Haben Sie sich schon einmal gefragt, wie viel Wasser oder Kaffee in einen dieser scheinbar unzähligen Einweg-Wasserbecher aus Plastik passen, die unten schmaler sind als oben? Mit anderen Worten, fast jeder Papier-, Plastik- oder sonstige Einwegbecher, den Sie jemals gesehen oder benutzt haben? (Um fair zu sein, einige Tassen haben keine schrägen Seiten und sind daher zylindrisch, aber dies scheint nur für zu gelten dauerhaft Tassen.)
Der oben beschriebene Formtyp basiert auf a Kegel, die das Ergebnis einer Linie ist, die durch den Raum streicht und eine gekrümmte Bahn wie einen Kreis (im einfachsten Fall) oder eine Ellipse zeichnet. Eine Tasse ist normalerweise nicht spitz (einige, die gefrorene Leckereien enthalten), aber sie ist geometrisch gesehen immer noch ein "Stück" eines Kegels. Das macht es leicht, mit Geduld die Lautstärke zu finden.
Das Volumen eines Kegels
Die Formel für das Volumen eines regelmäßigen oder rechten Kegels (d. h. eines mit kreisförmiger Grundfläche) lautet
V=\frac{1}{3}πr^2h
Wo r ist der Radius der Basis und ha ist die Höhe des Kegels. Da ein rechter Kegel von der Seite aus wie zwei zusammengefügte rechtwinklige Dreiecke aussieht, ist die Länge so der schrägen Seite des Kegels hat den gleichen Wert wie die Hypotenuse eines dieser Dreiecke. Somit ergibt sich durch Anwendung des Satzes des Pythagoras: r2 + ha2 = s2, so
s=\sqrt{r^2 + h^2}
Das Volumen einer sich verjüngenden Tasse: Teil 1
Angenommen, Sie haben eine Tasse, die unten 8 cm breit, oben 10 cm breit und 15 cm hoch ist. Wie viel Flüssigkeit kann es in cm. aufnehmen?3, auch Milliliter (ml) genannt?
Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, einen Querschnitt der Tasse zu zeichnen, dh wie sie von der Seite aussieht, nachdem sie senkrecht zu Ihrem Sichtfeld genau in zwei Hälften geschnitten wurde. Wenn Sie von den beiden Punkten, an denen die Basis auf die Seiten trifft, senkrechte Linien nach oben ziehen, die Tasse, haben Sie nun den Querschnitt in zwei gleiche, gespiegelte rechtwinklige Dreiecke und a Rechteck. Die Dreiecke haben lange "Beine" von 15 cm und kurze "Beine" von 1 cm (aufteilen der Differenz zwischen Basisbreite und Spitzenbreite).
Das Volumen einer sich verjüngenden Tasse: Teil 2
Beachten Sie, was passiert, wenn Sie die Seiten der Tasse in Ihrem Diagramm bis zu einem Punkt unter der Basis verlängern. Erweitern Sie auch eine Linie von der Mitte der Oberseite zu dem Punkt, zu dem diese Linien zusammenlaufen. (Sie haben möglicherweise keinen Platz, damit sich die Seiten treffen und ein geschlossenes Dreieck bilden, aber kommen Sie so nah wie möglich heran.)
Aufgrund des Prinzips ähnlicher Dreiecke wissen Sie, dass das Verhältnis des langen Schenkels der Dreiecke von oben (15 cm) zu dem des kleinen Schenkels (1 cm) oder 15 zu 1, muss dem Verhältnis des kleinen Beins zum langen Bein eines der neu geschaffenen Dreiecke zwischen der Basis des "Bechers" und dem Punkt. Da das kleine Bein einen Wert von 4 cm hat, muss das lange Bein 15 mal so groß sein, also 60 cm.
Es handelt sich also um den Querschnitt eines Kegels mit einer Gesamthöhe von 15 + 60 = 75 cm und einer Breite von 10 cm, also einem Radius von 5 cm. Das Volumen dieses Kegels abzüglich des Volumens des Kegels, der sich bis zum Becherboden erstreckt, der eine Höhe von 60 cm und eine Breite von 8 cm (r = 4 cm) hat, ergibt das gewünschte Ergebnis:
\begin{aligned} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963,5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005,3 \text { ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \text{ ml} \end{ausgerichtet}
Somit fasst Ihre Tasse fast 1 L (1.000 ml) Flüssigkeit.
Kegel- und Bechervolumen-Rechner
In den Ressourcen finden Sie eine Liste von Taschenrechnern, die Kegel mit verschiedenen anfänglichen Kombinationen von Informationen verwenden. Alternativ können Sie einen Ansatz wie den oben genannten verwenden und die Tasse in verschiedene Formen aufteilen und dann verwenden einfachere Formeln (wie die Formel für das Volumen eines Würfels) in geeigneten Kombinationen, um die Summe zu finden Volumen.