Eukleidese kaugus on kahe punkti vaheline kaugus Eukleidese ruumis. Eukleidese ruumi mõtles Kreeka matemaatik Euclid algselt välja umbes aastal 300 eKr. uurida nurkade ja kauguste vahelisi seoseid. Seda geomeetriasüsteemi kasutatakse tänapäevalgi ja seda õpivad gümnasistid kõige sagedamini. Eukleidese geomeetria kehtib konkreetselt kahe- ja kolmemõõtmeliste ruumide kohta. Kuid seda saab hõlpsasti üldistada kõrgemat järku mõõtmetele.
Arvutage ühe mõõtme jaoks Eukleidese kaugus. Ühe mõõtme kahe punkti vaheline kaugus on lihtsalt nende koordinaatide vahelise erinevuse absoluutväärtus. Matemaatiliselt näidatakse seda | p1 - q1 | kus p1 on esimese punkti esimene koordinaat ja q1 on teise punkti esimene koordinaat. Kasutame selle erinevuse absoluutväärtust, kuna tavaliselt peetakse kaugust ainult mitte-negatiivseks.
Võtke kaks punkti P ja Q kahemõõtmelises Eukleidese ruumis. Kirjeldame P koordinaatidega (p1, p2) ja Q koordinaatidega (q1, q2). Ehitage nüüd sirgjoon P ja Q lõpp-punktidega. See sirgjoon moodustab täisnurga kolmnurga hüpotenuusi. Laiendades 1. etapis saadud tulemusi, märkime, et selle kolmnurga jalgade pikkused on antud | p1 - q1 | ja | p2 - q2 |. Seejärel antakse kahe punkti vaheline kaugus hüpotenuusi pikkusena.
Kasutage 2. etapis hüpotenuusi pikkuse määramiseks Pythagorase teoreemi. See lause ütleb, et c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 kus c on täisnurga kolmnurga hüpotenuusi pikkus ja a, b on kahe ülejäänud jala pikkused. See annab meile c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Kahe mõõtmelise ruumi 2 punkti P = (p1, p2) ja Q = (q1, q2) vaheline kaugus on seetõttu ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Laiendage 3. etapi tulemusi kolmemõõtmelisele ruumile. Punktide P = (p1, p2, p3) ja Q = (q1, q2, q3) vahelise kauguse võib seejärel anda järgmiselt: ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Üldistage 4. etapis toodud lahendus kahe punkti P = (p1, p2,..., pn) ja Q = (q1, q2,..., qn) vahelisele kaugusele n mõõtmes. Selle üldlahenduse võib anda järgmiselt ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).