Kuidas leida dy / dx kaudse diferentseerimise teel, võttes arvesse sarnast võrrandit nagu y = sin (xy)

Kaudne diferentseerimine on tehnika, mida kasutatakse funktsiooni tuletise määramiseks kujul y = f (x).

Kaudse diferentseerimise kasutamise õppimiseks saame meetodit kasutada lihtsal näitel ja seejärel uurida mõnda keerulisemat juhtumit.

Ehkki see kõlab keerukamalt, kasutab kaudne diferentseerimine põhidiferentseerimisena kõiki matemaatika ja oskusi. Oluline on siiski märkida, et meie sõltuv muutuja ilmub nüüd funktsioonis endas.

Võtke lihtne võrrand, näiteks xy = 1. Tuletise leidmiseks on kaks võimalust y austusega xvõi dy / dx. Esiteks saame selle lihtsalt lahendada y võrrandis ja kasutage tuletisinstrumentide jaoks võimsuse reeglit. See annaks tulemuseks: y = 1 / x. Võimsuseeskirja rakendamine paljastaks seega, et dy / dx = -1 / x².

Seda probleemi saame teha ka kaudse diferentseerimise abil. Õnneks me juba teame vastust (see peaks olema sama olenemata sellest, kuidas me seda arvutame), nii et saame oma tööd kontrollida!

Alustuseks rakendage tuletis võrrandi xy = 1 mõlemale poolele. Seejärel d / dx (xy) = d / dx (1); parem pool on nüüd võrdne 0-ga, kuid vasak pool nõuab ahelareeglit. Seda seetõttu, et võtame oma funktsiooni tuletise,

Meie võrrandi ümberkirjutamisel saadakse: y + xy '= 0. On aeg lahendada y ' meie võrrandis! On selge, et y '= -y / x. Kuid algset teavet kasutades teame, et y = 1 / x, nii et saame selle tagasi asendada. Kui oleme seda teinud, näeme, et y '= -1 / x², täpselt nagu me varem leidsime.

Y = sin (xy) tuletise määramiseks kasutame implitsiitset diferentseerimist, pidades meeles, et (d / dx) y = y '.

Kõigepealt rakendage tuletis võrrandi mõlemale poolele: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Võrrandi vasak pool on selgelt y ', mille lahendamiseks peame lahendama, kuid parem pool nõuab tööd; täpsemalt keti reegel ja toote reegel. Esiteks tuleb patule (xy) rakendada ahelareeglit ja seejärel argumendi tootereeglit xy. Õnneks arvutasime selle toote reegli juba välja.

Järgmisena annab selle lihtsustamine: y '= cos (xy) (y + xy').

Ilmselgelt tuleb see võrrand lahendada y ' kuidas seda teha y ' on seotud x ja y.

Eraldage kõik terminid tähisega y ' ühel küljel: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Seejärel arvestage y ' saada: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Nüüd näeme, et y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Edasine lihtsustamine on vajalik, kuid kuna meie funktsioon on rekursiivselt määratletud, ei anna y = sin (xy) ühendamine tõenäoliselt rahuldavat lahendust. Sel juhul võib nende võrrandite joonistamiseks olla kasulik rohkem teavet või keerukam meetod.

Esiteks pidage meeles, et kaudne diferentseerimine tugineb sellele, et üks muutujatest on teise funktsioon. Tavaliselt näeme funktsioone y = f (x), kuid võiks kirjutada funktsiooni x = f (y). Nendele probleemidele lähenedes olge ettevaatlik, et teha kindlaks, milline muutuja sõltub teisest.

Järgmisena pidage meeles, et rakendage hoolikalt tuletisreegleid. Kaudne diferentseerimine nõuab väga sageli ahelreeglit, samuti toote reeglit ja jagatisreeglit. Nende meetodite õige rakendamine on lõpliku vastuse kindlakstegemiseks hädavajalik.

Lõpuks lahendage soovitud tuletis, eraldades selle ja lihtsustades väljendeid nii palju kui võimalik.