Wellenfunktionen: Definition, Eigenschaften, Gleichung & Vorzeichen

Richard Feynman sagte einmal: „Wenn du denkst, du verstehst die Quantenmechanik, verstehst du es nicht Quantenmechanik." Obwohl er zweifellos leicht glitschig war, ist an ihm definitiv die Wahrheit Aussage. Die Quantenmechanik ist selbst für die fortgeschrittensten Physiker ein anspruchsvolles Fach.

Das Thema ist so stark nicht intuitiv, dass es nicht wirklich viel Hoffnung auf Verständnis gibtWarumDie Natur verhält sich so, wie sie es auf der Quantenebene tut. Es gibt jedoch gute Nachrichten für Physikstudenten, die hoffen, den Unterricht in Quantenmechanik bestehen zu können. Die Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung sind zweifellos nützliche Werkzeuge, um zu beschreiben und vorherzusagen, was in den meisten Situationen passieren wird.

Vielleicht nichtkomplett verstandenwas genau passiert – denn das Verhalten von Materie auf dieser Skala istsoseltsam, es entzieht sich fast jeder Erklärung – aber die Werkzeuge, die Wissenschaftler zur Beschreibung der Quantentheorie entwickelt haben, sind für jeden Physiker unverzichtbar.

Die Quantenmechanik ist der Zweig der Physik, der sich mit extrem kleinen Teilchen und anderen Objekten ähnlicher Größenordnung wie Atomen befasst. Der Begriff „Quantum“ kommt von „Quantus“, was „wie groß“ bedeutet, bezieht sich aber im Kontext auf die Tatsache, dass Energie und andere Größen wie Drehimpuls nehmen diskrete, quantisierte Werte auf den Skalen von Quanten an Mechanik.

Dies steht im Gegensatz zu einem „kontinuierlichen“ Bereich möglicher Werte, wie etwa Mengen auf der Makroskala. Beispielsweise ist in der klassischen Mechanik jeder Wert für die Gesamtenergie von beispielsweise einer Kugel in Bewegung erlaubt, während in der Quantenmechanik Teilchen wie Elektronen nur bestimmte,FestEnergiewerte, wenn sie an ein Atom gebunden sind.

Es gibt viele andere Unterschiede zwischen quantenmechanischen Systemen und der Welt der klassischen Mechanik. In der Quantenmechanik haben beobachtbare Eigenschaften beispielsweise keinen definitiven Wertbevor du sie misst; sie existieren als Überlagerung mehrerer möglicher Werte.

Wenn Sie den Impuls eines Balls messen, messen Sie den realen, bereits existierenden Wert einer physikalischen Eigenschaft, aber wenn Sie den Impuls eines Teilchens messen, wählen Sie eine aus einer Auswahl möglicher Zuständedurch eine Messung. Die Ergebnisse von Messungen in der Quantenmechanik hängen von Wahrscheinlichkeiten ab, und daher können Wissenschaftler keine definitive Aussagen über das Ergebnis einer bestimmten Aussage auf die gleiche Weise wie im klassischen Mechanik.

Als einfaches Beispiel haben Partikel keine genau definierten Positionen, sondern einen festgelegten (und genau definierten) Bereich von Positionen im Raum, und Sie können die Wahrscheinlichkeitsdichte über den Bereich der möglichen Standorte. Sie können die Position eines Partikels messen und einen eindeutigen Wert erhalten, aber wenn Sie die Messung imgenau die gleichen Umstände, erhalten Sie ein anderes Ergebnis.

Es gibt auch viele andere ungewöhnliche Eigenschaften von Teilchen, wie zum Beispiel die Welle-Teilchen-Dualität, bei der jedes Materieteilchen eine zugehörige de Broglie-Welle hat. Alle kleinen Partikel zeigen je nach den Umständen sowohl partikelartiges als auch wellenartiges Verhalten.

Die Welle-Teilchen-Dualität ist eines der Schlüsselkonzepte der Quantenphysik, und deshalb wird jedes Teilchen durch eine Wellenfunktion repräsentiert. Dies ist normalerweise der griechische BuchstabeΨ(psi) und ist eine Funktion der Position (x) und Zeit (t) und enthält alle Informationen, die über das Teilchen bekannt sind.

Denken Sie noch einmal über diesen Punkt nach – trotz der wahrscheinlichkeitstheoretischen Natur der Materie auf der Quantenskala ermöglicht die Wellenfunktion aKomplettBeschreibung des Teilchens oder zumindest eine möglichst vollständige Beschreibung. Die Ausgabe kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein, aber sie schafft es dennoch, in ihrer Beschreibung vollständig zu sein.

Der Modul (d. h. Absolutwert) dieser Funktion zum Quadrat sagt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das beschriebene Teilchen an Position. findenx(oder in einem kleinen Bereich dx, um genau zu sein) zur Zeitt. Wellenfunktionen müssen normiert werden (so setzen, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass sie gefunden wirdirgendwo).x, auf gleich 1 setzen und entsprechend eine Normalisierungskonstante definieren.

Sie können die Wellenfunktion verwenden, um den Erwartungswert für die Position eines Teilchens zu einem Zeitpunkt zu berechnent, was im Wesentlichen der Durchschnittswert ist, den Sie für die Position über viele Messungen erhalten würden.

Sie berechnen den Erwartungswert, indem Sie den „Operator“ für die Observable umschließen (z. B. für Position ist dies nurx) mit der Wellenfunktion und ihrer komplex Konjugierten (wie ein Sandwich) und dann über den gesamten Raum integrieren. Sie können denselben Ansatz mit verschiedenen Operatoren verwenden, um Erwartungswerte für Energie, Impuls und andere Observablen zu berechnen.

Die Schrödinger-Gleichung ist die wichtigste Gleichung der Quantenmechanik und beschreibt die Entwicklung der Wellenfunktion mit der Zeit und ermöglicht es Ihnen, ihren Wert zu bestimmen. Sie ist eng mit der Energieerhaltung verbunden und wird letztlich daraus abgeleitet, spielt aber eine ähnliche Rolle wie die Newtonschen Gesetze in der klassischen Mechanik. Der einfachste Weg, die Gleichung zu schreiben, ist:

Hier,Hist der Hamilton-Operator, der eine längere Vollform hat:

Dies wirkt auf die Wellenfunktion ein, um ihre Entwicklung in Raum und Zeit zu beschreiben, und in der zeitunabhängige Version der Schrödinger-Gleichung, kann sie als Energieoperator für die Quantensystem. Quantenmechanische Wellenfunktionen sind Lösungen der Schrödinger-Gleichung.

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eines der bekanntesten Prinzipien der Quantenmechanik und besagt, dass die Positionxund Schwungpeines Teilchens können nicht beide mit Sicherheit oder genauer gesagt mit beliebiger Genauigkeit bekannt sein.

Da ist eingrundlegendGrenze auf die Genauigkeit, mit der Sie beide Größen gleichzeitig messen können. Das Ergebnis stammt aus der Teilchenwellen-Dualität quantenmechanischer Objekte und insbesondere aus der Art und Weise, wie sie als Wellenpaket aus mehreren Komponentenwellen beschrieben werden.

Während die Orts- und Impulsunschärferelation am bekanntesten ist, gibt es auch die Energie-Zeit Unsicherheitsprinzip (das dasselbe über Energie und Zeit sagt), aber auch die verallgemeinerte Unsicherheit Prinzip.

Kurz gesagt besagt dies, dass zwei Größen, die nicht miteinander „kommutieren“ (wobeiAB – BA 0) kann nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bekannt sein. Es gibt viele andere Größen, die nicht miteinander kommutieren, und so viele Paare von Observablen, die nicht sein können gleichzeitig präzise bestimmt – Präzision bei der einen Messung bedeutet große Unsicherheit bei der anderen.

Dies ist eines der Hauptmerkmale der Quantenmechanik, das aus unserer makroskopischen Perspektive schwer zu verstehen ist. Gegenstände, denen Sie täglich begegnenallehaben jederzeit klar definierte Werte für Dinge wie ihre Position und ihren Schwung und messen die entsprechenden Werte in der klassischen Physik wird nur durch die Genauigkeit Ihrer Messgeräte begrenzt.

In der Quantenmechanik hingegendie Natur selbstlegt eine Grenze für die Genauigkeit fest, auf die Sie zwei nicht kommutierende Observablen messen können. Es ist verlockend zu glauben, dass dies einfach ein praktisches Problem ist und Sie es eines Tages erreichen können, aber das ist einfach nicht der Fall: Es ist unmöglich.

Die Verrücktheit, die der mathematische Formalismus der Quantenmechanik impliziert, gab den Physikern viel zu denken: Wie war zum Beispiel die physikalische Interpretation der Wellenfunktion? War ein ElektronJa wirklichein Teilchen oder eine Welle oder könnte es wirklich beides sein? Die Kopenhagener Deutung ist der bekannteste Versuch, solche Fragen zu beantworten und noch immer der am weitesten verbreitete.

Die Interpretation besagt im Wesentlichen, dass die Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung eine vollständige Beschreibung der Welle oder des Teilchens, und alle Informationen, die nicht daraus abgeleitet werden können, tun es einfach nicht existieren.

Zum Beispiel breitet sich die Wellenfunktion über den Raum aus, und das bedeutet, dass das Teilchen selbst kein a. hat fester Ort, bis Sie ihn messen. An diesem Punkt „kollabiert“ die Wellenfunktion und Sie erhalten eine eindeutige Wert. Aus dieser Sicht bedeutet der Welle-Teilchen-Dualismus der Quantenmechanik nicht, dass ein Teilchenbeideeine Welle und ein Teilchen; es bedeutet einfach, dass sich ein Teilchen wie ein Elektron unter bestimmten Umständen wie eine Welle und unter anderen wie ein Teilchen verhält.

Niels Bohr, der größte Befürworter der Kopenhagener Interpretation, würde angeblich Fragen wie „Ist das Elektron tatsächlich ein Teilchen oder eine Welle?“ kritisieren.

Er sagte, sie seien bedeutungslos, denn um das herauszufinden, müsse man eine Messung durchführen, und die Form der Messung (d. h. was sie erkennen sollen) würde das Ergebnis bestimmen, das Sie erhalten. Darüber hinaus sind alle Messungen grundsätzlich probabilistisch, und diese Wahrscheinlichkeit ist in der Natur eingebaut und nicht auf mangelndes Wissen oder Genauigkeit der Wissenschaftler zurückzuführen.

Über die Interpretation der Quantenmechanik herrscht jedoch immer noch Uneinigkeit, und es gibt Alternativen auch lernenswerte Interpretationen, insbesondere die Viele-Welten-Interpretation und die de Broglie-Bohm Interpretation.

Die Viele-Welten-Interpretation wurde von Hugh Everett III vorgeschlagen und macht den Zusammenbruch der Welle im Wesentlichen überflüssig vollständig funktionieren, schlägt dabei aber mehrere parallele „Welten“ vor (was in der Theorie eine schlüpfrige Definition hat), die mit dein eigenes.

Im Wesentlichen besagt es, dass das Ergebnis, das Sie erhalten, wenn Sie ein Quantensystem messen, nicht die Wellenfunktion enthält auf einen bestimmten Wert für das Beobachtbare zusammenbrechen, aber mehrere Welten entwirren und Sie finden sich in einer und nicht in der Andere. In Ihrer Welt zum Beispiel befindet sich das Teilchen an Position A und nicht an B oder C, aber in einer anderen Welt befindet es sich an B und in einer anderen an C.

Dies ist im Wesentlichen eine deterministische (und keine probabilistische Theorie), aber es ist Ihre Unsicherheit darüber, in welcher Welt Sie leben, die die scheinbar wahrscheinlichkeitstheoretische Natur der Quantenmechanik erzeugt. Die Wahrscheinlichkeit bezieht sich wirklich darauf, ob Sie sich in Welt A, B oder C befinden, nicht darauf, wo sich das Teilchen in Ihrer Welt befindet. Allerdings wirft die „Aufteilung“ der Welten wohl ebenso viele Fragen auf, wie sie beantwortet, und so ist die Idee immer noch ziemlich umstritten.

Die De Broglie-Bohm-Interpretation wird manchmal genanntPilotwellenmechanik, und aus der Kopenhagener Interpretation folgt, dass Teilchen durch Wellenfunktionen und die Schrödinger-Gleichung beschrieben werden.

Es besagt jedoch, dass jedes Teilchen eine bestimmte Position hat, auch wenn es nicht beobachtet wird, aber es ist geführt von einer „Pilotwelle“, für die es eine andere Gleichung gibt, mit der Sie die Entwicklung der berechnen System. Dies beschreibt den Welle-Teilchen-Dualismus, indem im Wesentlichen gesagt wird, dass ein Teilchen an einer bestimmten Position auf einer Welle „surft“, wobei die Welle seine Bewegung leitet, aber es existiert auch dann noch, wenn es nicht beobachtet wird.