Bevor wir den Schwerpunkt diskutieren, nehmen wir einige Parameter an. Erstens, Sie haben es mit einem Objekt zu tun, das sich auf der Erdoberfläche befindet, nicht irgendwo im Weltraum. Und zweitens, dass das Objekt relativ klein ist – sagen wir, kein Raumschiff, das auf der Erde geparkt ist und darauf wartet, abzuheben. Sobald all diese außerirdischen Einflüsse beseitigt sind, können Sie den Schwerpunkt geometrischer Objekte mithilfe von a. berechnen relativ einfache Formel – und tatsächlich verwenden Sie aufgrund der soeben festgelegten Bedingungen dieselbe Formel, um den Schwerpunkt zu finden, wie um den. zu finden Massezentrum.
Wie schreibt man über den Schwerpunkt?
Der Schwerpunkt in einer zweidimensionalen Ebene wird normalerweise durch die Koordinaten (xcg,ycg) oder manchmal durch die Variablenxundjamit einem Balken darüber. Außerdem wird der Begriff "Schwerpunkt" manchmal mit cg abgekürzt.
Wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet
Ihr Mathe- oder Physik-Lehrbuch enthält oft Diagramme zur Bestimmung des Gleichgewichtszentrums bestimmter Zahlen. Für einige gängige geometrische Formen können Sie jedoch die entsprechende Schwerpunktformel verwenden, um den Schwerpunkt dieser Form zu ermitteln.
Bei Dreiecken liegt der Schwerpunkt an dem Punkt, an dem sich alle drei Mediane schneiden. Wenn Sie an einem Eckpunkt des Dreiecks beginnen und dann eine gerade Linie zum Mittelpunkt der anderen Seite ziehen, ist das ein Median. Machen Sie dasselbe für die anderen beiden Scheitelpunkte, und der Punkt, an dem sich alle drei Mediane schneiden, ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Und dafür gibt es natürlich eine Formel. Wenn die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks (xcg,ycg), finden Sie seine Koordinaten so:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
Wo (x1,y1), (x2,y2) und (x3,y3) sind die Koordinaten der drei Eckpunkte des Dreiecks. Sie können wählen, welcher Scheitelpunkt welcher Nummer zugewiesen wird.
Schwerpunktformel für ein Rechteck
Ist Ihnen aufgefallen, dass Sie, um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden, nur den Wert der x-Koordinaten mitteln, dann den Wert der y-Koordinaten mitteln und die beiden Ergebnisse als Koordinaten für Ihren Schwerpunkt verwenden?
Um den Schwerpunkt eines Rechtecks zu ermitteln, gehen Sie genauso vor. Aber um Ihre Berechnungen noch einfacher zu machen, nehmen Sie an, dass das Rechteck quadratisch zu einem kartesischen ausgerichtet ist Koordinatenebene (also nicht in einem Winkel eingestellt ist) und dass sich ihr unterer linker Scheitelpunkt im Ursprung des befindet Graph. Um in diesem Fall (xcg,ycg) für ein Rechteck musst du nur berechnen:
x_{cg}=\frac{\text{width}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{height}}{2}
Wenn Sie Ihr Rechteck nicht zum Ursprung der Koordinatenebene verschieben möchten oder es aus irgendeinem Grund nicht genau quadratisch zur Koordinatenachsen können Sie sich dieser etwas beängstigend aussehenden, aber immer noch effektiven Formel stellen, um alle ihre x-Koordinaten zu mitteln, um den Wert zu finden von xcg, und mitteln Sie alle y-Koordinaten, um den Wert von y. zu findencg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
Die Schwerpunktgleichung
Was ist, wenn Sie den Schwerpunkt für eine Form berechnen müssen, die allen zuerst genannten Annahmen entspricht (im Grunde versuchen Sie nicht, buchstäbliche Raketenwissenschaft zu betreiben?) durch das Finden des Schwerpunkts für Objekte im Weltraum), aber es fällt in keine der gerade erwähnten Kategorien oder in die Diagramme auf der Rückseite Ihres Lehrbuch? Dann können Sie Ihre Form in bekanntere Formen unterteilen und die folgenden Gleichungen verwenden, um ihren kollektiven Schwerpunkt zu finden:
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
Oder anders ausgedrückt: xcg entspricht der Fläche von Abschnitt 1 mal seiner Position auf der x-Achse, addiert zur Fläche von Abschnitt 2 mal seiner Position usw., bis Sie die Fläche mal Position aller Abschnitte addiert haben; Dann dividieren Sie diesen Gesamtbetrag durch die Gesamtfläche aller Abschnitte. Machen Sie dann dasselbe für y.
F: Wie finde ich die Fläche jedes Abschnitts?Wenn Sie Ihre komplexe oder unregelmäßige Form in bekanntere Polygone aufteilen, können Sie standardisierte Formeln verwenden, um die Fläche zu finden. Wenn Sie diese Form beispielsweise in rechteckige Teile unterteilt haben, können Sie die Formel Länge × Breite verwenden, um die Fläche jedes Teils zu ermitteln.
F: Was ist der "Standort" jedes Abschnitts?Die Position jedes Abschnitts ist die entsprechende Koordinate vom Schwerpunkt dieses Abschnitts. Also wenn du willst2 (die Position für Segment 2), müssen Sie tatsächlich die y-Koordinate für den Schwerpunkt dieses Segments angeben. Dies ist wiederum der Grund, warum Sie ein seltsam geformtes Objekt in bekanntere Formen unterteilen, da Sie die Formeln, die bereits besprochen wurden, um den Schwerpunkt jeder Form zu finden und dann die entsprechende Koordinate zu extrahieren (s).
F: Wo verläuft meine Form auf der Koordinatenebene?Sie können wählen, wo sich Ihre Form auf der Koordinatenebene befindet – denken Sie jedoch daran, dass der Schwerpunkt Ihrer Antwort in Bezug auf denselben Bezugspunkt liegt. Es ist am einfachsten, Ihr Objekt im ersten Quadranten Ihres Diagramms zu platzieren, mit seiner Unterkante gegen die x-Achse und die linke Kante gegen die y-Achse, sodass alle x- und y-Werte positiv sind, aber auch klein genug, um überschaubar.
Tricks zum Finden des Schwerpunkts
Wenn Sie es mit einem einzelnen Objekt zu tun haben, brauchen Sie manchmal nur Intuition und ein wenig Logik, um seinen Schwerpunkt zu finden. Wenn Sie beispielsweise eine flache Scheibe in Betracht ziehen, ist der Schwerpunkt der Mittelpunkt der Scheibe. Bei einem Zylinder ist dies der Mittelpunkt auf der Zylinderachse. Bei einem Rechteck (oder Quadrat) ist dies der Punkt, an dem die diagonalen Linien zusammenlaufen.
Vielleicht haben Sie hier ein Muster bemerkt: Wenn das fragliche Objekt eine Symmetrielinie hat, liegt der Schwerpunkt auf dieser Linie. Und wenn es mehrere Symmetrieachsen hat, liegt der Schwerpunkt dort, wo sich diese Achsen schneiden.
Wenn Sie schließlich versuchen, den Schwerpunkt eines wirklich komplexen Objekts zu finden, haben Sie zwei Möglichkeiten: Entweder holen Sie Ihre besten Kalkülintegrale heraus Ressourcen für ein Dreifachintegral, das den Schwerpunkt für eine ungleichmäßige Masse darstellt) oder geben Sie Ihre Daten in einen speziell entwickelten Schwerpunkt ein Taschenrechner. (Ein Beispiel für einen Schwerpunktrechner für ferngesteuerte Flugzeuge finden Sie unter Ressourcen.)