In der Mathematik sagt Ihnen der Definitionsbereich einer Funktion, für welche Werte vonxdie Funktion ist gültig. Dies bedeutet, dass jeder Wert innerhalb dieser Domäne in der Funktion funktioniert, während alle Werte, die außerhalb der Domäne liegen, nicht funktionieren. Einige Funktionen (wie lineare Funktionen) haben Domänen, die alle möglichen Werte von enthaltenx. Andere (wie Gleichungen, bei denenxim Nenner erscheint) bestimmte Werte von ausschließenxum eine Division durch Null zu vermeiden. Quadratwurzelfunktionen haben eingeschränktere Domänen als einige andere Funktionen, da der Wert innerhalb der Quadratwurzel (bekannt als Radikand) eine positive Zahl sein muss, damit das Ergebnis "reell" ist.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion besteht aus allen Werten vonxdie zu einem Radikand führen, der gleich oder größer als Null ist.
Quadratwurzelfunktionen
Eine Quadratwurzelfunktion ist eine Funktion, die ein Radikal enthält, das häufiger als Quadratwurzel bezeichnet wird. Wenn Sie sich nicht sicher sind, wie das aussieht,
f(x) = \sqrt{x}
wird als grundlegende Quadratwurzelfunktion angesehen. In diesem Fall,xdarf keine negative Zahl sein; alle Reste müssen gleich oder größer als Null sein, damit das Ergebnis reell ist. Wenn Sie "imaginäre" Zahlen (mitichdefiniert als die Quadratwurzel von −1), wird es komplizierter, aber in den meisten Fällen müssen Sie nur reelle Zahlen berücksichtigen.
Dies bedeutet nicht, dass alle Quadratwurzelfunktionen so einfach sind wie die Quadratwurzel einer einzelnen Zahl. Komplexere Quadratwurzelfunktionen können Berechnungen innerhalb des Radikals enthalten, Berechnungen, die die des Radikals ändern Ergebnis oder sogar ein Radikal als Teil einer größeren Funktion (wie das Auftreten im Zähler oder Nenner von an Gleichung). Beispiele für diese komplexeren Funktionen sehen so aus
f (x) = 2\sqrt{x + 3} \text{ oder } g (x) = \sqrt{x - 4}
Domänen von Quadratwurzelfunktionen
Um den Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion zu berechnen, lösen Sie die Ungleichungx≥ 0 mitxdurch den Radikand ersetzt. Anhand eines der obigen Beispiele finden Sie die Domäne von
f (x) = 2\sqrt{x + 3}
durch Einstellen des Radikands (x+ 3) gleichxin der Ungleichheit. Dies gibt Ihnen die Ungleichung von
x + 3 0
die Sie lösen können, indem Sie 3 von beiden Seiten subtrahieren. Dies gibt Ihnen eine Lösung von x ≥ −3, was bedeutet, dass Ihre Domäne alle Werte vonxgrößer oder gleich –3. Sie können dies auch als [ −3, ∞] schreiben, wobei die Klammer links anzeigt, dass −3 ein bestimmter Grenzwert ist, während die Klammer rechts zeigt, dass ∞ nicht ist. Da der Radikand nicht negativ sein kann, müssen Sie nur für positive oder Nullwerte rechnen.
Bereich der Quadratwurzelfunktionen
Ein Begriff, der sich auf den Bereich einer Funktion bezieht, ist ihr Bereich. Während der Bereich einer Funktion alle Werte vonxdie innerhalb der Funktion gültig sind, ihr Bereich umfasst alle Werte vonjain der die Funktion gültig ist. Dies bedeutet, dass der Bereich einer Funktion allen gültigen Ausgaben dieser Funktion entspricht. Sie können dies berechnen, indem Sie einstellenjagleich der Funktion selbst, und dann auflösen, um alle Werte zu finden, die nicht gültig sind.
Für Quadratwurzelfunktionen bedeutet dies, dass der Bereich der Funktion alle Werte umfasst, die erzeugt werden, wennxergibt einen Radikand, der gleich oder größer als Null ist. Berechnen Sie die Domäne Ihrer Quadratwurzelfunktion und geben Sie dann den Wert Ihrer Domäne in die Funktion ein, um den Bereich zu bestimmen. Wenn Ihre Funktion ist
f (x) = \sqrt{x - 2}
und Sie berechnen die Domäne als alle Werte vonxgrößer oder gleich 2, dann jeder gültige Wert, den Sie eingegeben haben
y = \sqrt{x - 2}
erhalten Sie ein Ergebnis, das größer oder gleich Null ist. Daher ist Ihre Reichweiteja≥ 0 oder [0, ∞).