Wenn die Schüler in der Grundschulmathematik lernen, einfache lineare Funktionen zu zeichnen, werden sie in das Konzept von a. eingeführtSteigung.
Eine lineare Funktion ist nur eine Funktion mit einem Graphen, der durch eine Art gerade Linie dargestellt wird, mit ihrer Platzierung und Richtung in Bezug auf diex- undja-Achsen abhängig von den Eigenschaften der Funktion.
Eine lineare Gleichung hat die Form
y=mx+b
Wojaist die abhängige Variable,ichist die Steigung, undbist eine Größe namensja-Schnittpunkt, der Punkt, den die Linie auf derja-Achse.
Aber vielleicht haben Sie auch schon von einem mathematischen Konstrukt namens a. gehörtKlasse, oder eine Prozentnote. Verworrene, mehrdeutige Begriffe wie "Steigungsverhältnis" und "Neigungsgrad" helfen nicht weiter.
Hängen Steigungen und Steigungen zusammen? Sie sind es tatsächlich, und beide sind in der Mathematik und in den Ingenieurwissenschaften unverzichtbar.
Was ist Steigung?
Im Alltag ist ein Hang ein stetiger, anhaltender Aufstieg oder Abstieg. Das bedeutet es auch in der Mathematik, aber auf formalere Weise.
Die Steigung einer Linie ist die Änderung des vertikalen (y) Abstands pro eine Einheitsänderung des horizontalen (x) Abstands.Wenn sich beispielsweise ein Punkt in einem Koordinatensystem um 11 Einheiten ins Positive verschiebtx-Richtung und vier Einheiten ins Negativeja-Richtung ist die Steigung (–4)/(11) = –0,364. Das Minuszeichen bedeutet die Linienwinkel "bergab" in Bezug auf die Horizontalex-Achse.
Eine horizontale Linie wie die Funktionja= 5, bei dem es durchgehend keine vertikale Änderung gibt, hat eine Steigung von 0.Eine vertikale Linie,sowiex = −3, hat eine undefinierte Steigungda es keine horizontale Änderung gibt und eine Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist.
Die Punkt-Steigungs-Formel
Die Punkt-Steigungs-Formel ist hilfreich, um die Gleichung einer Linie zu bestimmen, wenn entweder zwei Punkte oder ein Punkt und die Steigung bekannt sind. Es hat die Form
y − y_0 = m (x − x_0)
Wenn Sie die Koordinaten (12, −7) erhalten und erfahren, dass der Graph der Funktion eine Steigung von 1,25 hat, können Sie die allgemeine Gleichung bestimmen:
(y − (−7)) = 1,25(x − 12) \\ (y + 7) = 1,25x −15 \\ y = 1,25x − 22
Prozentnote
Klasse, oderProzentnote, ist nur die in Prozent ausgedrückte Steigung. Es wird oft in realen Situationen beim Bau von Straßen verwendet, von denen die steilsten überraschend niedrige Steigungswerte aufweisen.
Zum Beispiel hat der Pennsylvania Turnpike im Osten der USA eine maximale Steigung von 0,03, was bedeutet, dass er pro 100 horizontalen Fuß, die über ein Segment zurückgelegt werden, nicht mehr 3 Fuß steigt oder fällt. Die Prozentnote beträgt in diesem Fall 100 × 0,03 = 3 Prozent.
In der Trigonometrie,ja/x, oder"Aufstieg überlaufen",ist auch die Tangente des Winkels, den die auf- oder absteigende Linie und die Horizontale bilden. Dies bedeutet, dass der inverse Tangens (tan −1 oder arctan auf einem Taschenrechner) der Steigung gleich diesem Winkel.
- Bei der zermürbenden Tour de France, einem dreiwöchigen Rennen durch die Berge Westeuropas mit die besten männlichen Radfahrer der Welt, Noten von 13 Prozent gelten als außergewöhnlich heftig.
Neigungsentfernungsrechner
Wenn Sie die Steigung einer Linie kennen, können Sie die zurückgelegte horizontale Entfernung als Funktion der vertikalen Entfernung berechnen oder umgekehrt. Sagen Sie, Sie wissen, dass Sie eine 4-Prozent-Note steigen. Wenn Sie 30 Minuten gehen und sich Ihre horizontale Position mit einer Geschwindigkeit von 6,4 km/h ändert, wie viel Höhenmeter haben Sie dann gewonnen?
4 mph für 30 min (1/2 h) sind 2 Meilen, und wenn das prozentuale Gefälle 4 beträgt, beträgt die Steigung 4/100 = 0,04. Da die Steigung Anstieg über Lauf ist und in diesem Fall der "Lauf" 2 Meilen beträgt, kann der vertikale Gewinn wie folgt ermittelt werden:
\begin{aligned} 0,04 &= \frac{y}{2 \;\text{Meilen}} \\ y &= 0,04×2 \\ &= 0,08 \;\text{Meilen oder ungefähr} \\ &0. 08 \;\text{mi}×5.280 \;\text{ft/mi} = 422 \;\text{ft} \end{ausgerichtet}
