So finden Sie dy/dx durch implizite Differenzierung bei einer ähnlichen Gleichung wie y=sin (xy)

Die implizite Differentiation ist eine Technik, die verwendet wird, um die Ableitung einer Funktion in der Form y = f (x) zu bestimmen.

Um zu lernen, wie man implizite Differenzierung verwendet, können wir die Methode an einem einfachen Beispiel anwenden und dann einige komplexere Fälle untersuchen.

Obwohl es komplizierter klingt, verwendet die implizite Differenzierung dieselben Mathematik und Fähigkeiten wie die grundlegende Differenzierung. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass unsere abhängige Variable jetzt in der Funktion selbst angezeigt wird.

Nehmen Sie eine einfache Gleichung wie xy = 1. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Ableitung von zu finden ja in Gedenken an x, oder dy/dx. Zuerst können wir einfach auflösen nach ja in der Gleichung und verwenden Sie die Potenzregel für Ableitungen. Dies würde ergeben: y = 1/x. Die Anwendung der Potenzregel würde daher ergeben, dass dy/dx = -1/x².

Wir können dieses Problem auch mit impliziter Differentiation lösen. Zum Glück kennen wir die Antwort bereits (es sollte die gleiche sein, egal wie wir sie berechnen), sodass wir unsere Arbeit überprüfen können!

Wenden Sie zunächst die Ableitung auf beide Seiten der Gleichung xy = 1 an. Dann gilt d/dx (xy) = d/dx (1); offensichtlich ist die rechte Seite jetzt gleich 0, aber die linke Seite erfordert die Kettenregel. Dies liegt daran, dass wir die Ableitung unserer Funktion nehmen, ja, während es mit einem anderen Faktor von multipliziert wird x. Um dies zu berechnen: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Wir verwenden die Primschreibweise, um eine Ableitung nach anzugeben x.

Das Umschreiben unserer Gleichung ergibt: y + xy' = 0. Es ist Zeit zu lösen für solve y' in unserer Gleichung! Offensichtlich ist y' = -y/x. Aber wenn wir die Originalinformationen verwenden, wissen wir, dass y = 1/x ist, also können wir dies wieder einsetzen. Sobald wir das tun, sehen wir, dass y' = -1/x², genau wie wir es zuvor gefunden haben.

Um die Ableitung von y = sin (xy) zu bestimmen, verwenden wir die implizite Differentiation, indem wir uns daran erinnern, dass (d/dx) y = y' ist.

Wende zuerst die Ableitung auf beide Seiten der Gleichung an: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Die linke Seite der Gleichung ist eindeutig y', wofür wir eine Lösung benötigen, aber die rechte Seite erfordert etwas Arbeit; insbesondere die Kettenregel und die Produktregel. Zuerst muss die Kettenregel auf sin (xy) angewendet werden und dann die Produktregel für das Argument xy. Zum Glück haben wir diese Produktregel bereits berechnet.

Als nächstes ergibt eine Vereinfachung: y' = cos (xy)(y + xy').

Offensichtlich muss diese Gleichung gelöst werden nach y' um zu bestimmen wie y' bezieht sich auf x und ja.

Isolieren Sie alle Begriffe mit y' auf einer Seite: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).

Dann rechnen Sie das aus y' um zu erhalten: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Jetzt sehen wir, dass y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)) ist.

Eine weitere Vereinfachung kann erforderlich sein, aber da unsere Funktion rekursiv definiert ist, wird das Einsetzen von y = sin (xy) wahrscheinlich keine zufriedenstellende Lösung liefern. In diesem Fall können mehr Informationen oder eine ausgefeiltere Methode zum Zeichnen dieser Gleichungen nützlich sein.

Denken Sie zunächst daran, dass die implizite Differentiation darauf beruht, dass eine der Variablen eine Funktion der anderen ist. Normalerweise sehen wir Funktionen als y = f (x), aber man könnte eine Funktion x = f (y) schreiben. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie diese Probleme angehen, um zu bestimmen, welche Variable von der anderen abhängig ist.

Denken Sie als nächstes daran, die Ableitungsregeln sorgfältig anzuwenden. Die implizite Differenzierung erfordert sehr oft die Kettenregel sowie die Produktregel und die Quotientenregel. Die richtige Anwendung dieser Methoden ist entscheidend, um die endgültige Antwort zu bestimmen.

Lösen Sie schließlich nach der gewünschten Ableitung auf, indem Sie sie isolieren und die Ausdrücke so weit wie möglich vereinfachen.