Die Lösung der Geheimnisse des Elektromagnetismus war bis heute eine der größten Errungenschaften der Physik, und die gewonnenen Erkenntnisse sind vollständig in den Maxwell-Gleichungen enthalten.
James Clerk Maxwell gibt diesen vier eleganten Gleichungen seinen Namen, aber sie sind der Höhepunkt jahrzehntelanger Arbeit vieler Physiker, darunter Michael Faraday, Andre-Marie Ampere und Carl Friedrich Gauß – die drei der vier Gleichungen ihren Namen geben – und viele Andere. Während Maxwell selbst nur einer der vier Gleichungen einen Term hinzufügte, hatte er die Weitsicht und das Verständnis, um Sammeln Sie die besten Arbeiten, die zum Thema gemacht wurden, und präsentieren Sie sie in einer Art und Weise, die noch von Physiker heute.
Viele, viele Jahre lang glaubten Physiker, Elektrizität und Magnetismus seien getrennte Kräfte und unterschiedliche Phänomene. Aber durch die experimentelle Arbeit von Leuten wie Faraday wurde immer klarer, dass es sich tatsächlich um zwei Seiten der dasselbe Phänomen, und die Maxwell-Gleichungen zeigen dieses einheitliche Bild, das heute noch genauso gültig ist wie im 19. Jahrhundert. Wenn Sie Physik auf höherem Niveau studieren möchten, müssen Sie unbedingt die Maxwell-Gleichungen kennen und anwenden.
Maxwell-Gleichungen
Die Maxwell-Gleichungen lauten sowohl in der Differentialform als auch in der Integralform wie folgt. (Beachten Sie, dass die Kenntnis von Differentialgleichungen hier zwar hilfreich ist, ein konzeptionelles Verständnis jedoch auch ohne sie möglich ist.)
Gaußsches Gesetz für Elektrizität Electric
Differentialform:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Integrale Form:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Kein Monopolgesetz / Gauß’sches Gesetz für Magnetismus
Differentialform:
\bm{∇∙B} = 0
Integrale Form:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
Faradaysches Induktionsgesetz
Differentialform:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Integrale Form:
\int \bm{E∙}d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
Ampere-Maxwell-Gesetz / Ampere-Gesetz
Differentialform:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Integrale Form:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
In den Maxwell-Gleichungen verwendete Symbole
Maxwells Gleichungen verwenden eine ziemlich große Auswahl an Symbolen, und es ist wichtig, dass Sie verstehen, was diese bedeuten, wenn Sie lernen möchten, sie anzuwenden. Hier also ein Überblick über die Bedeutung der verwendeten Symbole:
B= magnetisches Feld
E= elektrisches Feld
ρ= elektrische Ladungsdichte
ε0= Dielektrizitätskonstante des freien Raums = 8,854 × 10-12 ich-3 kg-1 so4 EIN2
q= elektrische Gesamtladung (Nettosumme aus positiven Ladungen und negativen Ladungen)
𝜙B = magnetischer Fluss
J= Stromdichte
ich= elektrischer Strom
c= Lichtgeschwindigkeit = 2,998 × 108 Frau
μ0 = Durchlässigkeit des freien Raums = 4π × 10−7 N / A2
Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass ∇ der del-Operator ist, ein Punkt zwischen zwei Größen (X ∙ Ja) zeigt ein Skalarprodukt, ein fett gedrucktes Multiplikationssymbol zwischen zwei Größen ist ein Vektorprodukt (X × Ja), dass der del-Operator mit einem Punkt „Divergenz“ genannt wird (z. B. ∇ ∙ X= Divergenz vonX= divX) und ein del-Operator mit einem Skalarprodukt heißt curl (z. B. ∇× Ja= Locken vonJa= LockenJa). Endlich, dasEINin dEINbedeutet die Fläche der geschlossenen Fläche, für die Sie berechnen (manchmal geschrieben als dS), und dersoin dsoist ein sehr kleiner Teil der Grenze der offenen Fläche, für die Sie berechnen (obwohl dies manchmal d. istl, bezogen auf eine infinitesimal kleine Linienkomponente).
Herleitung der Gleichungen
Die erste Gleichung der Maxwell-Gleichungen ist das Gaußsche Gesetz und besagt, dass der elektrische Nettofluss durch a geschlossene Oberfläche ist gleich der Gesamtladung, die in der Form enthalten ist, geteilt durch die Permittivität von freiem Platz. Dieses Gesetz kann aus dem Coulomb-Gesetz abgeleitet werden, nachdem der wichtige Schritt unternommen wurde, das Coulomb-Gesetz in Bezug auf ein elektrisches Feld und dessen Auswirkung auf eine Testladung auszudrücken.
Die zweite der Maxwell-Gleichungen entspricht im Wesentlichen der Aussage „es gibt keine magnetischen Monopole“. Es sagt aus dass der Nettomagnetfluss durch eine geschlossene Fläche immer 0 ist, weil Magnetfelder immer das Ergebnis von a. sind Dipol. Das Gesetz lässt sich aus dem Biot-Savart-Gesetz ableiten, das das von einem Stromelement erzeugte Magnetfeld beschreibt.
Die dritte Gleichung – das Faradaysche Induktionsgesetz – beschreibt, wie ein sich änderndes Magnetfeld eine Spannung in einer Draht- oder Leiterschleife erzeugt. Es wurde ursprünglich aus einem Experiment abgeleitet. Da jedoch ein sich ändernder magnetischer Fluss eine elektromotorische Kraft (EMK oder Spannung) und damit einen elektrischen Strom in a. induziert Drahtschleife und die Tatsache, dass EMF als das Linienintegral des elektrischen Feldes um den Stromkreis herum definiert ist, ist das Gesetz leicht zu formulieren zusammen.
Die vierte und letzte Gleichung, das Ampere-Gesetz (oder das Ampere-Maxwell-Gesetz, um ihm Anerkennung zu geben) Beitrag) beschreibt, wie ein Magnetfeld durch eine bewegte Ladung oder eine sich ändernde elektrische erzeugt wird Feld. Das Gesetz ist das Ergebnis von Experimenten (und wurde daher – wie alle Maxwell-Gleichungen – nicht wirklich im traditionellen Sinne „abgeleitet“, sondern mitSatz von Stokesist ein wichtiger Schritt, um das Grundergebnis in die heute verwendete Form zu bringen.
Beispiele für Maxwell-Gleichungen: Gauß’sches Gesetz
Um ehrlich zu sein, besonders wenn Sie in Ihrer Vektorrechnung nicht genau sind, sehen Maxwells Gleichungen ziemlich entmutigend aus, obwohl sie alle relativ kompakt sind. Der beste Weg, sie wirklich zu verstehen, besteht darin, einige Beispiele für ihre praktische Anwendung durchzugehen, und das Gauss-Gesetz ist der beste Ausgangspunkt. Das Gaußsche Gesetz ist im Wesentlichen eine grundlegendere Gleichung, die die Aufgabe des Coulomb-Gesetzes erfüllt, und es ist Es ist ziemlich einfach, das Coulomb-Gesetz daraus abzuleiten, indem man das elektrische Feld betrachtet, das von einem Punkt erzeugt wird aufladen.
Die Ladung anrufenq, ist der entscheidende Punkt bei der Anwendung des Gaußschen Gesetzes die Wahl der richtigen „Oberfläche“, um den elektrischen Fluss zu untersuchen. In diesem Fall funktioniert eine Kugel gut, die eine Oberfläche hatEIN = 4πr2, da Sie die Kugel auf der Punktladung zentrieren können. Dies ist ein großer Vorteil bei der Lösung von Problemen wie diesem, da Sie dann kein variierendes Feld über die Oberfläche integrieren müssen; das Feld ist um die Punktladung symmetrisch und daher über die Oberfläche der Kugel konstant. Also die Integralform:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Kann ausgedrückt werden als:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Notiere dass derEdenn das elektrische Feld wurde durch eine einfache Größe ersetzt, weil sich das Feld einer Punktladung von der Quelle aus einfach in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Die Division durch die Kugeloberfläche ergibt nun:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Da die Kraft mit dem elektrischen Feld zusammenhängt durchE = F/q, woqist eine Testgebühr,F = qE, und so:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Wo die Indizes hinzugefügt wurden, um die beiden Gebühren zu unterscheiden. Dies ist das Coulomb-Gesetz in Standardform, das als einfache Folge des Gaußschen Gesetzes gezeigt wird.
Beispiele für Maxwell-Gleichungen: Faradaysches Gesetz
Mit dem Faradayschen Gesetz können Sie die elektromotorische Kraft in einer Drahtschleife berechnen, die aus einem sich ändernden Magnetfeld resultiert. Ein einfaches Beispiel ist eine Drahtschleife mit Radiusr= 20 cm, in einem Magnetfeld, das vonBich = 1 T zuBf = 10 T im Raum von ∆t= 5 s – was ist in diesem Fall die induzierte EMF? Die integrale Form des Gesetzes beinhaltet den Fluss:
\int \bm{E∙}d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
was definiert ist als:
ϕ = BA \cos(θ)
Der Schlüsselteil des Problems besteht hier darin, die Änderungsrate des Flusses zu ermitteln, aber da das Problem ziemlich einfach ist, können Sie die partielle Ableitung durch eine einfache „Änderung“ jeder Größe ersetzen. Und das Integral bedeutet wirklich nur die elektromotorische Kraft, also können Sie das Faradaysche Induktionsgesetz umschreiben als:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos(θ)}{∆t}
Wenn wir annehmen, dass die Drahtschleife ihre Normale auf das Magnetfeld ausgerichtet hat,θ= 0° und damit cos (θ) = 1. Diese Blätter:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Das Problem kann dann gelöst werden, indem die Differenz zwischen dem anfänglichen und dem endgültigen Magnetfeld und der Fläche der Schleife wie folgt ermittelt wird:
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0.2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0.23 \text{ V } \end{ausgerichtet}
Dies ist nur eine kleine Spannung, aber das Faradaysche Gesetz wird trotzdem auf die gleiche Weise angewendet.
Beispiele für Maxwell-Gleichungen: Ampere-Maxwell-Gesetz
Das Ampere-Maxwell-Gesetz ist die letzte der Maxwell-Gleichungen, die Sie regelmäßig anwenden müssen. Die Gleichung kehrt in Abwesenheit eines sich ändernden elektrischen Felds zum Ampere-Gesetz zurück, daher ist dies das am einfachsten zu betrachtende Beispiel. Sie können damit die Gleichung für ein Magnetfeld herleiten, das sich aus einem geraden, stromdurchflossenen Draht ergibtich, und dieses grundlegende Beispiel reicht aus, um zu zeigen, wie die Gleichung verwendet wird. Das vollständige Gesetz lautet:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Aber ohne sich änderndes elektrisches Feld reduziert es sich auf:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Nun, wie beim Gaußschen Gesetz, wenn Sie einen Kreis für die Oberfläche wählen, der auf der Drahtschleife zentriert ist, schlägt die Intuition vor, dass das resultierende Magnetfeld wird symmetrisch sein, und so können Sie das Integral durch ein einfaches Produkt aus dem Umfang der Schleife und der magnetischen Feldstärke ersetzen. Verlassen:
B × 2πr = μ_0 I
Dividieren durch 2πrgibt:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Welches ist der akzeptierte Ausdruck für das Magnetfeld in der Fernerdurch einen geraden stromführenden Draht entsteht.
Elektromagnetische Wellen
Als Maxwell seine Gleichungen zusammenstellte, fing er an, Lösungen dafür zu finden, um verschiedene zu erklären Phänomene in der realen Welt, und die dadurch gewonnene Einsicht in das Licht ist eines der wichtigsten Ergebnisse, die er erhalten.
Denn ein sich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld (nach dem Ampere-Gesetz) und ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt magnetic ein elektrisches Feld (nach dem Faradayschen Gesetz), hat Maxwell herausgefunden, dass eine sich selbst ausbreitende elektromagnetische Welle sein könnte möglich. Er verwendete seine Gleichungen, um die Wellengleichung zu finden, die eine solche Welle beschreiben würde, und stellte fest, dass sie sich mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen würde. Dies war eine Art „Heureka“-Moment; er erkannte, dass Licht eine Form elektromagnetischer Strahlung ist, die genauso funktioniert wie das Feld, das er sich vorgestellt hat!
Eine elektromagnetische Welle besteht aus einer elektrischen Feldwelle und einer magnetischen Feldwelle, die hin und her schwingen und im rechten Winkel zueinander ausgerichtet sind. Die Schwingung des elektrischen Teils der Welle erzeugt das magnetische Feld, und die Schwingung dieses Teils erzeugt wiederum ein elektrisches Feld, immer weiter, während sie durch den Raum wandert.
Wie jede andere Welle hat eine elektromagnetische Welle eine Frequenz und eine Wellenlänge, und das Produkt davon ist immer gleichc, die Lichtgeschwindigkeit. Elektromagnetische Wellen sind überall um uns herum, und neben sichtbarem Licht werden andere Wellenlängen allgemein als Radiowellen, Mikrowellen, Infrarot, Ultraviolett, Röntgenstrahlen und Gammastrahlen bezeichnet. Alle diese Formen elektromagnetischer Strahlung haben die gleiche Grundform, wie sie durch die Maxwell-Gleichungen erklärt wird, aber ihre Energien variieren mit der Frequenz (d. h. eine höhere Frequenz bedeutet eine höhere Energie).
Für einen Physiker war es also Maxwell, der sagte: „Es werde Licht!“