Manchmal ist "exponentielles Wachstum" nur eine Redewendung, ein Hinweis auf alles, was unvernünftig oder unglaublich schnell wächst. Aber in bestimmten Fällen können Sie die Idee des exponentiellen Wachstums wörtlich nehmen. Zum Beispiel kann eine Kaninchenpopulation exponentiell wachsen, wenn sich jede Generation vermehrt, dann ihre Nachkommen sich vermehren und so weiter. Auch das geschäftliche oder private Einkommen kann exponentiell wachsen. Wenn Sie aufgefordert werden, reale Berechnungen des exponentiellen Wachstums durchzuführen, arbeiten Sie mit drei Informationen: Startwert, Wachstumsrate (oder Verfall) und Zeit.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
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Um das exponentielle Wachstum zu berechnen, verwenden Sie die Formel ja(t) = a__ekt, wo ein ist der Wert am Anfang, k ist die Wachstums- oder Verfallsrate, t ist Zeit und ja(t) ist der aktuelle Wert der Bevölkerung t.
Stellen Sie sich vor, ein Wissenschaftler untersucht das Wachstum einer neuen Bakterienart. Während er die Werte Startmenge, Wachstumsrate und Zeit in einen Populationswachstumsrechner eingeben konnte, hat er sich entschieden, die Wachstumsrate der Bakterienpopulation manuell zu berechnen.
Rückblickend auf seine akribischen Aufzeichnungen sieht der Wissenschaftler, dass seine Ausgangspopulation aus 50 Bakterien bestand. Fünf Stunden später maß er 550 Bakterien.
Eingabe der Informationen des Wissenschaftlers in die Gleichung für exponentielles Wachstum oder Verfall, ja(t) = a__ekt, Er hat:
550 = 50_ek_5
Die einzige Unbekannte in der Gleichung ist k, oder die Rate des exponentiellen Wachstums.
Um mit der Lösung zu beginnen k, dividiere zuerst beide Seiten der Gleichung durch 50. Dies gibt Ihnen:
550/50 = (50_ek_5)/50, was vereinfacht zu:
11 = e_k_5
Nehmen Sie als nächstes den natürlichen Logarithmus beider Seiten, der als ln(x). Dies gibt Ihnen:
ln (11) = ln(e_k_5)
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von ex, also macht es effektiv die effectively ex Funktion auf der rechten Seite der Gleichung, so dass Sie Folgendes haben:
ln (11) = _k_5
Als nächstes teilen Sie beide Seiten durch 5, um die Variable zu isolieren, was Ihnen Folgendes ergibt:
k = ln (11)/5
Sie kennen jetzt die exponentielle Wachstumsrate dieser Bakterienpopulation: k = ln (11)/5. Wenn Sie mit dieser Population weitere Berechnungen durchführen – zum Beispiel die Wachstumsrate in die Gleichung einsetzen und die Populationsgröße auf. schätzen t = 10 Stunden – am besten hinterlassen Sie die Antwort in diesem Formular. Wenn Sie jedoch keine weiteren Berechnungen durchführen, können Sie diesen Wert in einen Exponentialfunktionsrechner – oder Ihren wissenschaftlichen Rechner – eingeben, um einen geschätzten Wert von 0,479579 zu erhalten. Abhängig von den genauen Parametern Ihres Experiments können Sie dies zur einfacheren Berechnung oder Notation auf 0,48/Stunde aufrunden.
Tipps
Wenn Ihre Wachstumsrate weniger als 1 beträgt, bedeutet dies, dass die Bevölkerung schrumpft. Dies wird als Zerfallsrate oder exponentielle Zerfallsrate bezeichnet.