Addieren Sie die Werte der drei Winkel in einem beliebigen Dreieck, und Sie erhalten 180 Grad. Wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck haben, beträgt einer seiner Winkel per Definition 90 Grad. Das heißt, die Summe der beiden anderen Winkel muss 90 Grad betragen, und wenn man einen kennt, kann man sofort den anderen finden. Aber wie findet man die Winkel, wenn man es auch nicht kennt? Die Antwort besteht darin, sich auf die andere wichtige Eigenschaft des Dreiecks zu verlassen, die Längen seiner Seiten. Sie hängen mit der Größe der Winkel zusammen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Finden Sie die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, indem Sie ihren Sinus, Kosinus oder Tangens berechnen, die Funktionen der Längen der Seiten des Dreiecks sind.
Sinus, Cosinus und Tangens
Wenn Sie wählen, welchen der beiden Winkel (ø) in einem rechtwinkligen Dreieck Sie finden möchten, legen Sie drei Seiten in Bezug darauf fest. Die Linie, die den Winkel berührt und sich bis zum 90-Grad-Winkel erstreckt, wird als bezeichnet
benachbartSeite, während die dem Winkel gegenüberliegende Seite dieGegenteilSeite. DasHypotenuseist immer die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. Basierend auf diesen Definitionen verwenden Mathematiker drei Verhältnisse, die den Winkel in Bezug auf die Seitenlängen definieren:Sinus (Sünde)ist das Verhältnis der Gegenseite zur Hypotenuse:
\sin ø = \frac{\text{Gegenteil}}{\text{Hypotenuse}}
Kosinus (cos)ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Hypotenuse:
\cos ø = \frac{\text{adjacent}}{\text{Hypotenuse}}
Tangente (bräunlich)ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:
\tan ø = \frac{\text{gegenüber}}{\text{angrenzend}}
Jedes Verhältnis jedes Linienpaares entspricht einem bestimmten Winkel, und diese Verhältnisse sind zusammen mit den von ihnen definierten Winkeln tabellarisch aufgeführt. Wenn Sie die Längen von mindestens zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks messen können, müssen Sie nur den Sinus, Cosinus oder Tangens des Winkels berechnen und in einer Tabelle nachschlagen.
Eine Leiter gegen eine Wand
Eine der bekanntesten praktischen Anwendungen dieser Prinzipien ist eine Leiter, die an einer vertikalen Wand ruht. Die Größe der Winkel, die die Leiter mit dem Boden und der Wand bildet, ist von entscheidender Bedeutung. Bei einem zu kleinen Winkel zur Wand fällt die Leiter nach hinten, bei einem zu kleinen Winkel zum Boden rutscht die Leiter. Da der Winkel zwischen Wand und Boden 90 Grad beträgt, können Sie die beiden Winkel der Leiter mit Sinus, Cosinus oder Tangens berechnen und so einen Unfall vermeiden.
Die Leiter bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Dieser Abstand ist die angrenzende Seite bei der Bestimmung des Winkels, den die Leiter mit dem Boden bildet.
Verwenden Sie Kosinustabellen, um den Winkel zu ermitteln, den die Leiter mit dem Boden bildet. Berechnen Sie das Verhältnis der angrenzenden Seite zur Hypotenuse und schlagen Sie dann das Verhältnis in einer Kosinustabelle nach, um den entsprechenden Winkel zu finden.
Berechnen Sie den Winkel, den die Leiter mit der Wand bildet, indem Sie den gerade gefundenen Winkel von 90 subtrahieren. Alternativ können Sie den Wert dieses Winkels mithilfe einer Sinustabelle ermitteln.
Beispiel
Eine 20-Fuß-Leiter ruht an der Seite eines Hauses, und der Abstand vom Fuß der Leiter zum Fundament beträgt 12 Fuß. Welche Winkel bildet die Leiter mit dem Boden und dem Haus?
Berechnen Sie den Kosinus des Winkels, den die Leiter mit dem Boden bildet. Es ist
\frac{12}{20} = 0,6
Wenn Sie eine Kosinustabelle (oder einen wissenschaftlichen Taschenrechner) verwenden, werden Sie feststellen, dass der Winkel fast genau 53 Grad beträgt. Dadurch wird der Winkel der Leiter zur Wand
90 - 53 = 36 \text{ Grad}
Tipps
Wenn Sie Ihren Taschenrechner verwenden und den Kosinus eines Winkels kennen, drücken Sie die Taste cos-1 Taste, um den Winkel zu finden. Gleiches gilt für Sinus und Tangens.