võrrandid mürsu liikumiseks (kaks mõõdet)
Mürsk on objekt, mis liigub kahes mõõtmes Maa gravitatsiooni mõjul. Selle tee on parabool, sest ainus kiirendus tuleneb raskusjõust. Mürsu liikumise kinemaatilised võrrandid saavad veidi erineva kuju eespool loetletud kinemaatilistest võrranditest. Kasutame fakti, et üksteisega risti olevad liikumiskomponendid - näiteks horisontaalsed x suunda ja vertikaali y suund - on sõltumatud.
Mürskude liikumise kinemaatika probleemide lahendamise strateegia:
Visandage olukorra skeem. Nii nagu ühemõõtmelise liikumise puhul, on ka stsenaariumi visandamine ja koordinaatide süsteemi näitamine kasulik. Siltide kasutamise asemel x, v ja a asukoha, kiiruse ja kiirenduse jaoks vajame viisi, kuidas liikumist igas dimensioonis eraldi märgistada.
Horisontaalse suuna puhul on see kõige tavalisem x positsiooni ja vx kiiruse x-komponendi jaoks (pange tähele, et kiirendus on selles suunas 0, nii et me ei vaja selle jaoks muutujat.) y suuna, on see kõige tavalisem kasutada y positsiooni ja vy kiiruse y-komponendi jaoks. Kiirendust saab märgistada ay või võime kasutada fakti, et me teame, et gravitatsioonist tingitud kiirendus on g negatiivses y-suunas ja kasutage lihtsalt selle asemel.
Kirjutage nimekiri teadaolevatest ja tundmatutest kogustest, jagades probleemi kaheks osaks: vertikaalseks ja horisontaalseks liikumiseks. Kasutage trigonomeetriat, et leida vektorite suuruste x- ja y-komponendid, mis ei asu piki telge. See võib olla kasulik, kui loetlete selle kahes veerus:
(sisestage tabel 1)
Märkus. Kui kiirus on antud koos suurusnurgaga, Ѳhorisontaali kohal, seejärel kasutage vektoride lagunemist, vx= vcos (Ѳ) ja vy= vsin (Ѳ).
Võime kaaluda oma kolme varasemat kinemaatilist võrrandit ja kohandada neid vastavalt x- ja y-suundadega.
X suund:
x_f = x_i + v_xt
Y suund:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Pange tähele, et kiirendus y suund on -g, kui eeldame, et positiivne. Levinud väärarusaam on see, et g = -9,8 m / s2, kuid see on vale; g ise on lihtsalt kiirenduse suurus: g = 9,8 m / s2, seega peame täpsustama, et kiirendus on negatiivne.
Lahendage ühes neist mõõtmetest üks tundmatu ja seejärel ühendage mõlemas suunas levinud pistik. Kuigi liikumine kahes dimensioonis on sõltumatu, toimub see samal ajaskaalal, seega on ajamuutuja mõlemas dimensioonis sama. (Aeg, mis kulub pallil vertikaalse liikumise läbimiseks, on sama, mis horisontaalse liikumise läbimiseks kuluv aeg.)
Mürskude liikumise kinemaatika näited
Näide 1: Mürsk lastakse horisontaalselt 20 m kõrguselt kaljult algkiirusega 50 m / s. Kui kaua võtab vastu maad? Kui kaugele kalju alusest see maandub?
(sisesta pilt 4)
Teadaolevad ja tundmatud kogused:
(sisestage tabel 2)
Maapinnale jõudmiseks kuluva aja leiame teise vertikaalse liikumisvõrrandi abil:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ tähendab t = \ sqrt {\ frac {(2 \ korda 20)} g} = \ allajoonitud {\ bold {2.02} \ text {s} }
Siis, et leida, kuhu see maandub, xf, saame kasutada horisontaalset liikumisvõrrandit:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ korda2.02 = \ allajoonitud {\ bold {101} \ text {s}}
Näide 2: Pall lastakse maapinnalt 100 m / s horisontaaliga 30-kraadise nurga all. Kuhu see maandub? Millal on selle kiirus kõige väiksem? Mis on selle asukoht sel ajal?
(sisesta pilt 5)
Teadaolevad ja tundmatud kogused:
Kõigepealt peame jaotama kiirusvektori komponentideks:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ umbes 86,6 \ tekst {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ teeta) = 100 \ sin (30) = 50 \ tekstisõnum {m / s}
Meie koguste tabel on siis:
(sisestage tabel 3)
Kõigepealt peame leidma aja, mil pall on lennus. Saame seda teha teise vertikaalvõrrandiga_. Pange tähele, et kasutame parabooli sümmeetriat, et teha kindlaks, et lõplik _y kiirus on alguse negatiivne:
Siis määrame, kui kaugele see liigub x selles suunas:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 korda 10,2 \ umbkaudu \ allajoonitud {\ paks {883} \ tekst m}
Paraboolse tee sümmeetriat kasutades saame kindlaks teha, et kiirus on väikseim 5,1 s, kui mürsk on oma liikumise tipus ja kiiruse vertikaalne komponent on 0. Selle liikumise x- ja y-komponendid on praegu:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 korda 5,1 \ umbes \ allajoonitud {\ paks {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ korda5,1- \ frac 1 2 9,8 \ korda 5,1 ^ 2 \ umbkaudu \ allajoonitud {\ bold {128} \ text {m}}
Kinemaatiliste võrrandite tuletamine
Võrrand nr 1: Kui kiirendus on konstantne, siis:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kiiruse lahendamiseks on meil:
v_f = v_i + kl
Võrrand nr 2: Keskmist kiirust saab kirjutada kahel viisil:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Kui asendame _vf _ võrrandi nr 1 avaldisega saame:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Lahendamine xf annab:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 juures ^ 2
Võrrand nr 3: alustage lahendi jaoks t võrrandis nr 1
v_f = v_i + at \ tähendab t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Ühendage see väljend domeeniga t keskmise kiirussuhte korral:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implicit \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Selle väljendi ümberkorraldamine annab:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)