Massenmittelpunkt: Definition, Gleichung, So finden Sie (mit Beispielen)

Haben Sie schon einmal einen dieser Spielzeugvögel gesehen, der mit seinem Schnabel auf Ihrer Fingerspitze balancieren kann, ohne umzukippen, wie von Zauberhand? Es ist keine Magie, die es dem Vogel überhaupt ermöglicht, zu balancieren, sondern die einfache Physik, die mit dem Schwerpunkt verbunden ist.

Wenn Sie die Physik hinter dem Massenschwerpunkt verstehen, können Sie nicht nur die Impulserhaltung und andere verwandte Physik, sondern kann auch Stabilität und Dynamik in den Sportarten beeinflussen, die Sie ausüben, sowie Ihnen ermöglichen, kreativ zu balancieren handelt.

Ein ObjektMassezentrum, manchmal auch als Schwerpunkt bezeichnet, kann man sich als den Punkt vorstellen, an dem die Gesamtmasse eines Objekts oder Systems als Punktmasse behandelt werden kann. In bestimmten Situationen können äußere Kräfte so behandelt werden, als ob sie auf den Massenschwerpunkt des Objekts wirken.

Für den Spielzeugvogel, der auf Ihrer Fingerspitze balanciert, liegt der Schwerpunkt am Schnabel. Dies mag auf den ersten Blick falsch erscheinen, weshalb der Akt des Balancierens magisch erscheint. Bei einem Vogel, der auf einem Ast sitzt, liegt sein Massenschwerpunkt irgendwo in seinem Körper. Aber das balancierende Vogelspielzeug hat oft gewichtete Flügel, die sich nach außen und nach vorne erstrecken, wodurch es anders balanciert.

Der Massenschwerpunkt kann für ein einzelnes Objekt – wie den balancierenden Vogel – bestimmt oder für ein System aus mehreren Objekten berechnet werden, wie Sie in einem späteren Abschnitt sehen werden.

Es wird immer einen einzigen Punkt auf einem starren Körper geben, der der Ort des Massenmittelpunkts dieses Körpers ist. Die Lage des Massenmittelpunkts eines Objekts hängt von der Massenverteilung ab.

Wenn ein Objekt eine gleichmäßige Dichte hat, ist sein Massenschwerpunkt leichter zu bestimmen. In einem Kreis mit gleichmäßiger Dichte ist der Massenmittelpunkt beispielsweise der Kreismittelpunkt. (Dies wäre jedoch nicht der Fall, wenn der Kreis auf einer Seite dichter wäre als auf der anderen).

Tatsächlich liegt der Massenmittelpunkt bei gleichmäßiger Dichte immer im geometrischen Mittelpunkt des Objekts. (Dieses geometrische Zentrum heißtSchwerpunkt​.)

Wenn die Dichte nicht einheitlich ist, gibt es andere Möglichkeiten, den Massenschwerpunkt zu bestimmen. Einige dieser Methoden beinhalten die Verwendung von Kalkül, was den Rahmen dieses Artikels sprengen würde. Aber eine einfache Möglichkeit, den Schwerpunkt eines starren Objekts zu bestimmen, besteht darin, es einfach auf Ihrer Fingerspitze auszubalancieren. Der Massenschwerpunkt liegt am Ausgleichspunkt.

Eine andere Methode, die für planare Objekte nützlich ist, ist wie folgt:

• Hängen Sie die Form an einem Kantenpunkt zusammen mit einem Lot auf.
• Zeichnen Sie eine Linie auf die Form, die mit der Lotlinie ausgerichtet ist.
• Hängen Sie die Form zusammen mit einem Lot an einem anderen Kantenpunkt an.
• Zeichnen Sie eine Linie auf der Form, die mit der neuen Lotlinie ausgerichtet ist.
• Die beiden gezeichneten Linien sollten sich in einem einzigen Punkt schneiden.
• Dieser einzigartige Schnittpunkt ist der Ort des Massenmittelpunkts.

Bei einigen Objekten ist es jedoch möglich, dass der Schwerpunkt außerhalb der Grenzen des Objekts selbst liegt. Denken Sie zum Beispiel an einen Ring. Der Massenschwerpunkt für eine Ringform liegt in der Mitte, wo überhaupt kein Teil des Rings existiert.

Die Lage des Massenmittelpunkts eines Teilchensystems kann man sich als ihre durchschnittliche Massenlage vorstellen.

Die gleiche Idee kann wie für ein starres Objekt verwendet werden, wenn Sie sich vorstellen, dass dieses System von Teilchen alle durch eine starre, masselose Ebene verbunden ist. Der Schwerpunkt wäre dann der Schwerpunkt dieses Systems.

Um den Massenschwerpunkt eines Teilchensystems mathematisch zu bestimmen, kann die folgende einfache Formel verwendet werden:

WoMist die Gesamtmasse des Systems,ich_ichsind die einzelnen Massen undr_ichsind ihre Positionsvektoren.

In einer Dimension (für Massen, die entlang einer Geraden verteilt sind) können Sie ersetzenrmitx​.

In zwei Dimensionen finden Sie diex-koordinieren undja-Koordinate des Massenschwerpunktes getrennt als:

​Beispiel 1:Finden Sie die Koordinaten des Massenmittelpunkts des folgenden Teilchensystems: Teilchen der Masse 0,1 kg befindet sich bei (1, 2), Partikel der Masse 0,05 kg befindet sich bei (2, 4) und Partikel der Masse 0,075 kg befindet sich bei (2, 1).

​Lösung 1:Wende die Formel für die anx-Koordinate des Massenmittelpunkts wie folgt:

Dann wende die Formel für die anja-Koordinate des Massenmittelpunkts wie folgt:

Der Schwerpunkt liegt also bei (0.079, 2.11).

​Beispiel 2:Bestimmen Sie den Ort des Massenmittelpunkts eines gleichseitigen Dreiecks mit gleichmäßiger Dichte, dessen Scheitelpunkte an den Punkten (0, 0) (1, 0) und (1/2, √3/2) liegen.

​Lösung 2:Sie müssen den geometrischen Mittelpunkt dieses gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 1 finden. Dasx-Koordinate des geometrischen Zentrums ist einfach – es ist einfach 1/2.

Dasja-Koordinate ist etwas schwieriger. Es tritt an der Stelle auf, an der sich eine Linie von der Spitze des Dreiecks zum Punkt (0, 1/2) mit einer Linie von einem der anderen Scheitelpunkte zum Mittelpunkt einer der gegenüberliegenden Seiten schneidet. Wenn Sie eine solche Anordnung skizzieren, finden Sie sich mit einem rechtwinkligen Dreieck von 30-60-90 wieder, dessen langes Bein 0,5 und kurzes Bein das istja-Koordinate. Die Beziehung zwischen diesen Seiten ist √3y = 1/2, also y = √3/6, und die Koordinaten des Massenmittelpunkts sind (1/2, √3/6).

Die Lage des Massenschwerpunkts eines Objekts oder Objektsystems kann in vielen physikalischen Berechnungen als Bezugspunkt verwendet werden.

Wenn man beispielsweise mit einem System wechselwirkender Teilchen arbeitet, ermöglicht das Auffinden des Massenschwerpunkts des Systems ein Verständnis des linearen Impulses. Wenn der lineare Impuls erhalten bleibt, bewegt sich der Massenschwerpunkt des Systems mit konstanter Geschwindigkeit, selbst wenn die Objekte selbst voneinander abprallen.

Bei einem fallenden starren Objekt kann die Schwerkraft so behandelt werden, als ob sie auf den Massenmittelpunkt dieses Objekts wirkt, selbst wenn sich dieses Objekt dreht.

Das gleiche gilt für Projektile. Stellen Sie sich vor, Sie würden einen Hammer werfen, und während er durch einen Bogen in die Luft fliegt, dreht er sich Ende um Ende. Dies mag zunächst wie eine komplexe Bewegung erscheinen, aber es stellt sich heraus, dass sich der Massenschwerpunkt des Hammers in einer schönen, glatten parabolischen Bahn bewegt.

Ein einfaches Experiment kann durchgeführt werden, um dies zu demonstrieren, indem man ein kleines Stück Glühklebeband auf den Schwerpunkt des Hammers klebt und den Hammer dann wie beschrieben in einem dunklen Raum wirft. Das Glühband scheint sich in einem glatten Bogen zu bewegen, wie eine geworfene Kugel.

Ein lustiges Schwerpunktexperiment, das Sie zu Hause durchführen können, besteht darin, eine einfache Technik zum Ermitteln des Schwerpunkts eines Besens zu verwenden. Für dieses Experiment benötigen Sie lediglich einen Besen und zwei Hände.

Halten Sie den Besen mit relativ weit auseinander liegenden Händen am Ende von zwei Zeigefingern hoch. Bringen Sie dann Ihre Hände langsam näher zusammen und schieben Sie sie unter den Besen. Wenn Sie Ihre Hände näher zusammenrücken, stellen Sie möglicherweise fest, dass eine Hand an der Unterseite des Besenstiels entlang gleiten möchte, während die andere eine Weile an Ort und Stelle bleibt, bevor sie rutscht.

Während sich Ihre Hände bewegen, bleibt der Besen im Gleichgewicht. Wenn sich Ihre beiden Hände schließlich treffen, treffen sie sich am Schwerpunkt des Besens.

Der Schwerpunkt des menschlichen Körpers liegt irgendwo in der Nähe des Nabels (Bauchnabel). Bei Männern liegt der Schwerpunkt tendenziell etwas höher, da sie mehr Körpermasse im Oberkörper tragen, und bei Frauen ist der Schwerpunkt niedriger, weil sie mehr Masse in ihren Hüften tragen.

Wenn Sie auf einem Fuß stehen, verschiebt sich Ihr Schwerpunkt zur Seite des Fußes, auf dem Sie stehen. Sie werden vielleicht bemerken, dass Sie sich mehr zu dieser Seite neigen. Denn um im Gleichgewicht zu bleiben, muss Ihr Schwerpunkt über dem Fuß bleiben, auf dem Sie balancieren, sonst kippen Sie um.

Wenn Sie mit einem Bein und der Hüfte an einer Wand stehen und versuchen, das andere Bein anzuheben, wird dies wahrscheinlich unmöglich sein, da die Wand verhindert, dass Ihr Gewicht über das Gleichgewichtsbein verlagert wird.

Eine andere Sache, die Sie versuchen sollten, ist, mit dem Rücken zur Wand zu stehen und Ihre Fersen die Wand zu berühren. Versuchen Sie dann, sich nach vorne zu beugen und den Boden zu berühren, ohne die Beine zu beugen. Frauen sind bei dieser Aufgabe möglicherweise erfolgreicher als Männer, da ihr Massenschwerpunkt tiefer in ihrem Körper liegt und sich möglicherweise immer noch über den Zehen befindet, wenn sie sich nach vorne beugen.

Die Lage des Massenmittelpunkts relativ zur Basis eines Objekts bestimmt seine Stabilität. Als stabil ausbalanciert gilt etwas, wenn es durch leichtes Kippen und anschließendes Loslassen wieder in seine Ausgangsposition zurückkehrt, anstatt weiter zu kippen und umzufallen.

Betrachten Sie eine dreidimensionale Pyramidenform. Wenn es auf seiner Basis ausbalanciert ist, ist es stabil. Wenn Sie ein Ende leicht anheben und loslassen, fällt es wieder nach unten. Wenn Sie jedoch versuchen, die Pyramide auf ihrer Spitze auszubalancieren, können Abweichungen von der perfekten Balance dazu führen, dass sie umfällt.

Sie können feststellen, ob ein Objekt in seine ursprüngliche Position zurückfällt oder umkippt, indem Sie sich die Position des Massenmittelpunkts relativ zur Basis ansehen. Sobald sich der Massenmittelpunkt über die Basis bewegt, kippt das Objekt um.

Wenn Sie Sport treiben, kennen Sie vielleicht die Bereitschaftsposition, in der Sie mit weitem Stand und gebeugten Knien stehen. Dadurch bleibt dein Schwerpunkt niedrig und die breite Basis macht dich stabiler. Überlegen Sie, wie sehr Sie jemand drängen müsste, Sie umzukippen, wenn Sie sich in der Bereitschaftsposition befinden, vs. wenn Sie mit den Füßen zusammen stehen.

Einige Autos haben Probleme mit dem Überrollen, wenn sie scharfe Kurven nehmen. Dies liegt an der Lage ihres Massenschwerpunkts. Ist der Massenschwerpunkt eines Fahrzeugs zu hoch und die Basis nicht breit genug, braucht es nicht viel, um es zum Umkippen zu bringen. Für die Stabilität eines Fahrzeugs ist es immer am besten, das meiste Gewicht so gering wie möglich zu halten.