Ein Polygon ist jede geschlossene zweidimensionale Figur mit 3 oder mehr geraden (nicht gekrümmten) Seiten, und ein 12-seitiges Polygon wird als Zwölfeck bezeichnet. Ein regelmäßiges Zwölfeck ist eines mit gleichen Seiten und Winkeln, und es ist möglich, eine Formel zur Berechnung seiner Fläche abzuleiten. Ein unregelmäßiges Zwölfeck hat Seiten unterschiedlicher Länge und unterschiedlicher Winkel. Ein sechszackiger Stern ist ein Beispiel. Es gibt keine einfache Möglichkeit, die Fläche einer unregelmäßigen 12-seitigen Figur zu berechnen, es sei denn, Sie haben sie in einem Diagramm dargestellt und können die Koordinaten jedes der Eckpunkte ablesen. Wenn nicht, ist es am besten, die Figur in regelmäßige Formen zu unterteilen, für die Sie die Fläche berechnen können.
Berechnen der Fläche eines regelmäßigen 12-seitigen Polygons
Um die Fläche eines regelmäßigen Zwölfecks zu berechnen, müssen Sie seinen Mittelpunkt finden, und der beste Weg, dies zu tun, besteht darin, einen Kreis darum zu zeichnen, der nur jeden seiner Eckpunkte berührt. Der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt des Zwölfecks, und der Abstand vom Mittelpunkt der Figur zu jedem ihrer Eckpunkte ist einfach der Radius des Kreises (
r). Jede der 12 Seiten der Figur ist gleich lang, also bezeichne dies mitso.Sie benötigen eine weitere Messung, und das ist die Länge einer senkrechten Linie, die vom Mittelpunkt jeder Seite bis zur Mitte der 12-seitigen Form gezogen wird. Diese Linie ist als Apothem bekannt. Bezeichne seine Länge mitich. Es teilt jeden von den Radiuslinien gebildeten Abschnitt in zwei rechtwinklige Dreiecke. Du weißt es nichtich, aber Sie können es mit dem Satz des Pythagoras finden.
Die 12 Radiuslinien teilen den Kreis, den Sie um das Zwölfeck geschrieben haben, in 12 gleiche Abschnitte, sodass in der Mitte der Figur der Winkel jeder Linie mit der daneben liegenden 30 Grad beträgt. Jeder der 12 durch die Radiuslinien gebildeten Abschnitte besteht aus einem Paar rechtwinkliger Dreiecke mit Hypotenuserund ein Winkel von 15 Grad. Die dem Winkel benachbarte Seite istich, so dass Sie es mit r und dem Sinus des Winkels finden können.
\sin (15) = \frac{m}{r}\, \text{ und auflösen nach }m \\ m = r × \sin (15)
Sie können jetzt die Fläche jedes der gleichschenkligen Dreiecke finden, die in das Zwölfeck eingeschrieben sind, weil Sie die Länge der Basis kennen – die istso– und die Höhe,ich. Die Fläche jedes Dreiecks ist
\begin{aligned} \text{area} &= \frac{1}{2} × \text{ base} × \text{ height} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (s × r × \sin (15)) \end{ausgerichtet}
Es gibt 12 solcher Abschnitte, also multiplizieren Sie mit 12, um die Gesamtfläche der regulären 12-seitigen Form zu ermitteln:
\text{ Fläche des regelmäßigen Zwölfecks} = 6 × (s × r × \sin (15))
Finden der Fläche eines unregelmäßigen Zwölfecks
Es gibt keine Formel, um die Fläche eines unregelmäßigen Zwölfecks zu bestimmen, da die Längen der Seiten und der Winkel nicht gleich sind. Es ist sogar schwierig, das Zentrum zu bestimmen. Die beste Strategie besteht darin, die Figur in regelmäßige Formen zu unterteilen, deren Fläche zu berechnen und sie hinzuzufügen.
Wenn die Form in einem Diagramm dargestellt ist und Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte kennen, gibt es eine Formel, mit der Sie die Fläche berechnen können. Wenn jeder Punkt (nein) ist definiert durch (xnein, janein), und Sie gehen entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Figur herum, um eine Reihe von 12 Punkten zu erhalten. Der Bereich ist:
\text{Fläche} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}