Wie schnell reisen GPS-Satelliten?

Satelliten des Global Positioning System (GPS) bewegen sich mit etwa 14.000 km/h relativ zur Erde als Ganzes, im Gegensatz zu einem festen Punkt auf ihrer Oberfläche. Die sechs Bahnen sind um 55° vom Äquator gekippt, mit vier Satelliten pro Bahn (siehe Diagramm). Diese Konfiguration, deren Vorteile unten diskutiert werden, verhindert eine geostationäre (über einem Punkt auf der Oberfläche fixierte) Umlaufbahn, da sie nicht äquatorial ist.

Relativ zur Erde umkreisen GPS-Satelliten zweimal an einem Sterntag, die Zeit, die die Sterne (statt der Sonne) brauchen, um zu ihrer ursprünglichen Position am Himmel zurückzukehren. Da ein Sterntag etwa 4 Minuten kürzer ist als ein Sonnentag, umkreist ein GPS-Satellit alle 11 Stunden und 58 Minuten einmal.

Da sich die Erde alle 24 Stunden einmal dreht, fängt ein GPS-Satellit ungefähr einmal am Tag einen Punkt über der Erde ein. Relativ zum Erdmittelpunkt umkreist der Satellit zweimal in der Zeit, die ein Punkt auf der Erdoberfläche benötigt, um sich einmal zu drehen.

Dies kann mit einer nüchterneren Analogie von zwei Pferden auf einer Rennstrecke verglichen werden. Pferd A läuft doppelt so schnell wie Pferd B. Sie starten zur gleichen Zeit und an der gleichen Position. Pferd A braucht zwei Runden, um Pferd B einzuholen, das zum Zeitpunkt des Fangens gerade seine erste Runde beendet hat.

Viele Telekommunikationssatelliten sind geostationär und ermöglichen eine zeitliche Kontinuität der Abdeckung über einem ausgewählten Gebiet, wie beispielsweise einem Dienst in einem Land. Genauer gesagt ermöglichen sie das Ausrichten einer Antenne in eine feste Richtung.

Wenn GPS-Satelliten auf äquatoriale Umlaufbahnen beschränkt wären, wie in geostationären Umlaufbahnen, würde die Abdeckung stark reduziert.

Außerdem verwendet das GPS-System keine festen Antennen, so dass eine Abweichung von einem stationären Punkt und damit von einer äquatorialen Umlaufbahn nicht nachteilig ist.

Darüber hinaus bedeuten schnellere Umlaufbahnen (z. B. zweimal täglich statt einmal eines geostationären Satelliten) niedrigere Pässe. Entgegen der Intuition muss ein Satellit, der sich näher an der geostationären Umlaufbahn befindet, schneller als die Erdoberfläche fliegen, um in der Höhe bleiben, um "die Erde zu verfehlen", da die niedrigere Höhe dazu führt, dass sie schneller auf sie zufällt (um das umgekehrte Quadrat) Recht). Das scheinbare Paradoxon, dass sich der Satellit schneller bewegt, wenn er sich der Erde nähert, was auf eine Diskontinuität der Geschwindigkeiten an der Oberfläche hindeutet, wird gelöst, indem man erkennt, dass die Erdoberfläche muss keine seitliche Geschwindigkeit beibehalten, um ihre Fallgeschwindigkeit auszugleichen: Sie widersetzt sich der Schwerkraft auf eine andere Weise – elektrische Abstoßung des Bodens, die sie von unten.

Aber warum die Satellitengeschwindigkeit an den Sterntag statt an den Sonnentag anpassen? Aus dem gleichen Grund dreht sich das Foucaultsche Pendel, wenn sich die Erde dreht. Ein solches Pendel ist beim Schwingen nicht auf eine Ebene beschränkt und behält daher dieselbe Ebene bei relativ zu den Sternen (wenn an den Polen platziert): Nur relativ zur Erde scheint es sich zu drehen. Herkömmliche Uhrenpendel sind auf eine Ebene beschränkt und werden von der Erde bei ihrer Rotation im Winkel geschoben. Die (nicht-äquatoriale) Umlaufbahn eines Satelliten mit der Erde statt mit den Sternen rotieren zu lassen, würde einen zusätzlichen Antrieb für eine mathematisch leicht zu erklärende Entsprechung bedeuten.

Wenn man weiß, dass die Periode 11 Stunden und 28 Minuten beträgt, kann man die Entfernung, die ein Satellit von der Erde haben muss, und damit seine seitliche Geschwindigkeit bestimmen.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (F=ma) ist die Gravitationskraft auf den Satelliten gleich der Masse des Satelliten mal seiner Winkelbeschleunigung:

GMm/r^2 = (m)(ω^2r), für G die Gravitationskonstante, M die Erdmasse, m die Satellitenmasse, ω die Winkelgeschwindigkeit und r die Entfernung zum Erdmittelpunkt

ω ist 2π/T, wobei T die Periode von 11 Stunden 58 Minuten (oder 43.080 Sekunden) ist.

Unsere Antwort ist der Umlaufbahnumfang 2πr geteilt durch die Zeit einer Umlaufbahn oder T.

Die Verwendung von GM=3,99x10^14m^3/s^2 ergibt r^3=1,88x10^22m^3. Daher gilt 2πr / T = 1,40 x 10^4 km/s.