Wie fliegen Flugzeuge? Warum folgt ein Curveball einem so seltsamen Weg? Und warum musst du die vernagelndraußenIhrer Fenster bei Sturm? Die Antworten auf all diese Fragen sind die gleichen: Sie resultieren aus dem Bernoulli-Prinzip.
Das Bernoulli-Prinzip, manchmal auch Bernoulli-Effekt genannt, ist eines der wichtigsten Ergebnisse bei der Untersuchung der Fluiddynamik, das die Geschwindigkeit des Fluidstroms mit dem Fluiddruck in Beziehung setzt. Dies mag nicht besonders wichtig erscheinen, aber wie die große Bandbreite an Phänomenen zeigt, die sie erklären hilft, kann die einfache Regel viel über das Verhalten eines Systems aussagen. Fluiddynamik ist das Studium der bewegten Flüssigkeit, und daher ist es sinnvoll, dass das Prinzip und die dazugehörige Gleichung (Bernoulli-Gleichung) ziemlich regelmäßig im Feld auftauchen.
Das Kennenlernen des Prinzips, der Gleichung, die es beschreibt, und einiger Beispiele des Bernoulli-Prinzips in Aktion bereitet Sie auf viele Probleme vor, denen Sie in der Fluiddynamik begegnen werden.
Bernoulli-Prinzip
Das Bernoulli-Prinzip ist nach Daniel Bernoulli benannt, dem Schweizer Physiker und Mathematiker, der es entwickelt hat. Das Prinzip bezieht den Flüssigkeitsdruck auf seine Geschwindigkeit und Höhe und kann durch die Energieerhaltung erklärt werden. Kurz gesagt, wenn die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit zunimmt, muss entweder ihr statischer Druck zum Ausgleich abnehmen oder ihre potentielle Energie muss abnehmen.
Daraus ergibt sich der Zusammenhang mit der Energieerhaltung: Entweder kommt die zusätzliche Geschwindigkeit aus dem Potential Energie (d.h. die Energie, die es aufgrund seiner Position besitzt) oder aus der inneren Energie, die den Druck des Flüssigkeit.
Das Bernoulli-Prinzip erklärt daher die Hauptgründe für Fluidströmungen, die Physiker in der Fluiddynamik berücksichtigen müssen. Entweder strömt die Flüssigkeit aufgrund der Erhöhung (also ändert sich ihre potentielle Energie) oder sie fließt aufgrund von Druck Unterschiede in verschiedenen Teilen des Fluids (so bewegen sich Fluide in der Hochenergie-Hochdruckzone in den Niederdruckbereich) Zone). Das Prinzip ist ein sehr mächtiges Werkzeug, weil es die Gründe kombiniert, warum sich Flüssigkeit bewegt.
Das Wichtigste aus dem Prinzip ist jedoch, dass schneller strömende Flüssigkeiten einen geringeren Druck haben. Wenn Sie sich daran erinnern, können Sie die wichtigste Lehre aus dem Prinzip ziehen, und dies allein reicht aus, um viele Phänomene zu erklären, einschließlich der drei im einleitenden Absatz.
Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung bringt das Bernoulli-Prinzip in klarere, quantifizierbarere Ausdrücke. Die Gleichung besagt:
P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{ durchgehend konstant}
HierPist der Druck,ρist die Dichte der Flüssigkeit,vist die Strömungsgeschwindigkeit,Gist die Erdbeschleunigung undhaist die Höhe oder Tiefe. Der erste Term in der Gleichung ist einfach der Druck, der zweite Term ist die kinetische Energie des Flüssigkeit pro Volumeneinheit und der dritte Term ist die potentielle Gravitationsenergie pro Volumeneinheit für die Flüssigkeit. Dies wird alles mit einer Konstante gleichgesetzt, so dass Sie das sehen können, wenn Sie den Wert zu einem Zeitpunkt und den Wert zu einem späteren Zeitpunkt haben Zeit können Sie die beiden gleich einstellen, was sich als leistungsstarkes Werkzeug zur Lösung der Fluiddynamik erweist Probleme:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
Es ist jedoch wichtig, die Einschränkungen der Bernoulli-Gleichung zu beachten. Insbesondere wird davon ausgegangen, dass zwischen den Punkten 1 und 2 (den mit den Indizes gekennzeichneten Teilen) eine Stromlinie besteht, dass es einen stetigen Fluss gibt, es gibt keine Reibung in der Strömung (aufgrund der Viskosität in der Flüssigkeit oder zwischen der Flüssigkeit und den Rohrwänden) und dass die Flüssigkeit eine Konstante hat Dichte. Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall, aber für langsame Flüssigkeitsströmungen, die als laminare Strömung beschrieben werden können, sind die Näherungen der Gleichung angemessen.
Anwendungen des Bernoulli-Prinzips – ein Rohr mit einer Einschnürung
Das bekannteste Beispiel für das Bernoulli-Prinzip ist das Fließen einer Flüssigkeit durch ein horizontales Rohr, das sich in der Mitte verengt und dann wieder öffnet. Dies ist mit dem Bernoulli-Prinzip leicht zu berechnen, aber Sie müssen auch die Kontinuitätsgleichung verwenden, um es zu berechnen, die besagt:
ρA_1v_1= ρA_2v_2
Hier werden die gleichen Begriffe verwendet, abgesehen vonEIN, die für die Querschnittsfläche des Rohres steht, und da die Dichte an beiden Stellen gleich ist, können diese Terme für diese Berechnung vernachlässigt werden. Ordnen Sie zunächst die Kontinuitätsgleichung neu an, um einen Ausdruck für die Geschwindigkeit im eingeschnürten Teil zu erhalten:
v_2=\frac{A_1v_1}{A_2}
Dies kann dann in die Bernoulli-Gleichung eingesetzt werden, um den Druck im kleineren Abschnitt des Rohrs aufzulösen:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \\ P_1 + \frac{1}{2 } \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho \bigg(\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 + \rho gh_2
Dies kann neu arrangiert werden fürP2, wobei darauf hingewiesen wird, dass in diesem Fallha1 = ha2, und so hebt sich der dritte Term auf jeder Seite auf.
P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho \bigg( v_1^2 - \bigg (\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 \bigg)
Ausgehend von der Dichte von Wasser bei 4 Grad Celsiusρ= 1000 kg/m²3, der Wert vonP1 = 100 kPa, die Anfangsgeschwindigkeit vonv1 = 1,5 m/s und Bereiche vonEIN1 = 5.3 × 10−4 ich2 undEIN2 = 2.65 × 10−4 ich2. Das gibt:
\begin{aligned} P_2 &= 10^5 \text{ Pa} + \frac{1}{2} × 1000 \text{ kg/m}^3 \bigg( (1,5 \text{ m/s})^ 2 - \bigg (\frac{5.3 × 10^{−4} \text{ m}^2 × 1,5 \text{ m/s}}{2,65 × 10^{−4} \text{ m}^2 } \bigg)^2 \bigg) \\ &= 9,66 × 10^4 \text{Pa} \end{ausgerichtet}
Wie vom Bernoulli-Prinzip vorhergesagt, nimmt der Druck ab, wenn die Geschwindigkeit aus dem sich verengenden Rohr zunimmt. Die Berechnung des anderen Teils dieses Prozesses beinhaltet im Grunde dasselbe, außer in umgekehrter Reihenfolge. Technisch gesehen kommt es während der Einschnürung zu einem gewissen Verlust, aber für ein vereinfachtes System, bei dem Sie die Viskosität nicht berücksichtigen müssen, ist dies ein akzeptables Ergebnis.
Andere Beispiele für das Bernoulli-Prinzip
Einige andere Beispiele von Bernoullis Prinzip in Aktion können helfen, die Konzepte zu verdeutlichen. Das bekannteste Beispiel stammt aus der Aerodynamik und dem Studium des Flugzeugflügeldesigns oder von Tragflächen (obwohl es einige kleinere Meinungsverschiedenheiten über die Details gibt).
Der obere Teil eines Flugzeugflügels ist gekrümmt, während der untere Teil flach ist, und da der Luftstrom von einer Kante des Flügel in gleichen Zeiträumen aneinander, dies führt zu einem geringeren Druck auf der Oberseite des Flügels als auf der Unterseite des Flügels Flügel. Die begleitende Druckdifferenz (nach dem Bernoulli-Prinzip) erzeugt die Auftriebskraft, die dem Flugzeug Auftrieb verleiht und ihm hilft, vom Boden abzuheben.
Auch Wasserkraftwerke arbeiten auf zwei Arten nach dem Bernoulli-Prinzip. Zuerst fließt Wasser aus einem Stausee in einem Wasserkraftwerk durch einige große Rohre, die als Druckrohre bezeichnet werden, bevor es am Ende auf eine Turbine trifft. In Bezug auf die Bernoulli-Gleichung nimmt die potentielle Gravitationsenergie ab, wenn das Wasser durch das Rohr fließt, aber in vielen Designs tritt das Wasser an der. ausgleichGeschwindigkeit. Aus der Gleichung geht klar hervor, dass es eine Druckänderung gegeben haben muss, um die Gleichung auszugleichen, und tatsächlich bezieht diese Art von Turbine ihre Energie aus der Druckenergie in der Flüssigkeit.
Ein wohl einfacher zu verstehender Turbinentyp wird als Impulsturbine bezeichnet. Dies funktioniert, indem die Größe des Rohres vor der Turbine (mit einer Düse) reduziert wird, wodurch die Geschwindigkeit des Wassers (nach der Kontinuitätsgleichung) und reduziert den Druck (nach Bernoulli’s Prinzip). Die Energieübertragung erfolgt in diesem Fall aus der kinetischen Energie des Wassers.