Das Produkt zweier Skalargrößen ist ein Skalar, und das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ist ein Vektor, aber was ist mit dem Produkt zweier Vektoren? Ist es ein Skalar oder ein anderer Vektor? Die Antwort ist, es könnte entweder sein!
Es gibt zwei Möglichkeiten, ein Vektorprodukt zu berechnen. Eine besteht darin, ihr Punktprodukt zu nehmen, was einen Skalar ergibt, und die andere besteht darin, ihr Kreuzprodukt zu nehmen, was einen anderen Vektor ergibt. Welches Produkt verwendet wird, hängt vom jeweiligen Szenario und der gesuchten Menge ab.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen dritten Vektor, der senkrecht zum perpendicular Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird und deren Größe von der relativen Rechtwinkligkeit der beiden abhängt Vektoren.
Definition des Kreuzprodukts von Vektoren
Wir definieren zunächst das Kreuzprodukt der Einheitsvektorenich, jundk(Vektoren der Größenordnung 1, die in diex-, y-undz-Komponentenrichtungen des kartesischen Standardkoordinatensystems) wie folgt:
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
Beachten Sie, dass diese Beziehungen antikommutativ sind, d. h. wenn wir die Reihenfolge der Vektoren ändern, aus denen wir das Produkt nehmen, wird das Vorzeichen des Produkts umgedreht:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
Aus den obigen Definitionen können wir die Formel für das Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren herleiten. Schreibe zuerst Vektoreneinundbwie folgt:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
Durch Multiplikation der beiden Vektoren erhalten wir:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ fett{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ mal i} + a_zb_y\bold{k\mal j} + a_zb_z\bold{k\times k}
Unter Verwendung der obigen Einheitsvektorbeziehungen vereinfacht sich dies zu:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\bold{k}
(Beachten Sie, dass die Terme, deren Kreuzprodukt 0 war, die Terme sind, die das Punktprodukt (auch Skalarprodukt genannt) bilden!Das ist kein Zufall.)
Mit anderen Worten:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ wobei} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Die Größe des Kreuzprodukts kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden.
Die Kreuzproduktformel kann auch als Determinante der folgenden Matrix ausgedrückt werden:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {Matrix}\Bigg| \\ = \Groß|\begin{matrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrix}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix}\Groß|\bold{k}
\text{wobei die Determinante } \Big|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\Big| = ad - bc
Eine andere, oft sehr bequeme Formulierung des Kreuzprodukts ist (siehe das Ende dieses Artikels zur Herleitung):
\bold{a×b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin(θ)\bold{n}
Wo:
- |ein| ist die Größe (Länge) des Vektorsein
- |b| ist die Größe (Länge) des Vektorsb
- θ ist der Winkel zwischen einund b
- neinist der Einheitsvektor senkrecht zu der von aufgespannten Ebene einundb
Senkrechte Vektoren und die Rechte-Hand-Regel
In der Beschreibung des Kreuzprodukts wird angegeben, dass die Richtung des Kreuzprodukts senkrecht auf der durch den Vektor aufgespannten Ebene stehteinund Vektorb. Aber das lässt zwei Möglichkeiten: Es könnte zeigenausdas Flugzeug oderindie von diesen Vektoren aufgespannte Ebene. Die Realität ist, dass wir uns tatsächlich für beides entscheiden können, solange wir konsequent sind. Die von Mathematikern und Wissenschaftlern gleichermaßen bevorzugte Richtung wird jedoch durch etwas bestimmt, das so genannteRechte-Hand-Regel.
Um die Richtung eines Vektor-Kreuzprodukts mit der Rechte-Hand-Regel zu bestimmen, zeigen Sie mit dem Zeigefinger der rechten Hand in Richtung des Vektorseinund dein Mittelfinger in Richtung des Vektorsb. Ihr Daumen zeigt dann in Richtung des Kreuzproduktvektors.
Manchmal sind diese Anweisungen auf einem flachen Blatt Papier schwer darzustellen, daher werden oft die folgenden Konventionen getroffen:
Um einen Vektor anzuzeigen, der in die Seite hineingeht, zeichnen wir einen Kreis mit einem X darin (stellen Sie sich vor, dass dies die Schwanzfedern am Ende des Pfeils darstellt, wenn Sie ihn von hinten betrachten). Um einen Vektor anzuzeigen, der in die entgegengesetzte Richtung aus der Seite herausgeht, zeichnen wir einen Kreis mit einem Punkt darin (stellen Sie sich dies als die Spitze des Pfeils vor, die aus der Seite herauszeigt).
•••n / A
Eigenschaften des Kreuzprodukts
Im Folgenden sind einige Eigenschaften des Vektorkreuzprodukts aufgeführt:
\#\Text 1. Wenn } \bold{a} \text{ und } \bold{b} \text{ parallel sind, dann gilt } \bold{a\times b} = 0
\#\text{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}
\#\text{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\text{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\#\text{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Wo }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrix }\Bigg|
Geometrische Interpretation des Kreuzprodukts
Wenn das Vektorkreuzprodukt in Form von sin (θ) formuliert wird, kann seine Größe als Darstellung der von den beiden Vektoren aufgespannten Fläche des Parallelogramms interpretiert werden. Dies ist, weil füra × b, |b|sin (θ) = die Höhe des Parallelogramms, wie gezeigt, und |ein| ist die Basis.
•••Dana Chen | Wissenschaft
Der Betrag des Vektortripelproduktsa (b × c) kann wiederum als das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds interpretiert werdenein, bundc. Das ist weil(b × c) gibt einen Vektor an, dessen Betrag die von Vektor aufgespannte Fläche istbund Vektorc, und deren Richtung senkrecht zu diesem Bereich steht. Berechnung des Skalarprodukts von Vektoreinmit diesem Ergebnis multipliziert im Wesentlichen die Grundfläche mit der Höhe.
Beispiele
Beispiel 1:Die Kraft auf ein Ladungsteilchenqmit Geschwindigkeit bewegenvim MagnetfeldBwird gegeben von:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
Angenommen, ein Elektron durchläuft ein Magnetfeld von 0,005 T mit einer Geschwindigkeit von 2 × 107 Frau. Wenn es senkrecht durch das Feld geht, dann ist die Kraft, die es spüren wird:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005 )\sin(90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
Bewegt sich das Elektron jedoch parallel zum Feld, dann ist θ = 0 und sin (0) = 0, was die Kraft 0 macht.
Beachten Sie, dass für das Elektron, das senkrecht durch das Feld geht, diese Kraft dazu führt, dass es sich auf einer Kreisbahn bewegt. Den Radius dieser Kreisbahn erhält man, indem man die Magnetkraft gleich der Zentripetalkraft setzt und nach Radius. auflöstr:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}
Für das obige Beispiel ergibt das Einsetzen der Zahlen einen Radius von etwa 0,0227 m.
Beispiel 2:Die physikalische Größe Drehmoment wird auch unter Verwendung eines Vektorkreuzprodukts berechnet. Wenn eine KraftFwird auf ein Objekt an Position angewendetrvom Drehpunkt, das Drehmomentτüber den Drehpunkt ist gegeben durch:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Betrachten Sie die Situation, in der eine Kraft von 7 N schräg auf das Ende einer 0,75-Stange aufgebracht wird, deren anderes Ende an einem Zapfen befestigt ist. Der Winkel zwischenrundFbeträgt 70 Grad, so dass das Drehmoment berechnet werden kann:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0,75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4,93 \text{Nm}\bold{ n}
Die Richtung des Drehmoments,nein, wird über die Rechte-Hand-Regel gefunden. Wenn es auf das obige Bild angewendet wird, gibt dies eine Richtung an, die aus der Seite oder dem Bildschirm herauskommt. Im Allgemeinen möchte ein auf ein Objekt aufgebrachtes Drehmoment eine Drehung des Objekts bewirken. Der Drehmomentvektor liegt immer in der gleichen Richtung wie die Drehachse.
Tatsächlich kann in dieser Situation eine vereinfachte Rechte-Hand-Regel verwendet werden: Verwenden Sie Ihre rechte Hand, um die Rotationsachse in zu "greifen". so, dass sich Ihre Finger in die Richtung kräuseln, in der das zugehörige Drehmoment das Objekt in Drehung versetzen möchte. Ihr Daumen zeigt dann in Richtung des Drehmomentvektors.
Ableitung der Kreuzproduktformel
\text{Hier zeigen wir, wie die Kreuzproduktformel } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ kann abgeleitet werden.}
Betrachten Sie zwei Vektoreneinundbmit Winkelθzwischen ihnen. Ein rechtwinkliges Dreieck kann gebildet werden, indem eine Linie von der Spitze des Vektors gezogen wirdeinzu einem senkrechten Kontaktpunkt auf Vektorb.
Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir die folgende Beziehung:
\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{Wobei }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ die Projektion des Vektors } \bold. ist {a} \text{ auf Vektor } \bold{b}.
Den Ausdruck etwas vereinfachend erhalten wir folgendes:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Als nächstes multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit |b|2 und verschieben Sie den ersten Term auf die rechte Seite, um Folgendes zu erhalten:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
Arbeiten Sie mit der rechten Seite, multiplizieren Sie alles und vereinfachen Sie dann:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ +x .b_yb_z \\ +x .a_2_z)_2_z)_2 (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
Wenn wir das Ergebnis gleich der linken Seite der vorherigen Gleichung setzen, erhalten wir die folgende Beziehung:
|\bold{a\times b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
Dies zeigt uns, dass die Größen in der Formel gleich sind, also ist das letzte, was zum Beweis der Formel zu tun ist, zu zeigen, dass auch die Richtungen gleich sind. Dies kann einfach durch die Einnahme der Punktprodukte von erfolgeneinmita × bundbmita × bund zeigen, dass sie 0 sind, was bedeutet, dass die Richtung vona × b steht senkrecht zu beiden.