Stellen Sie sich vor, Sie bemannen eine Kanone mit dem Ziel, die Mauern einer feindlichen Burg zu zerstören, damit Ihre Armee einstürmen und den Sieg erringen kann. Wenn Sie wissen, wie schnell sich der Ball bewegt, wenn er die Kanone verlässt, und Sie wissen, wie weit die Wände entfernt sind, welchen Abschusswinkel müssen Sie dann mit der Kanone abfeuern, um die Wände erfolgreich zu treffen?
Dies ist ein Beispiel für ein Projektilbewegungsproblem, und Sie können dieses und viele ähnliche Probleme mithilfe der konstanten Beschleunigungsgleichungen der Kinematik und einiger grundlegender Algebra lösen.
Projektilbewegungso beschreiben Physiker eine zweidimensionale Bewegung, bei der die einzige Beschleunigung, die das betreffende Objekt erfährt, die konstante Abwärtsbeschleunigung aufgrund der Schwerkraft ist.
Auf der Erdoberfläche ist die konstante BeschleunigungeinentsprichtG= 9,8 m/s2, und ein Objekt, das eine Projektilbewegung durchmacht, ist infreier Fallmit dieser als einzige Quelle der Beschleunigung. In den meisten Fällen nimmt sie den Weg einer Parabel ein, sodass die Bewegung sowohl eine horizontale als auch eine vertikale Komponente hat. Obwohl es im wirklichen Leben einen (begrenzten) Effekt hätte, ignorieren die meisten Physik-Projektilbewegungsprobleme der High School glücklicherweise den Effekt des Luftwiderstands.
Sie können Projektilbewegungsprobleme mit dem Wert von lösenGund einige andere grundlegende Informationen über die aktuelle Situation, wie die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils und die Richtung, in die es sich fortbewegt. Zu lernen, diese Probleme zu lösen, ist für das Bestehen der meisten einführenden Physikkurse unerlässlich und führt Sie in die wichtigsten Konzepte und Techniken ein, die Sie auch in späteren Kursen benötigen.
Projektilbewegungsgleichungen
Die Gleichungen für die Projektilbewegung sind die konstanten Beschleunigungsgleichungen aus der Kinematik, da die Erdbeschleunigung die einzige Beschleunigungsquelle ist, die Sie berücksichtigen müssen. Die vier Hauptgleichungen, die Sie benötigen, um jedes Projektilbewegungsproblem zu lösen, sind:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
Hier,vsteht für Geschwindigkeit,v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit,einist die Beschleunigung (die gleich der Abwärtsbeschleunigung von istGbei allen Projektilbewegungsproblemen),soist die Verschiebung (aus der Ausgangsposition) und wie immer hast du Zeit,t.
Diese Gleichungen gelten technisch nur für eine Dimension, und tatsächlich könnten sie durch Vektorgrößen (einschließlich Geschwindigkeitv, Anfangsgeschwindigkeitv0 und so weiter), aber in der Praxis können Sie diese Versionen einfach separat verwenden, einmal imx-Richtung und einmal imja-Richtung (und wenn Sie jemals ein dreidimensionales Problem hatten, in derz-Richtung auch).
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass diesnur für konstante Beschleunigung verwendet, was sie perfekt macht, um Situationen zu beschreiben, in denen der Einfluss der Schwerkraft der einzige ist Beschleunigung, aber ungeeignet für viele reale Situationen, in denen zusätzliche Kräfte eingesetzt werden müssen berücksichtigt.
Für grundlegende Situationen ist dies alles, was Sie brauchen, um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, aber wenn nötig, können Sie andere einbeziehen Faktoren, wie die Höhe, aus der das Geschoss abgeschossen wurde, oder lösen sie sogar nach dem höchsten Punkt des Geschosses auf seiner Pfad.
Lösen von Projektilbewegungsproblemen
Nachdem Sie nun die vier Versionen der Projektil-Bewegungsformel gesehen haben, die Sie verwenden müssen, um Probleme lösen, können Sie anfangen, über die Strategie nachzudenken, die Sie verwenden, um eine Projektilbewegung zu lösen Problem.
Der grundlegende Ansatz besteht darin, das Problem in zwei Teile aufzuteilen: einen für die horizontale Bewegung und einen für die vertikale Bewegung. Dies wird technisch als horizontale Komponente und vertikale Komponente bezeichnet, und jeder hat einen entsprechenden Satz von Größen wie horizontale Geschwindigkeit, vertikale Geschwindigkeit, horizontale Verschiebung, vertikale Verschiebung und bald.
Bei diesem Ansatz können Sie die kinematischen Gleichungen verwenden und beachten, dass die Zeittist für horizontale und vertikale Komponenten gleich, aber Dinge wie die Anfangsgeschwindigkeit haben unterschiedliche Komponenten für die anfängliche vertikale Geschwindigkeit und die anfängliche horizontale Geschwindigkeit.
Entscheidend zu verstehen ist, dass für zweidimensionale BewegungirgendeinBewegungswinkel kann in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegt werden, aber wenn Wenn Sie dies tun, gibt es eine horizontale Version der fraglichen Gleichung und eine vertikale Ausführung.
Die Vernachlässigung der Auswirkungen des Luftwiderstands vereinfacht die Bewegungsprobleme des Projektils massiv, da die horizontale Richtung nie welche hat Beschleunigung in einer Projektilbewegung (freier Fall) Problem, da der Einfluss der Schwerkraft nur vertikal (d. h. zur Oberfläche des Erde).
Dies bedeutet, dass die horizontale Geschwindigkeitskomponente nur eine konstante Geschwindigkeit ist und die Bewegung nur stoppt, wenn die Schwerkraft das Projektil auf Bodenniveau bringt. Dies kann zur Bestimmung der Flugzeit verwendet werden, da sie vollständig von derja-Richtungsbewegung und kann vollständig anhand der vertikalen Verschiebung (d. h. der Zeit) berechnet werdentwenn die vertikale Verschiebung null ist, wird die Flugzeit angezeigt).
Trigonometrie bei Projektilbewegungsproblemen
Wenn das fragliche Problem Ihnen einen Startwinkel und eine Anfangsgeschwindigkeit liefert, müssen Sie Trigonometrie verwenden, um die horizontalen und vertikalen Geschwindigkeitskomponenten zu finden. Sobald Sie dies getan haben, können Sie die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Methoden verwenden, um das Problem tatsächlich zu lösen.
Im Wesentlichen erstellen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse geneigt im Startwinkel (θ) und der Betrag der Geschwindigkeit als Länge, und dann ist die benachbarte Seite die horizontale Komponente der Geschwindigkeit und die gegenüberliegende Seite die vertikale Geschwindigkeit.
Zeichnen Sie das rechtwinklige Dreieck wie angegeben, und Sie werden sehen, dass Sie die horizontalen und vertikalen Komponenten mithilfe der trigonometrischen Identitäten finden:
\text{cos}\; θ = \frac{\text{angrenzend}}{\text{Hypotenuse}}
\text{Sünde}\; θ = \frac{\text{Gegenteil}}{\text{Hypotenuse}}
Diese können also neu angeordnet werden (und mit entgegengesetztem =vja und angrenzend =vx, d. h. die vertikale Geschwindigkeitskomponente bzw. die horizontale Geschwindigkeitskomponente, und Hypotenuse =v0, die Anfangsgeschwindigkeit), um Folgendes zu geben:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Dies ist die gesamte Trigonometrie, die Sie tun müssen, um Probleme mit der Projektilbewegung zu lösen: Den Abschusswinkel in die Gleichung, verwenden Sie die Sinus- und Cosinusfunktionen Ihres Taschenrechners und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Anfangsgeschwindigkeit des Projektil.
Um dies anhand eines Beispiels mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s und einem Startwinkel von 60 Grad zu bewerkstelligen, sind die Komponenten:
\begin{ausgerichtet} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17.32 \;\text{m/s} \end{ausgerichtet}
Beispiel für ein Projektilbewegungsproblem: Ein explodierendes Feuerwerk
Stellen Sie sich vor, ein Feuerwerk hat eine Zündschnur, die so konstruiert ist, dass sie am höchsten Punkt ihrer Flugbahn explodiert und mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 60 m/s in einem Winkel von 70 Grad zur Horizontalen abgefeuert wird.
Wie würden Sie herausfinden, welche Höhe?haes explodiert bei? Und was wäre die Zeit nach dem Start, wenn es explodiert?
Dies ist eines von vielen Problemen, die die maximale Höhe eines Projektils betreffen, und der Trick zu deren Lösung besteht darin, zu beachten, dass bei der maximalen Höhe dieja-Komponente der Geschwindigkeit ist für einen Moment 0 m/s. Indem Sie diesen Wert fürvja und die am besten geeignete der kinematischen Gleichungen auswählen, können Sie dieses und jedes ähnliche Problem leicht angehen.
Wenn man sich zunächst die kinematischen Gleichungen ansieht, springt diese heraus (mit hinzugefügten Indizes, um zu zeigen, dass wir in vertikaler Richtung arbeiten):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
Diese Gleichung ist ideal, da Sie die Beschleunigung bereits kennen (einja = -G), die Anfangsgeschwindigkeit und den Startwinkel (damit Sie die vertikale Komponente berechnen könnenvy0). Da wir nach dem Wert von looking suchensoja (d.h. die Höheha) wannvja = 0, können wir die letzte vertikale Geschwindigkeitskomponente durch Null ersetzen und für. neu arrangierensoja:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Da macht es Sinn, die Aufwärtsrichtung zu nennenja, und da die ErdbeschleunigungGnach unten gerichtet ist (d. h. im -jaRichtung), können wir uns änderneinja zum -G. Endlich anrufensoja die Höheha, wir können schreiben:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Das einzige, was Sie also zur Lösung des Problems berechnen müssen, ist die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit, die Sie mit dem trigonometrischen Ansatz aus dem vorherigen Abschnitt ermitteln können. Mit den Angaben aus der Frage (60 m/s und 70 Grad zum Horizontalstart) ergibt sich also:
\begin{aligned} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56,38 \;\text{m/s} \end{aligned}
Jetzt können Sie nach der maximalen Höhe auflösen:
\begin{ausgerichtet} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56,38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9,8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162,19 \text{m} \end{ausgerichtet}
Das Feuerwerk wird also in etwa 162 Metern Höhe explodieren.
Fortsetzung des Beispiels: Flugzeit und zurückgelegte Entfernung
Nachdem die Grundlagen des Projektilbewegungsproblems rein auf der Grundlage der Vertikalbewegung gelöst wurden, kann der Rest des Problems leicht gelöst werden. Zuallererst kann die Zeit nach dem Start, zu der die Sicherung explodiert, mithilfe einer der anderen konstanten Beschleunigungsgleichungen ermittelt werden. Betrachten Sie die Optionen, der folgende Ausdruck:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
hat die zeitt, was Sie wissen möchten; die Verschiebung, die Sie für den maximalen Punkt des Fluges kennen; die anfängliche vertikale Geschwindigkeit; und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt der maximalen Höhe (von der wir wissen, dass sie null ist). Auf dieser Grundlage kann die Gleichung neu geordnet werden, um einen Ausdruck für die Flugzeit zu geben:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Also Werte einfügen und auflösen nachtgibt:
\begin{ausgerichtet} t &= \frac{2 × 162,19 \;\text{m}} {56,38 \; \text{m/s}} \\ &= 5,75 \;\text{s} \end{ausgerichtet}
Das Feuerwerk wird also 5,75 Sekunden nach dem Start explodieren.
Schließlich können Sie die zurückgelegte horizontale Strecke leicht anhand der ersten Gleichung bestimmen, die (in horizontaler Richtung) lautet:
v_x = v_{0x} + a_xt
Beachten Sie jedoch, dass es keine Beschleunigung in derx-Richtung, das ist einfach:
v_x = v_{0x}
Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit in derxDie Richtung ist während der gesamten Reise des Feuerwerks gleich. Angesichts dessenv = d/t, wodist die zurückgelegte Strecke, das ist leicht zu erkennend = vt, und so in diesem Fall (mitsox = d):
s_x = v_{0x}t
So kannst du ersetzenv0x Geben Sie mit dem trigonometrischen Ausdruck von vorhin die Werte ein und lösen Sie:
\begin{ausgerichtet} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5,75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{ausgerichtet}
Es wird also etwa 118 m vor der Explosion zurücklegen.
Zusätzliches Projektilbewegungsproblem: Das Dud-Feuerwerk
Stellen Sie sich für ein zusätzliches Problem das Feuerwerk aus dem vorherigen Beispiel vor (Anfangsgeschwindigkeit von 60 m/s abgefeuert) 70 Grad zur Horizontalen) explodierte nicht an der Spitze seiner Parabel und landete stattdessen auf dem Boden nicht explodiert. Können Sie in diesem Fall die Gesamtflugzeit berechnen? Wie weit wird es in horizontaler Richtung vom Startplatz entfernt landen, oder anders ausgedrückt, was ist das?Reichweitedes Projektils?
Dieses Problem funktioniert im Wesentlichen auf die gleiche Weise, wobei die vertikalen Komponenten von Geschwindigkeit und Verschiebung die wichtigsten Dinge, die Sie beachten müssen, um die Flugzeit zu bestimmen, und daraus können Sie die Reichweite. Anstatt die Lösung im Detail durchzuarbeiten, können Sie diese anhand des vorherigen Beispiels selbst lösen.
Es gibt Formeln für die Reichweite eines Projektils, die Sie nachschlagen oder aus den konstanten Beschleunigungsgleichungen ableiten können, aber das ist nicht so wirklich notwendig, weil Sie die maximale Höhe des Projektils bereits kennen und ab diesem Zeitpunkt nur noch im freien Fall unter der Wirkung von Schwere.
Das heißt, Sie können die Zeit bestimmen, die das Feuerwerk braucht, um auf den Boden zurückzufallen, und diese dann zur Flugzeit auf die maximale Höhe addieren, um die Gesamtflugzeit zu bestimmen. Von da an ist es der gleiche Vorgang, die konstante Geschwindigkeit in horizontaler Richtung neben der Flugzeit zu verwenden, um die Reichweite zu bestimmen.
Zeigen Sie, dass die Flugzeit 11,5 Sekunden beträgt und die Reichweite 236 m beträgt, und beachten Sie, dass Sie dies tun müssen Berechnen Sie die vertikale Komponente der Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem sie als Zwischenstufe auf den Boden trifft Schritt.