Der Begriff der Steigung ist Ihnen vielleicht in der Alltagssprache vertrauter als als formaler Begriff in der Mathematik. Tatsächlich beziehen sie sich auf dasselbe: eine Änderung der vertikalen Position, die mit einer Änderung der horizontalen Position einhergeht. Wenn Sie sich ohne Änderung Ihrer Höhe bewegen (d. h. vertikale Position in Bezug auf einige fester Referenzpunkt in einem Koordinatensystem), könnten Sie bemerken, dass entlang Ihres Pfad.
Wie so oft in den Naturwissenschaften hat ein Begriff mit allgemeiner oder gar poetischer Bedeutung in der Alltagssprache in der Praxis eine sehr spezifische Definition. In diesem Fall ist die Steigung einer Linie in einem Graphen ihr Anstieg dividiert durch ihren Verlauf, was selbst noch nichts zu bedeuten hat. Die prozentuale Steigung wiederum ist ein einfacher arithmetischer Schritt vorwärts vom Wert der Steigung selbst.
Was ist die Steigung in Mathe?
Auf einem Standardkoordinatensystem in zwei Dimensionen werden Änderungen der horizontalen (links-rechts) Position angezeigt durch eine Änderung der x-Koordinate, und vertikale (oben-unten) Veränderungen gehen mit Veränderungen in der einher y-Koordinate. Die Differenz zwischen den endgültigen und anfänglichen y-Werten geteilt durch die Differenz zwischen den endgültigen und anfänglichen x-Werten wird als. bezeichnet
Wichtig ist, dass das Vorzeichen der Änderungen erhalten bleibt. Dies liegt daran, dass Steigungen positiv oder negativ sein können. Eine positive Steigung ist mit Linien verbunden, die sich in Bezug auf die Horizontale mit x-Verschiebung nach oben bewegen, während eine negative Steigung mit Linien verbunden ist, die sich in Bezug auf die Horizontale mit nach unten bewegen x-Verschiebung.
- Eine gängige Steigungsformel ist m = (yf− jaich)/(xf− xich), wobei die Indizes i und f jeweils Anfangs- und Endwerte bezeichnen.
Beispiel für eine Neigungsberechnung
Beispiel: Eine Ameise bewegt sich vom Punkt ( −4, 5) zum Punkt (2, −7). Welche Steigung hat die Linie zwischen ihnen?
Die Anwendung der obigen Formel ergibt
( (−7) − 5)/(2 −(−4)) = −12/6 = −2
Steigung vs. Prozent Steigung
Beispiel: Wie groß ist der vertikale Gefälle einer 2 Prozent Steigung in Fuß über eine horizontale Distanz von 150 Fuß?
Lösen Sie zunächst dezimal nach der Steigung auf, wobei Sie bedenken, dass Prozent nur das 100-fache der ursprünglichen Zahl ist:
Prozentuale Steigung = 100 (Anstieg/Lauf); -2 = 100 (Anstieg/Lauf); (Anstieg/Lauf) = −2/100 = −0,02
Wenn also (Aufstieg/Lauf) = −0,02 und der "Lauf" 150 beträgt, ist der "Aufstieg" in Fuß tatsächlich ein Tropfen: (−0,02) (150 Fuß) = 3 Fuß.
Der Quotient (Anstieg/Lauf) hat in der Trigonometrie eine besondere Bedeutung. Es ist der Tangente des Winkels zwischen der schrägen Linie und der Horizontalen (x-Achse). In einem rechtwinkligen Dreieck wird dieser Quotient geschrieben "(Gegenseite/Benachbarte Seite)" und wird abgekürzt bräunen.
Prozentnote
Vielleicht haben Sie den Begriff Prozentnote gehört oder gesehen. Dies wird normalerweise im Transportkontext angetroffen und bedeutet dasselbe wie die prozentuale Steigung. Auf Interstate Highways in den Vereinigten Staaten warnen oft Schilder vor bevorstehenden steilen Abfahrten und vermerken Sie dies mit "6% GRADE" oder einer ähnlichen Beschilderung.
Beispiel: Nehmen wir an, Sie fahren die Mount Washington Automobile Road im Nordosten der Vereinigten Staaten hinauf, um das Herbstlaub in den Tälern darunter zu sehen. Die Straße vom Fuß des Berges zum Gipfel ist 7,6 Meilen lang. Ein Schild am Stützpunkt in Gorham, New Hampshire, weist darauf hin, dass die Straße ein Gefälle von 12 Prozent aufweist. Wenn der Gipfel des Berges 6.288 Fuß über dem Meeresspiegel liegt, wie hoch ist dann ungefähr der Beginn der Straße?
Sie wissen, dass (Aufstieg/Lauf) = 0,12 ist und dass der "Lauf" (7,6 Meilen) (5.280 Fuß/Meile) = 40.128 Fuß beträgt. Die Multiplikation mit 0,12 ergibt 4.815. Somit beginnt die Straße bei ungefähr (6.288 - 4.815) = 1.473 Fuß über dem Meeresspiegel.
Neigungsprozent-Rechner
In den Ressourcen finden Sie ein Online-Tool, das zwischen Neigung und prozentualer Neigung umwandelt, wobei auf Wunsch Grad für die Winkel verwendet wird.