In der Mathematik ist ein Radikal jede Zahl, die das Wurzelzeichen (√) enthält. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist eine Quadratwurzel, wenn dem Wurzelzeichen kein hochgestellter Index vorangestellt ist, eine Kubikwurzel ist eine hochgestellte 3 davor (3√), eine vierte Wurzel, wenn ihr eine 4 vorangeht (4) und so weiter. Viele Radikale können nicht vereinfacht werden, daher erfordert die Division durch eins spezielle algebraische Techniken. Um sie zu nutzen, erinnern Sie sich an diese algebraischen Gleichungen:
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}
Numerische Quadratwurzel im Nenner
Im Allgemeinen sieht ein Ausdruck mit einer numerischen Quadratwurzel im Nenner so aus:
\frac{a}{\sqrt{b}}
Um diesen Bruch zu vereinfachen, rationalisieren Sie den Nenner, indem Sie den gesamten Bruch mit √. multiplizierenb/√b.
weil
\sqrt{b} × \sqrt{b} = \sqrt{b^2} = b
der Ausdruck wird
\frac{a\sqrt{b}}{b}
Beispiele:
1. Rationalisiere den Nenner des Bruchs
\frac{5}{\sqrt{6}}
Lösung:Multiplizieren Sie den Bruch mit √6/√6
\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} \\ \,\\ \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ oder } \frac{5 }{6}× \sqrt{6}
2. Vereinfache den Bruch
\frac{6\sqrt{32}}{3\sqrt{8}}
Lösung:In diesem Fall können Sie vereinfachen, indem Sie die Zahlen außerhalb des Wurzelzeichens und die darin enthaltenen Zahlen in zwei separate Operationen teilen:
\frac{6}{3} = 2 \\ \,\\ \frac{\sqrt{32}}{ \sqrt{8}} = \sqrt{4} = 2
Der Ausdruck reduziert sich auf
2 × 2 = 4
Dividieren durch Würfelwurzeln
Das gleiche allgemeine Verfahren gilt, wenn der Rest im Nenner ein Kubus, eine vierte oder höhere Wurzel ist. Um einen Nenner mit einer Kubikwurzel zu rationalisieren, müssen Sie nach einer Zahl suchen, die, wenn sie mit der Zahl unter dem Wurzelzeichen multipliziert wird, eine dritte Potenzzahl ergibt, die herausgenommen werden kann. Im Allgemeinen rationalisieren Sie die Zahl
\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \text{ durch Multiplikation mit } \frac{ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}
Beispiel:
1. Rationalisieren
\frac{5}{\sqrt[3]{5}}
Zähler und Nenner mit multiplizieren 3√25.
\frac{5 ×\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} ×\sqrt[3]{25}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{ 25}}{\sqrt[3]{125}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}
Die Zahlen außerhalb des Radikalzeichens heben sich auf und die Antwort lautet
\sqrt[3]{25}
Variablen mit zwei Termen im Nenner
Wenn ein Radikal im Nenner zwei Terme enthält, können Sie es normalerweise vereinfachen, indem Sie es mit seinem Konjugierten multiplizieren. Das Konjugierte enthält die gleichen zwei Terme, aber Sie kehren das Vorzeichen zwischen ihnen um Zum Beispiel das Konjugiert von
x + y \text{ ist } x - y
Wenn Sie diese miteinander multiplizieren, erhalten Sie
x^2 - y^2
Beispiel:
1. Den Nenner von rationalisieren
\frac{4}{x + \sqrt{3}}
Lösung: Oben und unten mit x − √3. multiplizieren
\frac{4(x - \sqrt{3})}{(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})}
Vereinfachen:
\frac{4x - 4\sqrt{3}}{x^2 - 3}