Das Lösen von Absolutwert-Ungleichungen ist dem Lösen von Absolutwert-Gleichungen sehr ähnlich, aber es sind einige zusätzliche Details zu beachten. Es hilft, sich bereits beim Lösen von Absolutwertgleichungen wohl zu fühlen, aber es ist in Ordnung, wenn Sie sie auch zusammen lernen!
Definition der Absolutwertungleichung
Vor allem einAbsolutwertungleichungist eine Ungleichung, die einen Absolutwertausdruck beinhaltet. Beispielsweise,
| 5 + x | - 10 > 6
ist eine Absolutwertungleichung, weil sie ein Ungleichheitszeichen > und einen Absolutwertausdruck | hat 5 +x |.
So lösen Sie eine Absolutwertungleichung
DasSchritte zur Lösung einer Absolutwertungleichungähneln den Schritten zum Lösen einer Absolutwertgleichung:
Schritt 1:Isolieren Sie den Absolutwertausdruck auf einer Seite der Ungleichung.
Schritt 2:Lösen Sie die positive "Version" der Ungleichung.
Schritt 3:Lösen Sie die negative "Version" der Ungleichung, indem Sie die Quantität auf der anderen Seite der Ungleichung mit −1 multiplizieren und das Ungleichungszeichen umdrehen.
Das ist eine Menge auf einmal. Hier ist ein Beispiel, das Sie durch die einzelnen Schritte führt.
Löse die Ungleichung nachx:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Um dies zu tun, erhalten Sie | 5 + 5x| selbst auf der linken Seite der Ungleichung. Alles, was Sie tun müssen, ist 3 zu jeder Seite hinzuzufügen:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nun gibt es zwei "Versionen" der Ungleichung, die wir lösen müssen: die positive "Version" und die negative "Version".
Für diesen Schritt gehen wir davon aus, dass die Dinge so sind, wie sie erscheinen: dass 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Dies ist eine einfache Ungleichung; du musst nur auflösenxwie gewöhnlich. Subtrahiere 5 von beiden Seiten und dividiere dann beide Seiten durch 5.
\begin{ausgerichtet} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(subtrahiere fünf von beiden Seiten)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(beide Seiten durch fünf teilen)} \\ &x > 0 \end{ausgerichtet}
Nicht schlecht! Eine mögliche Lösung für unsere Ungleichung ist also:x> 0. Da es sich um absolute Werte handelt, ist es an der Zeit, eine andere Möglichkeit in Betracht zu ziehen.
Um dieses nächste Bit zu verstehen, hilft es, sich daran zu erinnern, was absoluter Wert bedeutet.Absolutwertmisst den Abstand einer Zahl von Null. Die Entfernung ist immer positiv, also ist 9 neun Einheiten von Null entfernt, aber -9 ist auch neun Einheiten von Null entfernt.
Also | 9 | = 9, aber | −9 | = 9 auch.
Nun zurück zum obigen Problem. Die obige Arbeit hat gezeigt, dass | 5 + 5x| > 5; mit anderen Worten, der absolute Wert von "etwas" ist größer als fünf. Nun wird jede positive Zahl größer als fünf weiter von null entfernt sein als fünf. Die erste Option war also "etwas", 5 + 5x, ist größer als 5.
Das ist:
5 + 5x > 5
Das ist das oben in Schritt 2 angegangene Szenario.
Denken Sie jetzt ein wenig weiter. Was ist noch fünf Einheiten von Null entfernt? Nun, minus fünf ist. Und alles, was weiter auf der Zahlenlinie von minus fünf liegt, wird noch weiter von null entfernt sein. Unser "Etwas" könnte also eine negative Zahl sein, die weiter von null entfernt ist als minus fünf. Das heißt, es wäre eine größer klingende Zahl, aber technisch gesehenweniger alsminus fünf, weil es sich auf dem Zahlenstrahl in die negative Richtung bewegt.
Unser "Etwas" 5 + 5x könnte also kleiner als -5 sein.
5 + 5x < -5
Der schnelle Weg, dies algebraisch zu tun, besteht darin, die Quantität auf der anderen Seite der Ungleichung, 5, mit negativ zu multiplizieren und dann das Ungleichungszeichen umzudrehen:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Dann wie gewohnt lösen.
\begin{ausgerichtet} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(5 von beiden Seiten subtrahieren)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{ausgerichtet}
Die beiden möglichen Lösungen der Ungleichung sind alsox> 0 oderx< −2. Überprüfe dich selbst, indem du ein paar mögliche Lösungen einsteckst, um sicherzustellen, dass die Ungleichung noch gilt.
Absolute Wertungleichungen ohne Lösung
Es gibt ein Szenario, in dem es geben würdekeine Lösungen für eine Absolutwertungleichung. Da absolute Werte immer positiv sind, können sie nicht gleich oder kleiner als negative Zahlen sein.
Also |x| < −2 hatkeine Lösungweil das Ergebnis eines Absolutwertausdrucks positiv sein muss.
Intervall-Notation
So schreiben Sie die Lösung zu unserem Hauptbeispiel inIntervall-Notation, überlegen Sie, wie die Lösung auf dem Zahlenstrahl aussieht. Unsere Lösung warx> 0 oderx< −2. Auf einer Zahlengeraden ist das ein offener Punkt bei 0, mit einer Linie, die sich bis ins Positive unendlich erstreckt, und ein offener Punkt bei -2, mit einer Linie, die sich bis ins negative Unendlich erstreckt. Diese Lösungen zeigen voneinander weg, nicht aufeinander zu, also nehmen Sie jedes Stück separat.
Für x > 0 auf einer Zahlengeraden gibt es einen offenen Punkt bei Null und dann eine Linie, die sich bis ins Unendliche erstreckt. In der Intervallnotation wird ein offener Punkt mit Klammern ( ) dargestellt und ein geschlossener Punkt oder Ungleichungen mit ≥ oder ≤ würden Klammern verwenden, [ ]. So fürx> 0, schreiben (0, ∞).
Die andere Hälfte,x< −2, auf einem Zahlenstrahl ist ein offener Punkt bei −2 und dann ein Pfeil bis − all. In Intervallnotation ist das (−∞, −2).
"Oder" in Intervallnotation ist das Vereinigungszeichen, .
Die Lösung in Intervallnotation ist also
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)