Eine Zusammenarbeit zwischen einem deutschen Astronomen, Johannes Kepler (1571 – 1630), und einem dänischen, Tycho Brahe (1546 – 1601), führte zur ersten mathematischen Formulierung von planetarischen Bewegung. Aus der Zusammenarbeit entstanden Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung, die Sir Isaac Newton (1643 – 1727) zur Entwicklung der Gravitationstheorie verwendet hat.
Die ersten beiden Gesetze sind leicht zu verstehen. Keplers erstes Gesetz definiert, dass sich Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen, und das zweite Gesetz besagt: dass eine Linie, die einen Planeten mit der Sonne verbindet, gleiche Flächen in gleichen Zeiten über die Umlaufbahn des Planeten überstreicht. Das dritte Gesetz ist etwas komplizierter, und es ist das Gesetz, das Sie verwenden, wenn Sie die Periode eines Planeten oder die Zeit, die es braucht, um die Sonne zu umkreisen, berechnen möchten. Dies ist das Jahr des Planeten.
Gleichung des dritten Keplerschen Gesetzes
Mit Worten, das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass das Quadrat der Periode der Rotation eines Planeten um die Sonne proportional zur Kubik der großen Halbachse seiner Umlaufbahn ist. Obwohl alle Planetenbahnen elliptisch sind, sind die meisten (mit Ausnahme der von Pluto) nahe genug dran kreisförmig, um das Wort "Radius" für "Hauptachse" zu ersetzen. Mit anderen Worten, das Quadrat der eines Planeten Zeitraum (
P) ist proportional zur Kubik seiner Entfernung von der Sonne (d):P^2 = kd^3
Wokist die Proportionalitätskonstante.
Dies ist als Gesetz der Perioden bekannt. Man könnte es als "Periode einer Planetenformel" bezeichnen. Die Konstantekist gleich 4π2/ GM, woGist die Gravitationskonstante.Mist die Masse der Sonne, aber eine korrektere Formulierung würde die kombinierte Masse der Sonne und des fraglichen Planeten verwenden (Mso + Mp). Die Masse der Sonne ist jedoch so viel größer als die jedes Planeten, dassMso + Mp ist im Wesentlichen immer gleich, daher ist es sicher, einfach die Sonnenmasse zu verwenden,M.
Berechnung der Periode eines Planeten
Die mathematische Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes gibt Ihnen die Möglichkeit, planetare Perioden in Bezug auf die der Erde oder alternativ die Länge ihrer Jahre in Bezug auf ein Erdenjahr zu berechnen. Dazu ist es hilfreich, die Distanz auszudrücken (d) in astronomischen Einheiten (AE). Eine astronomische Einheit ist 93 Millionen Meilen – die Entfernung von der Sonne zur Erde. In AnbetrachtMeine Sonnenmasse sein undPin Erdjahren ausgedrückt, der Proportionalitätsfaktor 4π2/ GMgleich 1 wird, wobei die folgende Gleichung übrig bleibt:
\begin{aligned} &P^2 = d^3 \\ &P = \sqrt{d^3} \end{aligned}
Schließen Sie die Entfernung eines Planeten von der Sonne an fürd(in AE), rechnen Sie die Zahlen zusammen, und Sie erhalten die Länge des Jahres in Erdjahren. Zum Beispiel beträgt die Entfernung des Jupiters von der Sonne 5,2 AE. Das macht die Länge eines Jahres auf Jupiter gleich:
P=\sqrt{(5.3)^3}=11.86\text{ Erdjahre}
Berechnung der Orbitalexzentrizität
Der Unterschied zwischen der Umlaufbahn eines Planeten und einer Kreisbahn wird als Exzentrizität bezeichnet. Exzentrizität ist ein Dezimalbruch zwischen 0 und 1, wobei 0 eine Kreisbahn und 1 eine so langgestreckte Bahn bezeichnet, dass sie einer geraden Linie ähnelt.
Die Sonne befindet sich auf einem der Brennpunkte jeder Planetenbahn, und während einer Umdrehung hat jeder Planet ein Aphel (ein) oder Punkt der nächsten Annäherung und Perihel (p) oder Punkt der größten Entfernung. Die Formel für die Orbitalexzentrizität (E) ist
E=\frac{a-p}{a+p}
Mit einer Exzentrizität von 0,007 ist die Umlaufbahn der Venus am ehesten kreisförmig, während die von Merkur mit einer Exzentrizität von 0,21 am weitesten liegt. Die Exzentrizität der Erdumlaufbahn beträgt 0,017.